高等數(shù)學(xué)教案

教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、一、集合與區(qū)間集合(簡稱集):集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.用A,B,C….等表示.集合的表示:列舉法:把集合的全體元素一一列舉出來.例如A={a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成,則M可表示為幾個數(shù)集:N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合,稱為自然數(shù)集.R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合,稱為實(shí)數(shù)集.Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合,稱為整數(shù)集.Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合,稱為有理數(shù)集.q如果集合A與集合B互為子集,AB且BA,則稱集合A與集合B相等,記作A=B.若AB且A≠B,則稱A是B的真子集,記作AB.例如,不含任何元素的集合稱為空集,記作⑦.規(guī)定空集是任何集合的子集.設(shè)A、B是兩個集合,由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡稱并),記作AB,即設(shè)A、B是兩個集合,由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡稱交),記作A∩B,即設(shè)A、B是兩個集合,由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差),記作A\B,即如果我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進(jìn)行,所研究的其他集合A都是I的子集.此時,我們稱集合I為全集或基本集.稱I\A為A的余集或補(bǔ)集,記作AC.集合運(yùn)算的法則:設(shè)A、B、C為任意三個集合,則C今x直積(笛卡兒乘積):設(shè)A、B是任意兩個集合,在集合A中任意取一個元素x,在集合B中任意取一個元素y,組成一個有序?qū)?x,y),把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略?它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積,有限區(qū)間:類似地有無限區(qū)間:區(qū)間在數(shù)軸上的表示:鄰域:以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域,記作U(a).二、函數(shù)概念定義設(shè)數(shù)集DR,則稱映射f:D→R為定義在D上的函數(shù),通常簡記為其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域,記作Df,即Df=D.應(yīng)注意的問題:記號f和f(x)的含義是有區(qū)別的,前者表示自變量x和因變量y之間的對應(yīng)法則,而后者表示示定義在D上的函數(shù),這時應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.函數(shù)符號:函數(shù)y=f(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號f也可改用其它字母,例如“F”,“φ”等.此函數(shù)的兩要素:函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射,其值域總在R內(nèi),因此構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Df及對應(yīng)法則f.如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.函數(shù)的定義域:函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定:一種是對有實(shí)際背景的函數(shù),根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定.求定義域舉例:x單值函數(shù)與多值函數(shù):在函數(shù)的定義中，對每個x∈D,對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).如果給定一個對應(yīng)法則,按這個法則,對每個x∈D,總有確定的y值與之對應(yīng),但這個y不總是唯2一個值;當(dāng)x取(r,r)內(nèi)任一個值時,對應(yīng)的y有兩個值.所以這方程確定了一個多值函數(shù).對于多值函數(shù),往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱≤0”作為對應(yīng)法則,就可得到另一個單值分支y=y2(x)=r2x2.中,用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,即坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集函數(shù)的例子:lxlx圖中的Rf表示函數(shù)y=f(x)的值域.例設(shè)x為任上實(shí)數(shù).不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分,記作[x].7分段函數(shù):在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).例如f()=22y=212三、函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集XD.如果存在數(shù)K1,使對任一x∈X,有f(x)≤K1,則稱函數(shù)f(x)在X上有上界,而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個上界.圖形特點(diǎn)是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方.如果存在數(shù)K2,使對任一x∈X,有f(x)≥K2,則稱函數(shù)f(x)在X上有下界,而稱K2為函數(shù)f(x)如果存在正數(shù)M,使對任一x∈X,有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在X上有界;如果這樣的M不存例如(2)函數(shù)f(x)=(2)函數(shù)f(x)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(1),M)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(1),x)所以函數(shù)無上界.函數(shù)f(x)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(1),x)在(1,2)內(nèi)是有界的.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間ID.如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時,恒有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的.如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時,恒有f(x1)>f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).函數(shù)單調(diào)性舉例:是單調(diào)的.f(x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).則稱f(x)為奇函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱,奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱,奇偶函數(shù)舉例:23設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.如果存在一則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特點(diǎn):在函數(shù)的定義域內(nèi),每個長度為l的區(qū)間上,函數(shù)的圖形有相同的形狀.設(shè)函數(shù)f:D→f(D)是單射,則它存在逆映射f一1:f(D)→D,稱此映射f一1為函數(shù)f的反函數(shù).這就是說,反函數(shù)f一1的對應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對應(yīng)法則所確定的.若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù),則f:D→f(D)是單射,于是f的反函數(shù)f一1必定存在,而且容易證明f一1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).y=f1(x)的圖形畫在同一坐標(biāo)平面上,這兩個圖形關(guān)于直線y=x是對稱的.這是因?yàn)槿绻鸓(a,b)是復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例,按照通常函數(shù)的記號,復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述.函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為fog,即(fog)=f[g(x)].與復(fù)合映射一樣,g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)fog的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)Df.否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).義,且g(D)[1,1],則g與f可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)多個函數(shù)的復(fù)合:（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時1、極限的概念、極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)定義:如果當(dāng)x無限接近于xo,函數(shù)f(x)的值無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x趨于x0時limf(x)=Alimlimf(x)=A左極限,記為x→x0—或f(x0)=Ay1xOx1limf(x)=Alimf(x)=A和limf(x)=A和limf(x)=A今limf(x)=A今且limf(x)=A且limf(x)=A（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時無窮小及無窮小的比較。無窮大與無窮小教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、定義：如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時的極限為零,那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)例如,limlimx,所以函數(shù)x為當(dāng)x→∞時的無窮小EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up8(li),x)limf(x)=Alimf(x)=Alimf(x)=∞..簡要證明:EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(l),x),1所以f(x)為x→x0時的無窮大.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(l),x)簡要證明:（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、lim[cf(x)]=climf(x).lim[f(x)]n=[limf(x)]n.lim1=x2x25x解:limlimlim2limx25xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(3x2),2x3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(2x),x2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(1),5)lim==5limlim應(yīng)用.xxx（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、O1DA準(zhǔn)則I如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件:EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(l),n)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(l),n)那么數(shù)列{xn}的極限存在,且EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(l),n)xn=aEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2147483647(l),n)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2147483647(l),n)有2即n即有nEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(l),n)準(zhǔn)則I兀EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(∩),AB)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up17(兀),2)DDBxAxA.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(n),x)準(zhǔn)則II單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果數(shù)列{xn}滿足條件就稱數(shù)列{xn}是單調(diào)增加的;如果數(shù)列{xn}滿足條件就稱數(shù)列{xn}是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.收斂.現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明:如果數(shù)列不僅有界,并且是于某一定點(diǎn)A,而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生.根據(jù)準(zhǔn)則II,可以證明極限n設(shè)nnn11這就是說數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的.12第二重要極限：根據(jù)準(zhǔn)則II,數(shù)列{xn}必有極限.這個極限我們用e來表示.即nn..x11EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up16(1),x))xx=xx=xxx（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)（5）如果α,就說β與（5）如果α,就說β與α是等價的無窮小，記作αβn1n1EQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up23(β),α)1EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(s),3)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(x),3).（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的某一個鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量的增量limf(x)=f(x)或0x→x0limf(x)=f(x)或0x→x0,limΔy=0lim[f(x)—f(x0)]=0limf(x)=f(x0)Δx→0今x→x0今x→x0.limf(x)=f(x)如果x→x0—0,則稱yf(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù).如果,則稱yf在點(diǎn)x0處右連續(xù).在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)指右連續(xù).4.連續(xù)函數(shù)舉例:f(x)=x在區(qū)間[0,∞)內(nèi)是連續(xù)的.種情形之一:lim(2)雖然在x0有定義,但x→x0f(x)不存在;limlimlim(3)雖然在x0有定義且x→x0f(x)存在,但x→x0f(x)≠f(x0);x→2,EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up17(1),x)limf(x)=lim(x+1)=1limf(x)≠limf(x)limf(x)所以極限x→0不存在,x=0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn).因函數(shù)f(x)的圖形在xlimf(x)通常把間斷點(diǎn)分成兩類:如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn),但相等者稱為跳躍間斷點(diǎn).無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二間斷點(diǎn).初等函數(shù)的連續(xù)性f(x)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=f(x)±g(x)x→x0x→x0x→x0.們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù),那么它的反函證明（略）.EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up17(兀),2)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up17(兀),2)續(xù)的.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(l),x)limf[g(x)]=limf(u)=f(u)0limf[g(x)]=f[limg(x)](2)定理的結(jié)論也可寫成x→x0x→limf[g(x)]=f[limg(x)]符號f與極限號可以交換次序.limf[g(x)]limf[u(x)]=limflimf[g(x)]limf[u(x)]=limf(u)limf(u)x→x0.EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up6(l),x)x3x29limlim定理4設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成,U(x0)Dfog.若limlim這就證明了復(fù)合函數(shù)f[(x)]在點(diǎn)x0連續(xù).limEQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up15(1),x)1連續(xù)的.調(diào)且連續(xù).冪函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的.列重要結(jié)論:一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.所謂義域內(nèi)的區(qū)間.初等函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用:lim則x→x0f(x)=f(x0).lim2x→0.limlnsinxEQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up6(兀),2)兀EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up11(x),x)222212xlim解:=2=2ax.（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、直線運(yùn)動的速度設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M,在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N,作割線MN.當(dāng)點(diǎn)N沿曲線CMN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT,直線MT就稱為曲線C有點(diǎn)M處的切線.設(shè)曲線C就是函數(shù)yf(x)的圖形.現(xiàn)在要確定曲線在點(diǎn)M(x0,y0)(y0f(x0))處的切線MT的傾角.于是,通過點(diǎn)M(x0,f(x0))且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點(diǎn)M處的切線.二、導(dǎo)數(shù)的定義limf(x)—f(x0).limf(x)—f(x0)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的某個鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x處取得增量△x(點(diǎn)f(x0)=limf(x0)=limdf(x)或df(x)或函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)有時也說成f(x)在點(diǎn)x0具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.所謂函數(shù)的變化率問題.導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這如果極限limf(x0+EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up5(Δx),Δx)如果極限lim也往往說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.,這個函數(shù)叫做原來函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記f(x+Δx)f(x)ff(x+Δx)f(x)f(x0)f(x+h)f(x).hf(x0)=f(x)x=x0.f(x0);如果極限hl三、求導(dǎo)數(shù)舉例xx2例3求f(x)=x的導(dǎo)數(shù)h解:h解:f(x)=limf(x+h)f(x)hf(x+h)f(x)hx+haxhhaxlimtt)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),g)xlna.EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(h),x)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),x)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up1(l),h)aEQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(h),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(x),h)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(h),x)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),x)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up1(l),h)aEQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(h),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(x),h)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),x)axlna.EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(1),x)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up1(l),h)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(h),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(x),h)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),x)aEQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),h)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(h),x)1xlnaxlnaEQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(1),n)xxEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),n)xxlimf(x+h)f(x)及l(fā)imf(x+h)f(x)都存在且相等.f(x).2．導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:存在且相等.h解:f(0)=limh解:f(0)=lim,,0其中是切線的傾角.如果y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為無窮大,這時曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸的直00和法線方程.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483644(1),2).0EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up10(3),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up10(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(3),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(3),2)00五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2147483647(i),x)這就是說,函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的.所以hlimhlimx（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時補(bǔ)充教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則hhhEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(「u),Lv)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),x)—h3)2)25.2x210x,,xx2x.2x,（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時補(bǔ)充教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、反函數(shù)的求導(dǎo)法則y1yf(y)dxf(y)dx1x111x1上述結(jié)論可簡單地說成:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).兀2兀2xxyxx復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則結(jié)論自然成立.Δyf[g(x+Δx)]f[g(x)]f[g(x+Δx)]f[g(x)]g(x+Δx)g(x)x3,求dy.解:22f(u+Δu)f(u)g(x+Δx)g(x)222x,求dy.2,求dy.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(1),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(2),3)2x2)2x)x)x)x)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(1),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(1),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(1),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(1),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),x)1.基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式,2x,2x,EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(1),n)x222反函數(shù)的求導(dǎo)法則y復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則xx解因?yàn)閠hx=所以2)x2x222nxnx（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、ny●n3y////EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(3),2)xx,yy222222222y(n)22,3,,,,一般地,可得,(n).(k)代入萊布尼茨公式,得（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、解:把方程兩邊的每一項對x求導(dǎo)數(shù)得y≠0).0.6.2EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(1),2).33)處的切線方程.244EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(dy),dx),積和商的導(dǎo)數(shù).xx解法二:這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法,x2y1+x2x2;用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果.二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程確定的.則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例7.求橢圓{EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7([x),ly)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(acos),bsin)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(t),t)在相應(yīng)于t=EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up8(兀),4)點(diǎn)處的切線方程.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(dy),dx)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(t),t)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(/),/)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(o),si)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(b),a)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up5(兀),4)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up8(兀),4)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up8(兀),4).例8．拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為gt2,解:先求速度的大小.速度的水平分量與鉛直分量分別為1,y所以拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小為EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(2),1)再求速度的方向,設(shè)α是切線的傾角,則軌道的切線方向?yàn)镋Q\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(dy),dx)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(y),x)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(/),/)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(t),t)d2yd2y例9．計算由擺線的參數(shù)方程所確定.（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)設(shè)此正方形的邊長為x,面積為A,則A是x的函數(shù):A=x2.金屬薄片的面積改變量為2.形的面積.可表示為0)函數(shù)可微的條件:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微時,其微分一定是證明:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微,則按定義有EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2(i),x)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(Δ),Δ)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(y),x)因此,如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微,則f(x)在點(diǎn)x0也一定可導(dǎo),且A=f/(x0).反之,如果f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),即limlim存在,根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系,上式可寫成因且f/(x0)不依賴于Δx,故上式相當(dāng)于所以f(x)在點(diǎn)x0也是可導(dǎo)的.簡要證明:一方面→limA.limx解:先求函數(shù)在任意點(diǎn)x的微分EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(dy),dx)這就是說,函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此,導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”.二、微分的幾何意義三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分的表達(dá)式可以看出,要計算函數(shù)的微分,只要計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再乘以自變量的微分.因此,可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則.導(dǎo)數(shù)公式:微分公式:dx2xdxdxxlnad(ax)=axlnadxEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),n)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),n)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(1),x)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(1),x)12121212121222121222求導(dǎo)法則:證明乘積的微分法則:根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式,有再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則,有微分法則:2由此可見,無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù),微分形式dy=f(u)du保持稱為微分形式不變性.這性質(zhì)表示,當(dāng)變換自變量時,微分形式dy=f(u)du并不改變.在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,x2)可以不寫出中間變量.1x21x21x21x2x2x2解:應(yīng)用積的微分法則,得2①在工程問題中,經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜的計算公式.如果直接用這些公式進(jìn)行計算,那是很費(fèi)力的.利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計算公式改用簡單的近似公式來代替.0)00)0)f(x00,那么又有這些都是近似計算公式.EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up7(4),3)鍍層的體積為0)).于是鍍每只球需用的銅約為EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up10(兀),6)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up10(兀),6)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up10(兀),6)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up10(兀),6)0常用的近似公式（假定|x|是較小的數(shù)值）:EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),n)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(1),n)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(1),n)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(1),n)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),n)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up7(1),n)x,故2在生產(chǎn)實(shí)踐中,經(jīng)常要測量各種數(shù)據(jù).但是有的數(shù)據(jù)不易直接測量,這時我們就通過測量其它有關(guān)數(shù)據(jù)后,根據(jù)某種公式算出所要的數(shù)據(jù).由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響,測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差,而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差,我們把它叫做間接測量誤差.下面就討論怎樣用微分來估計間接測量誤差.絕對誤差與相對誤差:如果某個量的精確值為A,它的近似值為a,那么|A—a|叫做a的絕對誤在實(shí)際工作中,某個量的精確值往往是無法知道的,于是絕對誤差和相對誤差也就無法求得.但是根據(jù)測量儀器的精度等因素,有時能夠確定誤差在某一個范圍內(nèi).如果某個量的精確值是A,D4積時,試估計面積的誤差.D.ΔD,AEQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up10(兀),2)D.δD2);4.,（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、定理1（Rolle）若函數(shù)f(x)滿足條件（3）f(a)=f(b)。何意義：在定理的條件下，區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得曲線在點(diǎn)((ξ,f(ξ))處具有水平切線。二、拉格朗日中值定理。f(b)f(a)?；?qū)懗蒮(b)f(a)=f,(ξ)(ba)。上述公式稱為拉格朗日中值公式，幾何意義：如果連續(xù)曲線y=f(x)上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，則在曲線弧AB上至少存在一點(diǎn)((ξ,f(ξ))，在該點(diǎn)處曲線的切線平行由拉格朗日定理的幾何意義可以看出，當(dāng)函數(shù)滿足f(a)=f(b)時，此時即f(b)f(a)[f,(x)k]=0→[f(x)kx],=0容易驗(yàn)證φ(x)在閉區(qū)間[a,b]f(b)f(a)推論設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f,(x)三0，則在(a,b)內(nèi)f(x)為常數(shù)。即f(x2)f(x1)=f,(ξ)(x2x2)，其中f,(ξ)三、定理的應(yīng)用EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up17(π),2)f,(x)=1212,由推論1可知ff一2,由推論可知證：設(shè)f(t)=ln(1+t)，則f(t)在[0,x]上滿足拉格朗日中值定理條件，證：設(shè)f(x)=lnx，x∈[a,b]，則f(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定EQ\*jc3\*hps46\o\al(\s\up13(b),a)EQ\*jc3\*hps46\o\al(\s\up13(一),b)EQ\*jc3\*hps46\o\al(\s\up13(一),a)EQ\*jc3\*hps47\o\al(\s\up14(一),a)EQ\*jc3\*hps47\o\al(\s\up14(b),a)EQ\*jc3\*hps47\o\al(\s\up14(一),a)f2。對函數(shù)f(x)在f(x)f(x)21（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、未定式:如果當(dāng)x→a(或x→∞)時,兩個函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大,那么極限f(x)F(x)lim可能存在、也可能不存在.通常把這種極限叫做未定式,并分別簡記為0f(x)F(x)lim0、0型).0型).x2定理如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足如下條件:EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(l),x)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(f),g)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(/),/)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(x),x)那么limf(x)f/(x)洛必達(dá)法則.證明:因?yàn)闃O限limf(x)與f(a)及g(a)無關(guān),證明:因?yàn)闃O限limf(x)f(x)—f(a)f/(ξ)論.limlimf(x)—f(a)f/(ξ)f/(ξ)f/(x)令x→a,并對上式兩端求極限,注意到x→a時ξ→a,再根據(jù)條件(3)便得要證明的結(jié)論.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(0),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(/2解2解:lim.也有相應(yīng)的洛必也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則.例如,對于x→∞時的未定式0有:如果(3)lim存在(或?yàn)闊o窮大);那么limf/(x)(3)lim存在(或?yàn)闊o窮大);那么limf/(x)x解:lim∞.21—x221nλxn20、0都可以轉(zhuǎn)化為0或∞型未定式來計算.例7.求limxnlnx(n>0).12洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法,但最好能與其它求極限的方法結(jié)合使用.例如能化簡時應(yīng)盡可能先化簡,可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時,應(yīng)盡可能應(yīng)用,這樣可以使運(yùn)算簡捷.解:lim21.3最后,我們指出,本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法.當(dāng)定理條件滿足時,所求的極限當(dāng)然存在（或?yàn)椤?,但定理條件不滿足時,所求極限卻不一定不存在.求極限的方法小結(jié):1.不存在,所以不能用洛必達(dá)法則.（1）單調(diào)有界序列必有極限;（2）用夾逼定理;（3）用極限運(yùn)算法則（4）用函數(shù)的連續(xù)性;5）用兩個重要極限;6）無窮小乘有界函數(shù)仍是無窮小;（7）用洛必達(dá)法則;補(bǔ)充例題:解limbxx/(x)/axlnabxlnb1..(x3)/22(tgx)/(tg3x)/2例14求極限limxln(x+a)(xa,1x→x→其中l(wèi)imlim1xlimxxxlnxxxlnxlnx1(1(1EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(1),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(1),x)x11.2x.x（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)泰勒中值定理f(x)在x0的某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)時，有近似等式f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)f(x)，兩者之差n0（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加（單調(diào)減少）,那么它的圖形是一條沿x軸正向上升（下可見,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的關(guān)系.2).由于在上式中,x2x1>0,因此,如果在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f/(x)保持正號,即f/(x)>0,那么也有f2),注:判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間.x1.,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在.如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程f/(x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,就能保證f/(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號,因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào).列表分析:f/(x)+—+f(x)↗↘↗一般地,如果f/(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個點(diǎn)處為零,在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時,那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(1),x)xxx2x2xxx2x2yOyf(x1)x1f(x2)f(x1)x1f(x2)f(x2)f(x1)x1x22（凹凸性）設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果對I上任意兩點(diǎn)x1,x2,恒有f(x1)那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有22f(x1)+f(x2)那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).定義/設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的.凹凸性的判定:定理設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f//(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f//(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的.EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(—),2)兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得f(x1)+f(x2)2f(x0)=[f/(ξ2)f/(ξ1)]x22x12,即f(x1)+f(x2)>f(x1+x2),所以f(x)在[a,b]上的圖形是凹的.拐點(diǎn):連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn).確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(4)判斷或列表判斷,確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn);注:根據(jù)具體情況（13）步有時省略.2EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(1),2))是曲線的拐點(diǎn).)是曲線的拐點(diǎn).22EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(2),3)(4)列表判斷:f(x)+00+3.(3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x=0;（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個別疏漏而及時教學(xué)方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0∈(a,b).f(x)<f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值;如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)>f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的.如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值,那只是就x0附近的一個局部范圍來說,f(x0)是f(x)的一個最大值;如果就f(x)的整個定義域來說,f(x0)不一定是最大值.關(guān)于極小值也類似.極值與水平切線的關(guān)系:在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不