2015-2024年十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題19 解三角形大題綜合

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題19解三角形大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢考點(diǎn)1求面積的值及范圍或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·浙江卷、2019·全國卷、2017·全國卷2016·全國卷、2015·浙江卷、2015·全國卷2015·山東卷掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用，會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問題，會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問題，會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，也常結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。考點(diǎn)2求邊長、周長的值及范圍或最值（10年8考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2017·山東卷2017·全國卷、2016·全國卷、2015·浙江卷2015·山東卷考點(diǎn)3求角和三角函數(shù)的值及范圍或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山東卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全國卷考點(diǎn)4求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長（10年幾考）2023·全國新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全國卷2015·安徽卷、2015·全國卷考點(diǎn)5三角形中的證明問題（10年4考）2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山東卷、2016·四川卷2015·湖南卷考點(diǎn)01求面積的值及范圍或最值1．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．2．（2023·全國甲卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.4．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．5．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．6．（2017·全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為已知.（1）求角和邊長；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且,求的面積.7．（2016·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.8．（2015·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.9．（2015·全國·高考真題）已知分別是內(nèi)角的對邊，．（1）若，求（2）若，且求的面積．10．（2015·山東·高考真題）設(shè).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積的最大值.考點(diǎn)02求邊長、周長的值及范圍或最值1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．5．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．6．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．8．（2020·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.9．（2020·全國·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.10．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.11．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.12．（2017·山東·高考真題）在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.13．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，△ABC的面積為2，求．14．（2016·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.15．（2015·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值.16．（2015·山東·高考真題）中，角所對的邊分別為.已知求和的值.考點(diǎn)03求角和三角函數(shù)的值及范圍或最值1．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．2．（2023·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．3．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.4．（2021·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.6．（2020·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．7．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．8．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．9．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．10．（2019·北京·高考真題）在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．11．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．12．（2018·天津·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大??；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.13．（2017·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.14．（2017·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.15．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．16．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．17．（2016·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若的面積，求角的大小．18．（2016·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.19．（2016·北京·高考真題）在△ABC中，(1)求B的大??；(2)求cosA＋cosC的最大值．20．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．21．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.22．（2016·江蘇·高考真題）在中，AC=6，（1）求AB的長；（2）求的值.23．（2015·江蘇·高考真題）在中，已知.（1）求的長；（2）求的值.24．（2015·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．25．（2015·四川·高考真題）如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.（1）證明：（2）若求的值.26．（2015·湖南·高考真題）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，且為鈍角，求.27．（2015·湖南·高考真題）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.28．（2015·全國·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.考點(diǎn)04求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．2．（2018·北京·高考真題）在中，．（1）求；（2）求邊上的高．3．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.4．（2015·安徽·高考真題）在中，,點(diǎn)D在邊上，，求的長.5．（2015·全國·高考真題）中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．考點(diǎn)05三角形中的證明問題1．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.3．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．4．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．5．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．6．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.7．（2015·湖南·高考真題）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，且為鈍角，求.專題19解三角形大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢考點(diǎn)1求面積的值及范圍或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·浙江卷、2019·全國卷、2017·全國卷2016·全國卷、2015·浙江卷、2015·全國卷2015·山東卷掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用，會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問題，會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問題，會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，也常結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)?？键c(diǎn)2求邊長、周長的值及范圍或最值（10年8考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2017·山東卷2017·全國卷、2016·全國卷、2015·浙江卷2015·山東卷考點(diǎn)3求角和三角函數(shù)的值及范圍或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山東卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全國卷考點(diǎn)4求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長（10年幾考）2023·全國新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全國卷2015·安徽卷、2015·全國卷考點(diǎn)5三角形中的證明問題（10年4考）2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山東卷、2016·四川卷2015·湖南卷考點(diǎn)01求面積的值及范圍或最值1．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．2．（2023·全國甲卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.4．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．5．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．6．（2017·全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為已知.（1）求角和邊長；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且,求的面積.7．（2016·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.8．（2015·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.9．（2015·全國·高考真題）已知分別是內(nèi)角的對邊，．（1）若，求（2）若，且求的面積．10．（2015·山東·高考真題）設(shè).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積的最大值.考點(diǎn)02求邊長、周長的值及范圍或最值1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．5．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．6．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．8．（2020·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.9．（2020·全國·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.10．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.11．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.12．（2017·山東·高考真題）在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.13．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，△ABC的面積為2，求．14．（2016·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.15．（2015·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值.16．（2015·山東·高考真題）中，角所對的邊分別為.已知求和的值.考點(diǎn)03求角和三角函數(shù)的值及范圍或最值1．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．2．（2023·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．3．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.4．（2021·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.6．（2020·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．7．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大?。唬↖I）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．8．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．9．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．10．（2019·北京·高考真題）在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．11．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．12．（2018·天津·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大??；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.13．（2017·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.14．（2017·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.15．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．16．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．17．（2016·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若的面積，求角的大小．18．（2016·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.19．（2016·北京·高考真題）在△ABC中，(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．20．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．21．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.22．（2016·江蘇·高考真題）在中，AC=6，（1）求AB的長；（2）求的值.23．（2015·江蘇·高考真題）在中，已知.（1）求的長；