2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)兩個(gè)基本原理的應(yīng)用練習(xí)含解析新人教A版選修2-3

PAGE6-第一章1.1第2課時(shí)請同學(xué)們仔細(xì)完成練案[2]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，則不同的二次函數(shù)的個(gè)數(shù)共有(C)A．125個(gè) B．15個(gè)C．100個(gè) D．10個(gè)[解析]由題意可得a≠0，可分以下幾類，第一類：b＝0，c≠0，此時(shí)a有4種選擇，c也有4種選擇，共有4×4＝16個(gè)不同的函數(shù)；其次類：c＝0，b≠0，此時(shí)a有4種選擇，b也有4種選擇，共有4×4＝16個(gè)不同的函數(shù)；第三類：b≠0，c≠0，此時(shí)a，b，c都各有4種選擇，共有4×4×4＝64個(gè)不同的函數(shù)；第四類：b＝0，c＝0，此時(shí)a有4種選擇，共有4個(gè)不同的函數(shù)．由分類加法計(jì)數(shù)原理，可確定不同的二次函數(shù)共有N＝16＋16＋64＋4＝100(個(gè))．故選C．2．體育老師把9個(gè)相同的足球放入編號為1,2,3的三個(gè)箱子中，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不小于其編號，則不同的放球方法有(B)A．8種 B．10種C．12種 D．16種[解析]首先在三個(gè)箱子中放入個(gè)數(shù)與編號相同的球，這樣剩下三個(gè)足球，這三個(gè)足球可以隨意放置，第一種方法，可以在每一個(gè)箱子中放一個(gè)，有1種結(jié)果；其次種方法，可以把球分成兩份，1和2，這兩份在三個(gè)位置，有3×2＝6種結(jié)果；第三種方法，可以把三個(gè)球都放到一個(gè)箱子中，有3種結(jié)果．綜上可知共有1＋6＋3＝10種結(jié)果．3．(2024·泉州二模)李雷和韓梅梅兩人都安排在國慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都——泉州”“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有(C)A．16種 B．18種C．20種 D．24種[解析]隨意相鄰兩天組合一起，一共有6種狀況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷選①②或⑥⑦，則韓梅梅有4種選擇，選若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥，則韓梅梅有3種選擇，故他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20，故選C．4．如圖所示，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為(B)A．96 B．84C．60 D．48[解析]法一：分為兩類．第一類：當(dāng)花壇A、C中花相同時(shí)有4×3×1×3＝36種．其次類：當(dāng)花壇A、C中花不同時(shí)有4×3×2×2＝48種．共有36＋48＝84種，故選B．法二：分為四步．第一步：考慮A，有4種；其次步：考慮B，有3種；第三步：考慮C，有兩類，一是A與C同，C的選法有1種，這樣第四步D的選法有3種．二是A與C不同，C的選法是2種，此時(shí)第四步D的選法也是2種．共有4×3×(1×3＋2×2)＝84(種)．5．如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路，其中共有6個(gè)焊接點(diǎn)A、B、C、D、E、F，假如某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會不通，現(xiàn)在電路不通了，那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有(C)A．6種 B．36種C．63種 D．64種[解析]每個(gè)焊接點(diǎn)都有正常與脫落兩種狀況，只要有一個(gè)脫落電路即不通，∴共有26－1＝63種．故選C．6．如圖所示給五個(gè)區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇．要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同涂色方法種數(shù)為(C)A．24種 B．48種C．72種 D．96種[解析]解法一：分兩種狀況：(1)A、C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B、D有1種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知有4×3×2＝24種．(2)A、C同色，先涂A有4種，E有3種，B、D各有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知有4×3×2×2＝48種．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有72種，故選C．解法二：先涂A，有4種涂法，再涂B、D，①若B與D同色，則B有3種，E有2種，C有2種，共有4×3×2×2＝48種；②若B與D不同色，則B有3種，D有2種，E有1種，C有1種，共有4×3×2×1×1＝24種，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有不同涂法48＋24＝72種．二、填空題7．用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有__14__個(gè)．(用數(shù)字作答)[解析]法一：數(shù)字2只出現(xiàn)一次的四位數(shù)有4個(gè)；數(shù)字2出現(xiàn)兩次的四位數(shù)有6個(gè)；數(shù)字2出現(xiàn)三次的四位數(shù)有4個(gè)．故總共有4＋6＋4＝14(個(gè))．法二：由數(shù)字2,3組成的四位數(shù)共有24＝16個(gè)．其中沒有數(shù)字2的四位數(shù)只有1個(gè)，沒有數(shù)字3的四位數(shù)也只有1個(gè)，故符合條件的四位數(shù)共有16－2＝14(個(gè))．8．現(xiàn)有五種不同的顏色，要對圖形中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色，不同的涂色方法有__180__種．[解析]依次給區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ涂色分別有5、4、3、3種方法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法的種數(shù)為5×4×3×3＝180．9．有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有不同的取法__242__種．[解析]取兩本書中，一本數(shù)學(xué)、一本語文，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有10×9＝90(種)不同取法；取兩本書中，一本語文、一本英語，有9×8＝72(種)不同取法；取兩本書中，一本數(shù)學(xué)、一本英語，有10×8＝80(種)不同取法．綜合以上三類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有90＋72＋80＝242(種)不同取法．三、解答題10．有三項(xiàng)體育運(yùn)動項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目均設(shè)冠軍和亞軍各一名獎(jiǎng)項(xiàng)．(1)學(xué)生甲參與了這三個(gè)運(yùn)動項(xiàng)目，但只獲得一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，學(xué)生甲獲獎(jiǎng)的不同狀況有多少種？(2)有4名學(xué)生參與了這三個(gè)運(yùn)動項(xiàng)目，若一個(gè)學(xué)生可以獲得多項(xiàng)冠軍，那么各項(xiàng)冠軍獲得者的不同狀況有多少種？[解析](1)三個(gè)運(yùn)動項(xiàng)目，共有六個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，由于甲獲得一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)且甲可獲得六個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)中的任何一個(gè)．∴甲有6種不同的獲獎(jiǎng)狀況．(2)每一項(xiàng)體育運(yùn)動項(xiàng)目中冠軍的歸屬都有4種不同的狀況，故各項(xiàng)冠軍獲得者的不同狀況有4×4×4＝64(種)．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．某單位有7個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，假如要求剩余的4個(gè)車位連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為(C)A．16 B．18C．24 D．32[解析]若將7個(gè)車位從左向右按1～7進(jìn)行編號，則該3輛車有4種不同的停放方法：(1)停放在1～3號車位；(2)停放在5～7號車位；(3)停放在1、2、7號車位；(4)停放在1、6、7號車位．每一種停放方法均有6種，故共有24種不同的停放方法．2．(2024·浙江三模)三位數(shù)中，假如百位數(shù)字，十位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字剛好能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱為“等差三位數(shù)”，例如：147,642,777,420等等，等差三位數(shù)的總個(gè)數(shù)為(D)A．32 B．36C．40 D．45[解析]公差為0的三位數(shù)有9個(gè)，公差為1的三位數(shù)有7個(gè)，公差為－1的有8個(gè)，公差為2的三位數(shù)有5個(gè)，公差為－2的三位數(shù)有6個(gè)，公差為3的三位數(shù)有3個(gè)，公差為－3的有4個(gè)，公差為4的三位數(shù)有1個(gè)，公差為－4的有2個(gè)，滿意題意的三位數(shù)有9＋7＋8＋5＋6＋3＋4＋1＋2＝45，故選D．二、填空題3．小張正在玩“一款種菜的”嬉戲，他安排從倉庫里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡蘿卜這5種種子中選出4種分別種植在四塊不同的空地上(一塊空地只能種植一種作物)，若小張已確定在第一塊空地上種茄子或辣椒，則不同的種植方案共有__48__種．[解析]當(dāng)?shù)谝粔K地種茄子時(shí)，有4×3×2＝24種不同的種法；當(dāng)?shù)谝粔K地種辣椒時(shí)，有4×3×2＝24種不同的種法，故共有48種不同的種植方案．4．從集合{1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)元素作為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中的幾何量a、b的值，則“雙曲線漸近線的斜率k滿意|k|≤1”的概率為__eq\f(1,2)__．[解析]全部可能取法有6×5＝30種，由|k|＝eq\f(b,a)≤1知b≤a，滿意此條件的有(2,1)，(3,2)，(3,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)共15種，∴所求概率P＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)．三、解答題5．(2024·杭州外國語學(xué)校檢測)給出一個(gè)正五棱柱，用3種顏色給其10個(gè)頂點(diǎn)染色，要求各側(cè)棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，有幾種染色方案？[解析]分兩步，先給上底面的5個(gè)頂點(diǎn)染色，每個(gè)頂點(diǎn)都有3種方法，共有35種方法，再給下底面的5個(gè)頂點(diǎn)染色，因?yàn)楦鱾?cè)棱兩個(gè)端點(diǎn)不同色，所以每個(gè)頂點(diǎn)有2種方法，共有25種方法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有35·25＝7776(種)染色方案．6．用1、2、3、4四個(gè)數(shù)字(可重復(fù))排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)由小到大排成一個(gè)數(shù)列{an}．(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前11項(xiàng)；(2)這個(gè)數(shù)列共