第13講二項分布與正態(tài)分布（六種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第13講二項分布與正態(tài)分布（六種題型）題型一：利用條件概率公式求解條件概率一、單選題1．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習(xí)）在一次春節(jié)聚會上，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人各寫了一張祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為二、多選題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），簡稱“新冠肺炎”，世界衛(wèi)生組織命名為“2019冠狀病毒病”，是指2019新型冠狀病毒感染導(dǎo)致的肺炎.用核酸檢測的方法可以診斷是否患有新冠，假設(shè)，，其中隨機(jī)事件表示“某次核酸檢測被檢驗者陽性”，隨機(jī)事件表示“被檢驗者患有新冠”，現(xiàn)某人群中，則在該人群中（

）A．每100人必有1人患有新冠B．若，則事件與事件相互獨(dú)立C．若某人患有新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.999D．若某人沒患新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.0013．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人寫了一個祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為三、填空題4．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實(shí)驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是__________．四、解答題5．（2023·湖南·模擬預(yù)測）2020年全面建成小康社會取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅取得決定性勝利．某脫貧縣實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康的目標(biāo)，該縣經(jīng)濟(jì)委員會積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟(jì)，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢，對本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會效益和經(jīng)濟(jì)效益的雙豐收．(1)該縣經(jīng)濟(jì)委員會為精準(zhǔn)了解本地特產(chǎn)廣告宣傳的導(dǎo)向作用，在購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取300人進(jìn)行廣告宣傳作用的調(diào)研，對因廣告宣傳導(dǎo)向而購買該縣特產(chǎn)的客戶統(tǒng)計結(jié)果是：客戶群體中青年人約占，其中男性為；中年人約占，其中男性為；老年人約占，其中男性為．以樣本估計總體，視頻率為概率．（?。┰谒匈徺I該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶，求抽取的客戶是男性的概率；（ⅱ）在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶是男客戶，求他是中年人的概率（精確到0.0001）(2)該縣經(jīng)濟(jì)委員會統(tǒng)計了2021年6～12月這7個月的月廣告投入x（單位：萬元）；y（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如表所示：月廣告投入x/萬元1234567月銷量y/萬件28323545495260已知可用線性回歸模擬擬合y與x的關(guān)系，得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，請根據(jù)相關(guān)系數(shù)r說明相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．（若，則認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，r值精確到0.001）參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評估藥物對目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗，檢測顯示臨床療效評價指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗，并得到了一組數(shù)據(jù)，，其中表示連續(xù)用藥i天，表示相應(yīng)的臨床療效評價指標(biāo)A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗，剛開始用藥時，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩.經(jīng)計算得到如下一些統(tǒng)計量的值：，，，，，其中.(1)試判斷與哪一個適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型？并建立y關(guān)于x的回歸方程；(2)新藥經(jīng)過臨床試驗后，企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時批量生產(chǎn)該商品，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.012，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品約概率為0.009，兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨(dú)立.（i）隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；（ii）若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品，求該藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.題型二：利用二項分布概率公式求二項分布的分布列一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品在專賣店進(jìn)行售賣.已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調(diào)查了對這款紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者（以下把對該紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者簡稱為消費(fèi)者）的心理價位，并將收集的100名消費(fèi)者的心理價位整理如下：心理價位（元/件）90100110120人數(shù)10205020假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價位時，該消費(fèi)者就會購買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費(fèi)者的需求，規(guī)定每位消費(fèi)者最多只能購買一件該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價格為x（單位：元/件），，且每位消費(fèi)者是否購買該紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.(1)若，試估計消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率；已知某時段有4名消費(fèi)者進(jìn)店，X為這一時段該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)假設(shè)共有M名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤為Y（單位：元），當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價格x定為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？2．（2022秋·山東東營·高三勝利一中校考期末）致敬百年，讀書筑夢，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識競賽”活動．并對某年級的100位學(xué)生競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表．規(guī)定：成績在內(nèi)，為成績優(yōu)秀．成績?nèi)藬?shù)510152520205(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)；優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男10女35合計(2)某班級實(shí)行學(xué)分制，為鼓勵學(xué)生多讀書，推出“讀書抽獎額外賺學(xué)分”趣味活動方案：規(guī)定成績達(dá)到優(yōu)秀的同學(xué)，可抽獎2次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于成績分布表中不低于80分的人數(shù)頻率），中獎1次學(xué)分加5分，中獎2次學(xué)分加10分．若學(xué)生甲成績在內(nèi)，請列出其本次讀書活動額外獲得學(xué)分?jǐn)?shù)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望．參考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.8793．（2022春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）為了讓人民群眾過一個歡樂祥和的新春佳節(jié)，某地疫情防控指揮部根據(jù)當(dāng)?shù)匾咔榉揽毓ぷ鞑渴穑才?名干部和三個部門（A，B，C）的16名職工到該地的四個高速路口擔(dān)任疫情防控志愿者，其中16名職工分別是A部門8人，B部門4人，C部門4人.(1)若從這16名職工中選出4人作為組長，求至少有2個組長來自A部門的概率；(2)若將這4名干部隨機(jī)安排到四個高速路口（假設(shè)每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的選擇是相互獨(dú)立的），記安排到第一個高速路口的干部人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.4．（2022春·安徽滁州·高三?？计谥校?022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績．北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運(yùn)動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動．某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動知識競賽，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分頻率(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取5人．現(xiàn)從這5人中抽取2人進(jìn)行座談，求兩人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(2)以這100名參賽學(xué)生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率．現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）血液檢測是診斷是否患某疾病的重要依據(jù)，通過提取病人的血液樣本進(jìn)行檢測，樣本的某一指標(biāo)會呈現(xiàn)陽性或陰性.若樣本指標(biāo)呈陽性，說明該樣本攜帶病毒；若樣本指標(biāo)呈陰性，說明該樣本不攜帶病毒.根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每個疑似病例的樣本呈陽性（即樣本攜帶病毒）的概率均為.現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其進(jìn)行血液樣本檢測.多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要攜帶病毒，則混合樣本化驗結(jié)果就會呈陽性.若混合樣本呈陽性，則將該組中各個樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則該組各個樣本均為陰性.現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：逐個化驗；方案二：平均分成兩組化驗.在該疾病爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.(1)若，求這4例疑似病例中呈陽性的病例個數(shù)X的分布列；(2)若將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗，且方案二比方案一更“優(yōu)”，求p的取值范圍，6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）交通信號燈中的紅燈與綠燈交替出現(xiàn).某汽車司機(jī)在某一線路的行駛過程要經(jīng)過兩段路，若已知路段共要過個交通崗，且經(jīng)過交通崗時遇到紅燈或綠燈是相互獨(dú)立的，每次遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，在路段的行駛過程中，首個交通崗遇到紅燈的概率為，且上一交通崗遇到紅燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為；若上一交通崗遇到綠燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，記段線路中第個交通崗遇到紅燈的概率為.(1)求該司機(jī)在路段的行駛過程中遇到紅燈次數(shù)的分布列與期望；(2)①求該司機(jī)在路段行駛過程中第個交通崗遇到紅燈的概率的通項公式；②試判斷在最后離開路段時的最后一個交通崗遇到紅燈的概率大于，還是小于，請用數(shù)據(jù)說明.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G有2n﹣1個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率均為p，且每個電子元件能否正常工作相互獨(dú)立．若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需維修．（1）當(dāng)時，若該電子產(chǎn)品由3個系統(tǒng)G組成，每個系統(tǒng)的維修所需費(fèi)用為500元，設(shè)為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的總費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)C可以正常工作，問p滿足什么條件時，可以提高整個系統(tǒng)G的正常工作概率？8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關(guān)系；（3）求數(shù)列的通項公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.9．（2022·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考三模）冬季兩項是第24屆北京冬奧會的比賽項目之一，它把越野滑雪和射擊兩種特點(diǎn)不同的競賽項目結(jié)合在一起.其中20男子個人賽的規(guī)則如下：①共滑行5圈（每圈4），前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發(fā)子彈，第5圈滑行直達(dá)終點(diǎn)；②如果選手有n發(fā)子彈未命中目標(biāo)，將被罰時n分鐘；③最終用時為滑雪用時、射擊用時和被罰時間之和，最終用時少者獲勝.已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率分別為和.假設(shè)甲、乙兩人的射擊用時相同，且每發(fā)子彈是否命中目標(biāo)互不影響.(1)若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，求最終甲勝乙的概率；(2)若僅從最終用時考慮，甲、乙兩位選手哪個水平更高？說明理由.題型三：利用二項分布期望方差公式求解期望和方差一、填空題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，若最大，則______．二、解答題2．（2022·河北·模擬預(yù)測）中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟(jì)蒼生.中國工程院院士張伯禮在接受記者采訪時說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人的幾率.對改善發(fā)熱?咳嗽?乏力等癥狀，中藥起效非?？?，對肺部炎癥的吸收和病毒轉(zhuǎn)陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護(hù)人員對確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A，B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復(fù)的概率都為，B組3人康復(fù)的概率分別為，，.(1)設(shè)事件C表示A組中恰好有1人康復(fù)，事件D表示B組中恰好有1人康復(fù)，求；(2)若服藥一個療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認(rèn)定：積分期望值越高藥性越好，請問甲?乙兩種中藥哪種藥性更好？3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個“AI作業(yè)”項目，并且在甲、乙兩個學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測試.經(jīng)過一個階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對他們的“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)掌握的情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)相互獨(dú)立.(1)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用表示抽取的2名學(xué)生中使用“AI作業(yè)”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)用樣本頻率估計概率，從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“X=1”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“X=0”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“Y=1”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“Y=0”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”.比較方差DX和DY的大小關(guān)系.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒，每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個.（1）記事件：一次性購買個甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事件：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒.通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為，前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為.①求的通項公式；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為，且這人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個系列的盲盒各多少個.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競賽活動，該學(xué)校準(zhǔn)備了個相同的箱子，其中第個箱子中有個數(shù)學(xué)題，個物理題．每一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結(jié)束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品．(1)已知學(xué)生甲在每一輪活動中，都抽中了個數(shù)學(xué)題，個物理題，且甲答對每一個數(shù)學(xué)題的概率為，答對每一個物理題的概率為．①求學(xué)生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；②已知，學(xué)生甲理論上至少要進(jìn)行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時、的值．(2)若學(xué)生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)從生產(chǎn)的一批零件中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質(zhì)量指標(biāo)值m（其中：），得到頻率分布直方圖，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如表所示：質(zhì)量指標(biāo)值m150≤m<350100≤m<150或350≤m≤400等級A級B級(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的分位數(shù)；(2)從樣本的B級零件中隨機(jī)抽3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[350，400]的零件的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用混裝的方式將所有的零件按500個一箱包裝，已知一個A級零件的利潤是10元，一個B級零件的利潤是5元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計每箱零件的利潤.題型四：利用正太分布對稱性求概率或參數(shù)值一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個隨機(jī)變量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1二、多選題2．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列命題中，正確的命題是(

)A．已知隨機(jī)變量服從，若，則B．已知，則C．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．某人在次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則當(dāng)時概率最大3．（2022·湖北襄陽·襄陽五中?？寄M預(yù)測）下列命題中，正確的是（

）A．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B．已知隨機(jī)變量的分布列為，則C．用表示次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗中事件發(fā)生的概率，若，則D．已知某家系有甲和乙兩種遺傳病，該家系成員患甲病的概率為，患乙病的概率為，甲乙兩種病都不患的概率為.則家系成員在患甲病的條件下，患乙病的概率為三、解答題4．（2022秋·浙江金華·高三期末）為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪成如下頻率分布直方圖(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中指標(biāo)值的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中指標(biāo)的值服從正態(tài)分布（i）若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計其中血液指標(biāo)的值不超過的家禽數(shù)量（結(jié)果保留整數(shù)）；（ii）在統(tǒng)計學(xué)中，把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機(jī)抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中指標(biāo)的值大于，判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.參考數(shù)據(jù)：①；②若，則5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運(yùn)會承辦權(quán).為進(jìn)一步提升第十七屆福建省運(yùn)會志愿者綜合素質(zhì)，提高志愿者服務(wù)能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓(xùn)，并于培訓(xùn)后對參訓(xùn)志愿者進(jìn)行了一次測試，通過隨機(jī)抽樣，得到100名參訓(xùn)志愿者的測試成績，統(tǒng)計結(jié)果整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次測試成績近似于服從正態(tài)分布，近似為這100人測試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；(2)在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵方案：①測試成績不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，測試成績低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：贈送話費(fèi)的金額（元）1030概率今在此次參加測試的志愿者中隨機(jī)抽取一名，記該志愿者獲贈的話費(fèi)為（單位：元），試根據(jù)樣本估計總體的思想，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)與公式：若，則，，.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）教育部門最近出臺了“雙減”政策.即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）.“雙減”政策的出合對校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對2021年前200名報名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計整理，其中數(shù)據(jù)如表.消費(fèi)金額（千元）人數(shù)305060203010(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為和的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以頻率估計概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布，，分別為報名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)x以及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）.①試估計該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；②若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為的人數(shù)為，求的方差.參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ(單位:g)服從正態(tài)分布N(270，).比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進(jìn)行11場比賽(采取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規(guī)則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積3分，負(fù)隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分，負(fù)隊積1分.已知第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設(shè)每局比賽中國隊取勝的概率為p(0<p<1).（1）如果比賽準(zhǔn)備了1000個排球，估計質(zhì)量指標(biāo)在(260，265]內(nèi)的排球個數(shù)(計算結(jié)果取整數(shù)).（2）第10輪比賽中，記中國隊3:1取勝的概率為.（i）求出f(p)的最大值點(diǎn);（ii）若以作為p的值記第10輪比賽中，中國隊所得積分為X，求X的分布列.參考數(shù)據(jù):ζ~N(u，)，則p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某省年開始將全面實(shí)施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級轉(zhuǎn)換賦分．（1）某校生物學(xué)科獲得等級的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：原始分9190898887858382轉(zhuǎn)換分10099979594918886人數(shù)11212111現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請解決下列問題：①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分等級的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求取得最大值時的值．附：若，則，．題型五：利用正太分布三段區(qū)間的概率值求概率一、單選題1．（2022春·全國·高三專題練習(xí)）2020年8月11日，國家主席習(xí)近平同志對制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，他指出，餐飲浪費(fèi)現(xiàn)象，觸目驚心，令人痛心!“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，某中學(xué)制訂了“光盤計劃”，面向該校師生開展了一次問卷調(diào)查，目的是了解師生們對這一倡議的關(guān)注度和支持度，得到參與問卷調(diào)查中的2000人的得分?jǐn)?shù)據(jù).據(jù)統(tǒng)計此次問卷調(diào)查的得分（滿分：100分）服從正態(tài)分布，則（

）若隨機(jī)變量，則，A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.477252．（2022·全國·高三專題練習(xí)）醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率.若，則，，.有如下命題：甲：；乙：；丙：；?。杭僭O(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則.其中假命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、解答題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在“十三五”期間，我國的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”階段，到2020年底，全國830個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運(yùn)輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實(shí)按果徑X（單位：mm）的大小分級，其中為一級果，為特級果，一級果與特級果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實(shí)，從中隨機(jī)抽取1000個測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：(1)由頻率分布直方圖可認(rèn)為，該品種臍橙果實(shí)的果徑X服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實(shí)中任取一個，求取到的果實(shí)為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)這批采摘的臍橙按2個特級果和n（，且）個一級果為一箱的規(guī)格進(jìn)行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進(jìn)入市場．質(zhì)檢員質(zhì)檢時從每箱中隨機(jī)取出兩個果實(shí)進(jìn)行檢驗，若取到的兩個果實(shí)等級相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為，求函數(shù)的最大值，及取最大值時n的值．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某工廠為了提高某產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量引進(jìn)了一條年產(chǎn)量為100萬件的生產(chǎn)線.已知該產(chǎn)品的質(zhì)量以某項指標(biāo)值k為衡量標(biāo)準(zhǔn)，為估算其經(jīng)濟(jì)效益，該廠先進(jìn)行了試生產(chǎn)，并從中隨機(jī)抽取了100件該產(chǎn)品，統(tǒng)計了每個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k，并分成以下5組，其統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)163040104試?yán)迷摌颖镜念l率分布估計總體的概率分布，并解決下列問題：（注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）(1)由頻率分布表可認(rèn)為，該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得，記X表示某天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值k在區(qū)間之外的個數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望（精確到0.001）；(2)已知每個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k與利潤y（單位：萬元）的關(guān)系如下表所示質(zhì)量指標(biāo)值k利潤yt假定該廠所生產(chǎn)的該產(chǎn)品都能銷售出去，且這一年的總投資為500萬元，問：該廠能否在一年之內(nèi)通過銷售該產(chǎn)品收回投資？試說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）冠狀病毒是一個大型病毒家族，可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾?。霈F(xiàn)的新型冠狀病毒（nCoV）是從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株．人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等．在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡．某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢測血液中的指標(biāo)．現(xiàn)從采集的血液樣品中抽取500份檢測指標(biāo)的值，由測量結(jié)果得下側(cè)頻率分布直方圖：（1）求這500份血液樣品指標(biāo)值的平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，記作）；（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這項指標(biāo)的值X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．在統(tǒng)計學(xué)中，把發(fā)生概率小于3‰的事件稱為小概率事件（正常條件下小概率事件的發(fā)生是不正常的）．該醫(yī)院非常關(guān)注本院醫(yī)生健康狀況，隨機(jī)抽取20名醫(yī)生，獨(dú)立的檢測血液中指標(biāo)的值，結(jié)果發(fā)現(xiàn)4名醫(yī)生血液中指標(biāo)的值大于正常值20.03，試根據(jù)題中條件判斷該院醫(yī)生的健康率是否正常，并說明理由．附：參考數(shù)據(jù)與公式：，，；若，則①；②；③．，，，．6．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過元）：消費(fèi)金額（單位：百元）頻數(shù)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，）.現(xiàn)從該市任取名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.①設(shè)棋子移到第格的概率為，求證：當(dāng)時，是等比數(shù)列；②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.題型六：利用正太分布三段區(qū)間的概率值估計人數(shù)一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某市教育局對該市普通高中學(xué)生進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測試，試卷滿分120分．現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽查了10名學(xué)生的成績，分別為78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．(1)已知10名學(xué)生的平均成績?yōu)?8，計算其中位數(shù)和方差；(2)已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績分布服從正態(tài)分布，某校實(shí)驗班學(xué)生30人．①依據(jù)（1）的結(jié)果，試估計該班學(xué)