第01講 集合與常用邏輯用語（八大熱點(diǎn)、九種解題模型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第01講集合與常用邏輯用語（八大熱點(diǎn)、九種解題模型）題型一：集合的表示一、單選題1．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·河北秦皇島·三模）已知集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題3．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）已知集合，則用列舉法表示集合______題型二：集合元素的特征一、單選題1．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則集合B中元素個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．8 D．92．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則集合（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東·揭西縣河婆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知集合、集合，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有可能 B．C． D．題型三：集合的關(guān)系一、單選題1．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2022·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．2 B．1 C．0 D．-13．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知全集U，集合A，B為其子集，若，則（

）A． B． C．A D．B4．（2022·山東聊城·三模）設(shè)集合，，則（

）A．? B．? C． D．5．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）若集合，則對(duì)于集合的關(guān)系，則下列關(guān)系中一定正確的是（

）A． B．C． D．6．（2022·河北張家口·三模）已知，，，若，則m的取值集合為（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．8．（2020·南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到世紀(jì)，直到年，德國數(shù)學(xué)家戴金德提出了“戴金德分割”才結(jié)束了持續(xù)多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴金德分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴金德分割.試判斷，對(duì)于任一戴金德分割，下列選項(xiàng)中一定不成立的是（

）A．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素D．有一個(gè)最大元素，沒有最小元素二、多選題9．（2021·河北衡水中學(xué)三模）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若，則10．（2021·廣東湛江·二模）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時(shí)，則或三、填空題11．（2022·上海金山·二模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為__________.題型四：集合的運(yùn)算一、單選題1．（2022·安徽蚌埠·一模）已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，集合，用如圖所示的陰影部分表示的集合為（

）A．{2，4} B．{0，3，5，6}C．{0，2，3，4，5，6} D．{1，2，4}4．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，集合，，則的取值范圍是（

）A． B．且C．且 D．且且5．（2022·廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．06．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知集合A，B滿足，若則（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北·孝昌縣第一高級(jí)中學(xué)三模）已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2022·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]二、填空題9．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則__________.題型五：集合與排列組合概率1..設(shè)集合，選擇A的兩個(gè)非空子集B和C，要使C中最小的數(shù)大于B中的最大數(shù)，則不同的選擇方法有________；2．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，集合，若在集合M中任取兩個(gè)數(shù)，則其和為零的概率為_________．題型六：新定義1.用C(A)表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（）A．1 B．3 C．5 D．72.在元數(shù)集中，設(shè)，若的非空子集滿足，則稱是集合的一個(gè)“平均子集”，并記數(shù)集的元“平均子集”的個(gè)數(shù)為．已知集合，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．3．（2022·北京朝陽·一模）對(duì)非空數(shù)集，，定義與的和集.對(duì)任意有限集，記為集合中元素的個(gè)數(shù).(1)若集合，，寫出集合與；(2)若集合滿足，，且，求證：數(shù)列，，，是等差數(shù)列；(3)設(shè)集合滿足，，且，集合（，），求證：存在集合滿足且.題型七：集合與圓和圓錐曲線-1.設(shè)集合，（）.當(dāng)有且只有一個(gè)元素時(shí)，則正數(shù)的所有取值為（）A．或 B．C．或 D．或2.已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．3.設(shè)集合，，記，則點(diǎn)集所表示的軌跡長度為（）A． B． C． D．4.如圖，有6個(gè)半徑都為1的圓，其圓心分別為O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．記集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B為M的非空子集，且A中的任何一個(gè)圓與B中的任何一個(gè)圓均無公共點(diǎn)，則稱(A，B)為一個(gè)“有序集合對(duì)”(當(dāng)A≠B時(shí)，(A，B)和(B，A)為不同的有序集合對(duì))，那么M中“有序集合對(duì)”(A，B)的個(gè)數(shù)是A．50 B．54 C．58 D．605.（2020福建福清西山高三）設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為題型八：集合與數(shù)列一、填空題1．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，將中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則使得成立的最小的n的值為____________.二、雙空題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，它共有136個(gè)二元子集，如??…等等，記這136個(gè)二元子集為???…?，設(shè)，定義，將按照從小到大排列構(gòu)成數(shù)列，則___________；則___________.（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果用數(shù)字作答）三、解答題3．（2022·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，且前四項(xiàng)和為28，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷是否為等比數(shù)列；(2)對(duì)于集合A，B，定義集合.若，設(shè)數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，將集合的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.4．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求；(2)若集合，將中的所有元素按從小到大順序排列，構(gòu)成數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列和遞增的等差數(shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列和數(shù)列中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合和，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列前63項(xiàng)和.6．（2022·江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記中所有的項(xiàng)構(gòu)成的集合為，中所有的項(xiàng)構(gòu)成的集合為B，將中的所有元素從小到大依次排列得到數(shù)列，求的前50項(xiàng)的和．7．（2021·上海虹口·一模）已知集合，.中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)的和.(1)求；(2)如果，，求和的值；(3)如果，求（用來表示）.【九種解題模型】一：venn圖法解決集合運(yùn)算問題一、單選題1．（2022·海南·嘉積中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．2．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合中，所包含元素的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，，則?UA∩B=（

A． B．C． D．二、填空題4．（2019·江蘇南京·三模）已知全集，，則________.5．（2020·江蘇南通·三模）已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，則集合AB＝_______.二：分類討論方法解決元素與集合關(guān)系問題一、單選題1．（2013·全國·高考真題（理））設(shè)集合，，，則M中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題2．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A，B滿足：，，函數(shù)對(duì)于下列結(jié)論：①不存在非空集合對(duì)，使得為偶函數(shù)；②存在唯一非空集合對(duì)，使得為奇函數(shù)；③存在無窮多非空集合對(duì)，使得方程無解．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_________．三、解答題3．（2020·北京·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)給定的正整數(shù)，令，，，，，，2，3，，．對(duì)任意的，，，，，，，，定義與的距離．設(shè)是的含有至少兩個(gè)元素的子集，集合，，中的最小值稱為的特征，記作（A）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，直接寫出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)且（A），求中元素個(gè)數(shù)的最大值；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)且（A），求證：中的元素個(gè)數(shù)小于．三：根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍一、單選題1．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．四：數(shù)軸法解決集合運(yùn)算問題一、單選題1．（2022·四川·瀘縣五中模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)全集，已知集合，，則?U(A∩B)=（

）A． B． C． D．2．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知集合，，則（

）A．R B． C． D．3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））已知集合，，則（

）A． B．C． D．二、填空題4．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，則________.5．（2020·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則______．6．（2020·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則______.7．（2020·江蘇·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知集合，集合，則________．8．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·三模）已知全集U＝R，A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，則A∩五、元素、子集、集合的個(gè)數(shù)1．（2022?衡水模擬）已知集合A＝{x|+＝1，x∈N}，A?C?{0，1，2，3，4}，則滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022?密云區(qū)一模）已知集合P＝{x|0＜x＜4，x∈Z}，且M?P，則M可以是（）A．{1，2} B．{2，4} C．{0，2} D．{3，4}六、集合的交、并、補(bǔ)全的運(yùn)算3．（2022?溫江區(qū)模擬）集合A＝{a∈Z|a2≤4}，B＝{b∈N|b＜3}，則A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{1，2，3}4．（2022?溫江區(qū)模擬）給定正數(shù)a，b及實(shí)數(shù)m，記，若滿足A∩Bm＝?的實(shí)數(shù)m的取值集合為{2，﹣2}，則（）A．a(chǎn)＝2，b＝1 B．a(chǎn)＝4，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝1，b＝4七、集合法解充分必要條件5．（2022?浙江模擬）設(shè)x，y都是不等于1的正數(shù)，則“l(fā)ogx2＜logy2”是“2x＞2y＞2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2022?丹東模擬）若x∈R，則使“x2＜2x”成立的一個(gè)必要不充分條件為（）A．0 B．2＞4x C．＞1 D．x＞0八、充分、必要條件的應(yīng)用7．（2022?義烏市模擬）已知實(shí)數(shù)a，b，a＞0，b＞0，則“a+b＜2”是“”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2022??？谀M）已知x，y∈R且x≠0，則“x＞y”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件九、量詞命題及其否定9．（2022?齊齊哈爾三模）已知0＜b＜a＜1，下列四個(gè)命題：①?x∈（0，+∞），ax＞bx，②?x∈（0，1），logax＞logbx，③?x∈（0，1），xa＞xb，④?x∈（0，b），ax＞logax．其中是真命題的有（）A．①③ B．②④ C．①② D．③④10．（2022?遼寧模擬）關(guān)于圓C：（x﹣a）2+y2＝a2，有下列四個(gè)命題：甲：圓C的半徑r＝1；乙：直線與圓C相切；丙：圓C經(jīng)過點(diǎn)（2，0）；?。褐本€x﹣y﹣1＝0平分圓C，如果只有一個(gè)命題是假命題．則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【熱點(diǎn)、重難點(diǎn)真題訓(xùn)練】一．選擇題（共12小題）1．（2022?新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}2．（2022?乙卷）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（）A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M3．（2022?乙卷）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，則M∩N＝（）A．{2，4} B．{2，4，6} C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，10}4．（2022?新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}5．（2022?甲卷）設(shè)全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4