2015-2024年十年高考數(shù)學真題分類匯編專題08 數(shù)列小題綜合（解析版）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題08數(shù)列小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1數(shù)列的增減性（10年3考）2022·全國乙卷、2022·北京卷2021·全國甲卷、2020·北京卷1.掌握數(shù)列的有關概念和表示方法，能利用與的關系以及遞推關系求數(shù)列的通項公式，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調性解決簡單的問題，該內容是新高考卷的必考內容，?？疾槔门c關系求通項或項及通項公式構造的相關應用，需綜合復習2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系并能用等差數(shù)列的有關知識解決相應的問題，熟練掌握等差數(shù)列通項公式與前n項和的性質，該內容是新高考卷的必考內容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構造為等差數(shù)列，求通項公式及前n項和，需綜合復習3.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系并能用等比數(shù)列的有關知識解決相應的問題，熟練掌握等比數(shù)列通項公式與前n項和的性質，該內容是新高考卷的必考內容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過構造為等比數(shù)列，求通項公式及前n項和。需綜合復習4.熟練掌握裂項相消求和和錯位相減求和，該內容是新高考卷的?？純热荩？疾榱秧椣嘞蠛?、錯位相減求和、奇偶并項求和，需重點綜合復習考點2遞推數(shù)列及數(shù)列的通項公式（10年6考）2023·北京卷、2022·北京卷、2022·浙江卷2021·浙江卷、2020·浙江卷、2020·全國卷2019·浙江卷、2017·上海卷考點3等差數(shù)列及其前n項和（10年10考）2024·全國甲卷、2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅰ卷、2022·北京卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、2020·全國卷、2019·全國卷2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·北京卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2016·浙江卷、2015·重慶卷2015·全國卷、2015·全國卷、2016·北京卷、2016·江蘇卷、2015·廣東卷、2015·陜西卷、2015·安徽卷、2015·全國卷考點4等比數(shù)列及其前n項和（10年10考）2023·全國甲卷、2023·天津卷、2023·全國新Ⅱ卷2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷2017·全國卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷、2016·全國卷、2015·浙江卷2015·全國卷、2015·全國卷、2015·湖南卷2015·廣東卷、2015·安徽卷考點5數(shù)列中的數(shù)學文化（10年6考）2023·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·浙江卷、2020·全國卷、2020·全國卷2018·北京卷、2017·全國卷考點6數(shù)列求和（10年10考）2021·浙江卷、2021·全國新Ⅱ卷2020·江蘇卷、2017·全國卷、2015·江蘇考點01數(shù)列的增減性1．（2022·全國乙卷·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設則故D正確.2．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是．【答案】①③④【分析】推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當時，，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設對任意的，，則，所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.故答案為：①③④.【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.3．（2021·全國甲卷·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.考點02遞推數(shù)列及數(shù)列的通項公式1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質，故可判斷B的正誤.法2：構造，利用導數(shù)求得的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調性；對于A，構造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構造，判斷得，進而取推得不恒成立.【詳解】法1：因為，故，對于A，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立，由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結合的單調性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當時，，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞減，故，所以在上單調遞增，故，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當時，，，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，又當時，，即，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當時，，，猜想當時，，當與時，與滿足，假設當時，，當時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，假設存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因為，當時，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞增，故，所以，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是根據(jù)首項給出與通項性質相關的相應的命題，再根據(jù)所得命題結合放縮法得到通項所滿足的不等式關系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是．【答案】①③④【分析】推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當時，，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設對任意的，，則，所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.故答案為：①③④.【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.3．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當時，則，當且僅當時等號成立，，由累乘法可得，且，則，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．5．（2020·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項和是．【答案】【分析】根據(jù)通項公式可求出數(shù)列的前三項，即可求出．【詳解】因為，所以．即．故答案為：.【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列中的項并求和，屬于容易題．6．（2020·全國·高考真題）數(shù)列滿足，前16項和為540，則.【答案】【分析】對為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立方程，求解即可得出結論.【詳解】，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.設數(shù)列的前項和為，，.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類討論思想和數(shù)學計算能力，屬于較難題.7．（2019·浙江·高考真題）設，數(shù)列中，，,則A．當 B．當C．當 D．當【答案】A【解析】若數(shù)列為常數(shù)列，，則只需使，選項的結論就會不成立.將每個選項的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項B、C、D均有小于10的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質，以及基本不等式，可證得A選項正確.【詳解】若數(shù)列為常數(shù)列，則，由，可設方程選項A：時，，，，故此時不為常數(shù)列，，且，，則，故選項A正確；選項B：時，，，則該方程的解為，即當時，數(shù)列為常數(shù)列，，則，故選項B錯誤；選項C：時，，該方程的解為或，即當或時，數(shù)列為常數(shù)列，或，同樣不滿足，則選項C也錯誤；選項D：時，，該方程的解為，同理可知，此時的常數(shù)列也不能使，則選項D錯誤.故選：A.【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.8．（2017·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列和，其中，，的項是互不相等的正整數(shù)，若對于任意，的第項等于的第項，則【答案】2【詳解】由，若對于任意的第項等于的第項，則，則所以，所以.考點03等差數(shù)列及其前n項和一、單選題1．（2024·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結合等差中項的性質可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質根據(jù)等差數(shù)列的性質，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D3．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質即可解出．【詳解】方法一：設等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B5．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C6．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調遞增數(shù)列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；若存在正整數(shù)，當時，，取且，，假設，令可得，且，當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件.故選：C.7．（2020·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，而，即可表示出題中，再結合等差數(shù)列的性質即可判斷各等式是否成立．【詳解】對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質，由可得，B正確；對于C，，當時，，C正確；對于D，，，．當時，，∴即；當時，，∴即，所以，D不正確．故選：D.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質應用，屬于基礎題．8．（2019·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷．9．（2018·全國·高考真題）設為等差數(shù)列的前項和，若，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：首先設出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關系式，從而求得結果，之后應用等差數(shù)列的通項公式求得，從而求得正確結果.詳解：設該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到與的關系，從而求得結果.10．（2017·全國·高考真題）（2017新課標全國I理科）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【詳解】設公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.11．（2016·浙江·高考真題）如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）若

A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列D．是等差數(shù)列【答案】A【詳解】表示點到對面直線的距離（設為）乘以長度的一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那么我們需要知道的關系式，由于和兩個垂足構成了直角梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．12．（2015·重慶·高考真題）在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=A．-1 B．0 C．1 D．6【答案】B【詳解】在等差數(shù)列中，若，則，解得，故選B.13．（2015·全國·高考真題）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由得，解得.考點：等差數(shù)列.14．（2015·全國·高考真題）設是等差數(shù)列的前項和,若,則A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，選A.二、填空題15．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.16．（2022·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．【答案】2【分析】轉化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.17．（2020·山東·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為．【答案】【分析】首先判斷出數(shù)列與項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結果.【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.18．（2020·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則．【答案】【分析】因為是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：可得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項和，解題關鍵是掌握等差數(shù)列的前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.19．（2019·江蘇·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是.【答案】16.【分析】由題意首先求得首項和公差，然后求解前8項和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.【點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內容，解題過程中要注意應用函數(shù)方程思想，靈活應用通項公式、求和公式等，構建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構建的方程組.20．（2019·北京·高考真題）設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=，Sn的最小值為．【答案】0.-10.【分析】首先確定公差,然后由通項公式可得的值，進一步研究數(shù)列中正項?負項的變化規(guī)律,得到和的最小值.【詳解】等差數(shù)列中,,得,公差,,由等差數(shù)列的性質得時,,時,大于0,所以的最小值為或,即為.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式?求和公式?等差數(shù)列的性質,難度不大,注重重要知識?基礎知識?基本運算能力的考查.21．（2019·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，若，則.【答案】100【分析】根據(jù)題意可求出首項和公差，進而求得結果.【詳解】得【點睛】本題考點為等差數(shù)列的求和，為基礎題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關鍵．22．（2019·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則.【答案】4.【分析】根據(jù)已知求出和的關系，再結合等差數(shù)列前n項和公式求得結果.【詳解】因，所以，即，所以．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質、基本量的計算．滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．使用轉化思想得出答案．23．（2018·北京·高考真題）設是等差數(shù)列，且，，則的通項公式為．【答案】【分析】先根據(jù)條件列關于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項公式即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，【點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路，一是利用基本量，將多元問題簡化為首項與公差（公比）問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標明確：二是利用等差、等比數(shù)列的性質，性質是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用.24．（2016·北京·高考真題）已知為等差數(shù)列，為其前n項和，若，，則.【答案】6【詳解】試題分析：因為是等差數(shù)列，所以，即，又，所以，所以．故答案為6．【考點】等差數(shù)列的基本性質【名師點睛】在等差數(shù)列五個基本量，，，，中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知條件，結合等差數(shù)列的通項公式、前項和公式列出關于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意整體代換思想及方程思想的應用.25．（2016·江蘇·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a1+a22=3，S5=10，則a9的值是.【答案】【詳解】由得，因此考點：等差數(shù)列性質26．（2015·廣東·高考真題）在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=.【答案】10【詳解】試題分析：據(jù)等差數(shù)列的性質可知，項數(shù)之和相等的兩項之和相等，化簡已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質化簡后，將a5的值代入即可求出值．解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，則a2+a8=2a5=10．故答案為10．考點：等差數(shù)列的性質．27．（2015·陜西·高考真題）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為．【答案】5.【詳解】設數(shù)列的首項為，則，所以，故該數(shù)列的首項為，所以答案應填：．【考點定位】等差中項．28．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列中，，（），則數(shù)列的前9項和等于.【答案】27【詳解】試題分析：，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，故填：27.考點：等差數(shù)列29．（2015·全國·高考真題）設是數(shù)列的前項和，且，，則．【答案】【詳解】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【點睛】這類型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當時構造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項公式.考點04等比數(shù)列及其前n項和一、單選題1．（2023·全國甲卷·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.2．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.【詳解】當時，，所以，即，當時，，所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：C.3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質求解．【詳解】方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．4．（2022·全國乙卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.5．（2021·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.6．（2020·全國·高考真題）設是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題．7．（2020·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式進行求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前項和公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.8．（2020·全國·高考真題）數(shù)列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題.9．（2015·浙江·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，若成等比數(shù)列，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴，，故選B.考點：1.等差數(shù)列的通項公式及其前項和；2.等比數(shù)列的概念10．（2015·全國·高考真題）已知等比數(shù)列滿足，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，選B.二、填空題11．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．【答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當時，因為，所以，即，即，即，解得.故答案為：12．（2023·全國乙卷·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.13．（2019·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=．【答案】.【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關于等比數(shù)列公比的方程，應用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．【詳解】詳解：設等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算，避免繁分式計算．14．（2019·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=．【答案】.【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關于等比數(shù)列公比的方程，應用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．15．（2017·全國·高考真題）設等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=．【答案】-8【詳解】設等比數(shù)列的公比為，很明顯，結合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項公式可得.【名師點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.16．（2017·北京·高考真題）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則.【答案】【分析】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進而求出和的值，由此可得出的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，，那么，故答案為.【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列【點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程（組）問題，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.17．（2017·江蘇·高考真題）等比數(shù)列{}的各項均為實數(shù)，其前項為，已知=，=，則=．【答案】32【詳解】由題意可得，所以兩式相除得代入得，填32．18．（2016·浙江·高考真題）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝，S5＝．【答案】1121【詳解】試題分析：，再由，又，所以【考點】等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項和．【易錯點睛】由轉化為的過程中，一定要檢驗當時是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯誤.19．（2016·全國·高考真題）設等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．【答案】【詳解】試題分析：設等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當或時，取得最大值.考點：等比數(shù)列及其應用20．（2015·全國·高考真題）數(shù)列中為的前n項和，若，則.【答案】6【詳解】試題分析：由題意得，因為，即，所以數(shù)列構成首項，公比為的等比數(shù)列，則，解得．考點：等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列求和．21．（2015·湖南·高考真題）設為等比數(shù)列的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則.【答案】.【詳解】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質.【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學生等價轉化的思想與方程思想.22．（2015·廣東·高考真題）若三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，，則．【答案】【詳解】試題分析：由題意得，三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，所以，解得．考點：等比中項．23．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和等于.【答案】【詳解】由題意，，解得或者，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項和，故答案為.考點：1.等比數(shù)列的性質；2.等比數(shù)列的前項和公式.考點05數(shù)列中的數(shù)學文化1．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．【答案】48384【分析】方法一：根據(jù)題意結合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解，進而可求得結果；方法二：根據(jù)等比中項求，在結合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.【詳解】方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，且，所以；又因為，則；空2：設后7項公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.2．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D3．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折次，那么.【答案】5【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結構，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結構，利用分組求和法；（4）對于結構，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.4．（2020·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項和是．【答案】【分析】根據(jù)通項公式可求出數(shù)列的前三項，即可求出．【詳解】因為，所以．即．故答案為：.【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列中的項并求和，屬于容易題．5．（2020·全國·高考真題）0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項A，，不滿足；對于選項B，，不滿足；對于選項D，，不滿足；故選：C【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學生對新定義的理解能力以及數(shù)學運算能力，是一道中檔題.6．（2020·全國·高考真題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【詳解】設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關的計算問題，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題.7．（2018·北京·高考真題）“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.8．（2017·全國·高考真題）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞【答案】B【詳解】設塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故選B．考點06數(shù)列求和1．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當時，則，當且僅當時等號成立，，由累乘法可得，且，則，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．2．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.3．（2020·江蘇·高考真題）設{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是．【答案】【分析】結合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式的特點，分別求得的公差和公比，由此求得.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項和公式為，等比數(shù)列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.4．（2017·全國·高考真題）（2017新課標全國II理科）等差數(shù)列的前項和為，，，則．【答案】【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，由題意有，解得，數(shù)列的前n項和，裂項可得，所以．點睛:等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用得方法．使用裂項法求和時，要注意正、負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點．5．（2015·江蘇·高考真題）數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項和為．【答案】【詳解】試題分析：：∵數(shù)列滿足，且（），∴當n≥2時，．當n=1時，上式也成立，∴．∴．∴數(shù)列的前n項的和∴數(shù)列的前10項的和為考點：數(shù)列求通項公式求和專題08數(shù)列小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1數(shù)列的增減性（10年3考）2022·全國乙卷、2022·北京卷2021·全國甲卷、2020·北京卷1.掌握數(shù)列的有關概念和表示方法，能利用與的關系以及遞推關系求數(shù)列的通項公式，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調性解決簡單的問題，該內容是新高考卷的必考內容，?？疾槔门c關系求通項或項及通項公式構造的相關應用，需綜合復習2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系并能用等差數(shù)列的有關知識解決相應的問題，熟練掌握等差數(shù)列通項公式與前n項和的性質，該內容是新高考卷的必考內容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構造為等差數(shù)列，求通項公式及前n項和，需綜合復習3.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系并能用等比數(shù)列的有關知識解決相應的問題，熟練掌握等比數(shù)列通項公式與前n項和的性質，該內容是新高考卷的必考內容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過構造為等比數(shù)列，求通項公式及前n項和。需綜合復習4.熟練掌握裂項相消求和和錯位相減求和，該內容是新高考卷的常考內容，?？疾榱秧椣嘞蠛?、錯位相減求和、奇偶并項求和，需重點綜合復習考點2遞推數(shù)列及數(shù)列的通項公式（10年6考）2023·北京卷、2022·北京卷、2022·浙江卷2021·浙江卷、2020·浙江卷、2020·全國卷2019·浙江卷、2017·上海卷考點3等差數(shù)列及其前n項和（10年10考）2024·全國甲卷、2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅰ卷、2022·北京卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、2020·全國卷、2019·全國卷2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·北京卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2016·浙江卷、2015·重慶卷2015·全國卷、2015·全國卷、2016·北京卷、2016·江蘇卷、2015·廣東卷、2015·陜西卷、2015·安徽卷、2015·全國卷考點4等比數(shù)列及其前n項和（10年10考）2023·全國甲卷、2023·天津卷、2023·全國新Ⅱ卷2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷2017·全國卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷、2016·全國卷、2015·浙江卷2015·全國卷、2015·全國卷、2015·湖南卷2015·廣東卷、2015·安徽卷考點5數(shù)列中的數(shù)學文化（10年6考）2023·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·浙江卷、2020·全國卷、2020·全國卷2018·北京卷、2017·全國卷考點6數(shù)列求和（10年10考）2021·浙江卷、2021·全國新Ⅱ卷2020·江蘇卷、2017·全國卷、2015·江蘇考點01數(shù)列的增減性1．（2022·全國乙卷·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設則故D正確.2．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是．【答案】①③④【分析】推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當時，，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設對任意的，，則，所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.故答案為：①③④.【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.3．（2021·全國甲卷·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.考點02遞推數(shù)列及數(shù)列的通項公式1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質，故可判斷B的正誤.法2：構造，利用導數(shù)求得的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調性；對于A，構造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構造，判斷得，進而取推得不恒成立.【詳解】法1：因為，故，對于A，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立，由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結合的單調性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當時，，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞減，故，所以在上單調遞增，故，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當時，，，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，又當時，，即，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當時，，，猜想當時，，當與時，與滿足，假設當時，，當時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，假設存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因為，當時，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞增，故，所以，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是根據(jù)首項給出與通項性質相關的相應的命題，再根據(jù)所得命題結合放縮法得到通項所滿足的不等式關系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是．【答案】①③④【分析】推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當時，，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設對任意的，，則，所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.故答案為：①③④.【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.3．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當時，則，當且僅當時等號成立，，由累乘法可得，且，則，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．5．（2020·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項和是．【答案】【分析】根據(jù)通項公式可求出數(shù)列的前三項，即可求出．【詳解】因為，所以．即．故答案為：.【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列中的項并求和，屬于容易題．6．（2020·全國·高考真題）數(shù)列滿足，前16項和為540，則.【答案】【分析】對為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立方程，求解即可得出結論.【詳解】，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.設數(shù)列的前項和為，，.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類討論思想和數(shù)學計算能力，屬于較難題.7．（2019·浙江·高考真題）設，數(shù)列中，，,則A．當 B．當C．當 D．當【答案】A【解析】若數(shù)列為常數(shù)列，，則只需使，選項的結論就會不成立.將每個選項的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項B、C、D均有小于10的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質，以及基本不等式，可證得A選項正確.【詳解】若數(shù)列為常數(shù)列，則，由，可設方程選項A：時，，，，故此時不為常數(shù)列，，且，，則，故選項A正確；選項B：時，，，則該方程的解為，即當時，數(shù)列為常數(shù)列，，則，故選項B錯誤；選項C：時，，該方程的解為或，即當或時，數(shù)列為常數(shù)列，或，同樣不滿足，則選項C也錯誤；選項D：時，，該方程的解為，同理可知，此時的常數(shù)列也不能使，則選項D錯誤.故選：A.【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.8．（2017·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列和，其中，，的項是互不相等的正整數(shù)，若對于任意，的第項等于的第項，則【答案】2【詳解】由，若對于任意的第項等于的第項，則，則所以，所以.考點03等差數(shù)列及其前n項和一、單選題1．（2024·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結合等差中項的性質可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質根據(jù)等差數(shù)列的性質，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D3．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質即可解出．【詳解】方法一：設等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B5．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C6．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調遞增數(shù)列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；若存在正整數(shù)，當時，，取且，，假設，令可得，且，當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件.故選：C.7．（2020·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，而，即可表示出題中，再結合等差數(shù)列的性質即可判斷各等式是否成立．【詳解】對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質，由可得，B正確；對于C，，當時，，C正確；對于D，，，．當時，，∴即；當時，，∴即，所以，D不正確．故選：D.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質應用，屬于基礎題．8．（2019·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷．9．（2018·全國·高考真題）設為等差數(shù)列的前項和，若，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：首先設出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關系式，從而求得結果，之后應用等差數(shù)列的通項公式求得，從而求得正確結果.詳解：設該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到與的關系，從而求得結果.10．（2017·全國·高考真題）（2017新課標全國I理科）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【詳解】設公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.11．（2016·浙江·高考真題）如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）若

A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列D．是等差數(shù)列【答案】A【詳解】表示點到對面直線的距離（設為）乘以長度的一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那么我們需要知道的關系式，由于和兩個垂足構成了直角梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．12．（2015·重慶·高考真題）在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=A．-1 B．0 C．1 D．6【答案】B【詳解】在等差數(shù)列中，若，則，解得，故選B.13．（2015·全國·高考真題）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由得，解得.考點：等差數(shù)列.14．（2015·全國·高考真題）設是等差數(shù)列的前項和,若,則A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，選A.二、填空題15．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案