第07講平面向量的應(yīng)用與新定義（六種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第07講平面向量的應(yīng)用與新定義（六種題型）題型一：用向量證明線段垂直一、單選題1．（2023春·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的焦距為，它的兩條漸近線與直線的交點(diǎn)分別為A，B，若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，且的面積為，則雙曲線C的焦距為（

）A．5 B． C． D．2．（2022秋·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則O一定為△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心二、多選題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在△所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（

）A．若動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△的垂心；B．若，則點(diǎn)為△的內(nèi)心；C．若，則點(diǎn)為△的外心；D．若動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△的重心.6．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影為三、填空題7．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A，若，則__________．四、解答題8．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為，若點(diǎn)滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)，證明：.9．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x，A，B，其中m>0，過B的直線l交拋物線C于M，N.（1）當(dāng)m＝5，且直線l垂直于x軸時(shí)，求證：△AMN為直角三角形；（2）若＝＋，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，求實(shí)數(shù)m，使得AM⊥AN.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.11．（2022·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃﹦狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(0，1)的距離比它到直線的距離小1，設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，過點(diǎn)A、B分別作曲線C的切線，且二者相交于點(diǎn)M．(1)求曲線C的方程；(2)求證：；(3)求△ABM的面積的最小值．題型二：用向量解決夾角問題一、單選題1．（2020·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對邊分別為，已知，且，點(diǎn)滿足，，則的面積為A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△中，“”是“△為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題3．（2021秋·山東泰安·高三校考階段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．4．（2022春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，均為單位向量，且，則與夾角的余弦值為______．三、解答題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．題型三：用向量解決線段的長度問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則邊上的中線長為（

）A．49 B．7 C． D．2．（2021·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列{xn}的各項(xiàng)都為正數(shù)且x1=1．△ABC內(nèi)的點(diǎn)Pn（n∈N*）均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為2：1，若+xn+1+（2xn+1）=，則x4的值為A．15 B．17 C．29 D．313．（2021·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知共面向量滿足，且.若對每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí)，的最大值為A． B．2 C．4 D．6二、填空題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心．過點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，則__________；與周長之比的取值范圍為__________．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，等腰三角形，，．，分別為邊，上的動點(diǎn)，且滿足，，其中，，，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為_____.三、解答題6．（2023秋·吉林長春·高三長春市第二中學(xué)?？计谀┰谥?，內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的三個(gè)角，，的對邊分別是，，，而且滿足.(1)求角的值；(2)若，，邊AB上的中點(diǎn)為D，求CD的長度.8．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知.(1)求內(nèi)角；(2)點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，已知，求面積的最大值.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，，，邊上一點(diǎn)，這里異于．由引邊的垂線是垂足，再由引邊的垂線是垂足，又由引邊的垂線是垂足．同樣的操作連續(xù)進(jìn)行，得到點(diǎn)，，．設(shè)，如圖所示.（1）求的值；（2）某同學(xué)對上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：，問該同學(xué)這個(gè)結(jié)論是否正確并說明理由；（3）用和表示．題型四：向量與幾何最值一、單選題1．（2022秋·山東煙臺·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，AB為半圓的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個(gè)動，則最大值為（

）A．13 B． C．5 D．3．（2023·山東濰坊·?？家荒＃┮阎矫嫦蛄繚M足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點(diǎn)C、D分別為線段OA、OB上的動點(diǎn)，且，點(diǎn)E為上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為06．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C．若為銳角三角形且外心為，且，則D．若，則動點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心三、雙空題7．（2022秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考期末）菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則___________，的最小值為___________.四、填空題8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．9．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最大值為_________．10．（2022秋·遼寧大連·高三育明高中?？计谥校┮阎蛄颗c的夾角為，，，向量的夾角為，，則的最大值是___________.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O的半徑為2，A為圓內(nèi)一點(diǎn)，，B，C為圓O上任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是_________．12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，若對于滿足的任意向量，都存在，使得恒成立，則向量的模的最大值為________.題型五：向量在物理中的應(yīng)用一、單選題1．（2021·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測）渭河某處南北兩岸平行，如圖所示.某艘游船從南岸碼頭出發(fā)北航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中航行速度大小為，河水流速度的大小為.設(shè)速度與速度的夾角為，北岸的點(diǎn)在碼頭的正北方向.那么該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)（

）A．在東側(cè) B．在西側(cè)C．恰好與重合 D．無法確定2．（2020·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A．63 B．69 C．75 D．813．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為（

）A．6 B．2 C．2 D．24．（2021·全國·高三專題練習(xí)）空間作用在同一點(diǎn)的三個(gè)力兩兩夾角為，大小分別為，設(shè)它們的合力為，則（

）A．，且與夾角余弦為B．，且與夾角余弦為C．，且與夾角余弦為D．，且與夾角余弦為二、多選題5．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在日常生活中，我們會看到兩人共提一個(gè)行李包的情境（如圖）假設(shè)行李包所受重力均為，兩個(gè)拉力分別為，若與的夾角為，則以下結(jié)論正確的是（）A．的最小值為 B．的范圍為C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，6．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在水流速度為的河水中，一艘船以的實(shí)際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（

）A．這艘船航行速度的大小為B．這艘船航行速度的大小為C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為三、填空題7．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力，垂直斜面向上的彈力，沿著斜面向上的摩擦力.已知：，則的大小為___________.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．四、解答題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個(gè)定滑輪，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為和物體，另在兩滑輪中間的一段繩子的點(diǎn)O處懸掛質(zhì)量為m的另一物體，已知，且系統(tǒng)保持平衡（滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計(jì)）．求證：（1）為定值；（2）．題型六：向量中的新定義一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）向量的運(yùn)算包含點(diǎn)乘和叉乘，其中點(diǎn)乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積．現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個(gè)不共線的空間向量與，規(guī)定：①為同時(shí)與，垂直的向量；②，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③；④若，，則，其中．如圖2，在長方體中，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．長方體的體積2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點(diǎn)，對于內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則稱有序?qū)崝?shù)對為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)．若點(diǎn)A，B的廣義坐標(biāo)分別為，，關(guān)于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為B．A，B兩點(diǎn)間的距離為C．若向量平行于向量，則D．若向量垂直于向量，則4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P．已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，后分別得到點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．點(diǎn)的坐標(biāo)為三、填空題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義兩個(gè)向量組的運(yùn)算，設(shè)為單位向量，向量組分別為的一個(gè)排列，則的最小值為_______．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）向量集合,對于任意,以及任意,都有,則稱為“類集”,現(xiàn)有四個(gè)命題:①若為“類集”