機(jī)械能守恒與能量守恒定律經(jīng)典習(xí)題22

專題二機(jī)械能守恒與能量守恒

［高考要求］

內(nèi)容要求

重力勢(shì)能、做功與重力勢(shì)能改變的關(guān)系II

彈性勢(shì)能I

機(jī)械能守恒定律II

能量守恒定律II

本專題涉及的考點(diǎn)有：重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律、能量轉(zhuǎn)化及守恒定律都是歷年高考

的必考內(nèi)容，考查的知識(shí)點(diǎn)覆蓋面全，頻率高，題型全。機(jī)械能守恒定律、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律是力學(xué)

中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，用能量觀點(diǎn)解題是解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的三大途徑之一。

《考綱》對(duì)本局部考點(diǎn)要求為II類有三個(gè)?？碱}的內(nèi)容經(jīng)常與牛頓運(yùn)動(dòng)定律、曲線運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量守恒

定律、電磁學(xué)等方面知識(shí)綜合，物理過(guò)程復(fù)雜，綜合分析的能力要求較高，這局部知識(shí)能密切聯(lián)系生活

實(shí)際、聯(lián)系現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，因此，每年高考的壓軸題，高難度的綜合題經(jīng)常涉及本專題知識(shí)。它的特點(diǎn)：

?般過(guò)程復(fù)雜、難度大、能力要求高。還?？疾榭忌鷮⑽锢韱?wèn)題經(jīng)過(guò)分析?、推理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)M題，然后

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。所以復(fù)習(xí)時(shí)要重視對(duì)根本概念、規(guī)律的理解掌握，加強(qiáng)建立物理模

型、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。

由于新課程標(biāo)準(zhǔn)更注重聯(lián)系生活、生產(chǎn)實(shí)際，更重視能源、環(huán)保、節(jié)能等問(wèn)題，因此，能量的轉(zhuǎn)化

及其守恒很有可能在新課程的第一年高考中有所表達(dá)，師生們應(yīng)引起足夠的重視。

［知識(shí)體系］

—天丁-----I-J彈性勢(shì)能：

動(dòng)能定理：?jiǎn)帷?/p>

1,12MM心」女尸

W產(chǎn)/加工一耳相彳「?jìng)€(gè)過(guò)|2收功方面只涉及跟重力勢(shì)能有關(guān)的重力做功和跟彈性勢(shì)能

相關(guān)的彈力做功。在機(jī)械能方面只涉及初狀態(tài)和木狀態(tài)的動(dòng)能和勢(shì)能，而不涉及運(yùn)動(dòng)的笠個(gè)過(guò)程的詳細(xì)

俏況;因此,用來(lái)分析某些過(guò)程的狀態(tài)量十分簡(jiǎn)便。

機(jī)旅能中的勢(shì)能是指重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能，…不包括電勢(shì)能和分子勢(shì)能,這?點(diǎn)要注意。

思維誤區(qū)警示：

對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)不受外力或合外力為零，并不能保證重力以外其他力不做功，所以系統(tǒng)外力之

和為零，機(jī)械能不一定守恒，而此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量卻守恒（因?yàn)閯?dòng)審守恒的條件是系統(tǒng)的合外力為零）。

同樣，只有重力做功，并不意味系統(tǒng)不受外力或合外力為零。

2、能量守恒定律

(1)內(nèi)容：能量既不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，或者從

一個(gè)物體轉(zhuǎn)移互另一個(gè)物體，在轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的過(guò)程中其總量保持不變。

(2)對(duì)能量守恒定律的理解：

①某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能的增加，且減少量和增加量一定相等。

②某個(gè)物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等。

(3)能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移具有方向性

第二類永動(dòng)機(jī)不可制成，它不違反能量守恒定律，只是違背了能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的不可逆性。

3、各定理、定律比照

適用條件表達(dá)式研究對(duì)象備注

*動(dòng)量守系統(tǒng)所受的合P/0=Pm一定是兩個(gè)物體注意動(dòng)量守恒和機(jī)

恒定律外力為零或兩個(gè)以上物體械能守恒的條件的

組成的系統(tǒng)區(qū)別

機(jī)械能守只有重力或彈EI=E2一個(gè)或多個(gè)物體E為機(jī)械能

恒定律簧的彈力做功△EP?=AEkjfl組成的系統(tǒng)

時(shí)

能量守恒均適用E.5l=E^2一個(gè)或多個(gè)物體E為總能量；自然界

定律△E?-△E增組成的系統(tǒng)均遵從能量守恒。

4、求各變化量(AEk、AEP.AE機(jī))的常用方法:

常用方法

AEk=E2-Ei

求^&KK

△Ek=We通過(guò)求合外力做功求動(dòng)能的變化量(更常用)

△Ep=Ep2-Ep)

求小EPAEP=WG=mgAh通過(guò)求重力做功求AEP；當(dāng)WG做正功時(shí)，EP減?。划?dāng)WG做

負(fù)功時(shí)，EP增加(常用〕

△Em=E2-Ei

△E機(jī)二WG電通過(guò)求除重力以外的其它力做功求機(jī)械能的變化量［更常用)

5、重力做功的特點(diǎn)：

WG=EPI-Ep2=mgAh

重力做功與路徑無(wú)關(guān)

重力做正功，重力勢(shì)能減少，重做負(fù)功，重力勢(shì)能增加

注意：AEP和重力做功與參考平面的選擇無(wú)關(guān)(但重力勢(shì)能與參考平面的選擇有關(guān))

［專題探究］

(一)利用機(jī)械能守恒定律求解拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

案例1、從離水平地面高為H的4點(diǎn)以速度w斜向上拋出一個(gè)質(zhì)量為的石塊，物與水平方向的

夾角為0,不計(jì)空氣阻力，求：

(I)石塊所能到達(dá)的最大高度

(2)石塊落地時(shí)的速度

命題解讀：此題研究拋體運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能守恒定律。斜拋運(yùn)動(dòng)的水平分

運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此石塊在最高點(diǎn)的速度是拋出初速度的水平分量。

石塊只受重力的作用，機(jī)械能守恒。

分析與解：石塊拋出后在空中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只受重力作用，機(jī)械能守

圖1

恒，作出石塊的運(yùn)動(dòng)示意圖

（1）設(shè)石塊在運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)B處與拋出點(diǎn)4的豎宜高度差為爪水平速度為\小

那么V,B=Vo,r=V0COS^

石塊從A到B,根據(jù)機(jī)械能守恒定律△&xAEp增

得：nigh=-/??vo2--mvg1

聯(lián)立得：〃;匕：一（%cos。）'二%sin?

2g2g

那么石塊所能到達(dá)的（距地面）最大高度為：

2g

（2）取地面為參考平面，對(duì)石塊從拋出點(diǎn)A至落地點(diǎn)C的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得

1，12工4

—mv（r=-

22

解得石塊落地時(shí)的速度大小為：yj%2+2g”

變式訓(xùn)練：

某同學(xué)利用如下圖的實(shí)驗(yàn)裝置驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律?；⌒诬壍滥┒怂剑x地面的高度為H。將鋼

球從軌道的不同高度h處?kù)o止釋放，鋼球的落點(diǎn)距軌道末端的水平距離為s.

（1）假設(shè)軌道完全光滑，S?與h的理論關(guān)系應(yīng)滿足s2=（用H、h表示）。

（2）該同學(xué)經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到一組數(shù)據(jù)，如下表所示:

請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)紙上作出St-h關(guān)系圖.。

13）比照實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算得到的sJh關(guān)系圖線〔圖中已畫(huà)出），自同一高度靜止釋放的鋼球，水

平拋出的速度（填“小于”或“大于”）理論值.

⑷從s2-h關(guān)系圖線中分析得出鋼球水平拋出的速率差十分顯著，你認(rèn)為造成上述偏差的可能原因是.

動(dòng)能，或者是弧形軌道的摩擦力太大。

解析：（1）由鋼球在弧形槽上運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒：

離開(kāi)弧形槽后，鋼球做平拋運(yùn)動(dòng)：

.工

水平方向：v=-,

t

豎直方向：H=gg/

聯(lián)立解得：s^4Hh?！敢?67.

（2）由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作圖，得到一條通過(guò)原點(diǎn)的斜率比理MXW'm論圖線小

的直線.

（3）實(shí)驗(yàn)圖和理論圖比擬可以發(fā)現(xiàn)，小球從相同高度下落，對(duì)應(yīng)的S實(shí)VS理，又S8V,說(shuō)明自同一

高度靜止釋放的小球，水平拋出的速率小于理論值。

（4）實(shí)驗(yàn)中速率差十清楚顯，可能是一局部重力勢(shì)能轉(zhuǎn)變成鋼球的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，或者是瓠形軌道的

摩擦力太大的原因。

（二）利用機(jī)械能守恒定律解決彈力做功與彈性勢(shì)能問(wèn)題

案例2、如下圖，一個(gè)質(zhì)量為m的物體自高h(yuǎn)處自由下落，落在一個(gè)勁度系數(shù)

為女的輕質(zhì)彈簧上。求：當(dāng)物體速度到達(dá)最大值I，時(shí)，彈簧對(duì)物體做的功為多少？

命題解讀：彈簧的彈力是變力，彈力做功是變力做功，此題由于形變量不清楚，不

能運(yùn)用F—/圖象求彈力做的功；只能根據(jù)機(jī)械能守恒定律先求解出彈性勢(shì)能的變化,

再運(yùn)用功能關(guān)系求解彈力做的功。同時(shí)要注意物體在平衡位置時(shí)動(dòng)能最大，運(yùn)動(dòng)的速

圖

聯(lián)立解得已呼叫退

（三）利用機(jī)械能守恒定律求多個(gè)物體組成系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)速度問(wèn)題

案例1、如下圖，質(zhì)量均為根的小球A、B、C,用兩條長(zhǎng)為/的細(xì)線相連，置于高為人的光滑水平

桌面上，l>h,A4球、B球相繼下落著地后均不再反跳，那么C球離開(kāi)?B月?桌邊時(shí)

的速度大小是多少？帔7與477%才］

命題解讀：此題考查系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律。對(duì)每個(gè)小球而言，由于4無(wú)繩子的

拉力做功，每個(gè)小球的機(jī)械能不守恒。而且只能分段運(yùn)用機(jī)械能守恒定圖2句律求解。

運(yùn)用動(dòng)能定理也能求解，但拉力要做功解題就比擬麻煩。1

分析與解：當(dāng)A小球剛要落地時(shí)，三小球速度相等設(shè)為的，三個(gè)小球機(jī)械能守恒。

3mgh=2mgh+；解得：V)={

當(dāng)B球剛要落地時(shí)，B、C機(jī)械能守恒。B、C有共同速度，設(shè)也

圖

11

2mgh+—2mv~9=mgh+—2m9解得：嶺二

2?

可見(jiàn):。球離開(kāi)桌邊時(shí)的速度大小是匕=

變式訓(xùn)練:

變式1、半徑為R的光滑圓柱體固定在地面上，兩質(zhì)量分別是M和m的小球用細(xì)線連接，正好處

于水平直徑的兩端，從此位置釋放小球，當(dāng)m運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)球的壓力恰好為零，求此時(shí)M的速

度和兩小球的質(zhì)量之比。

解析：對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律

M在最高點(diǎn)時(shí)，"火=

聯(lián)立解得：—=—

m3

變式2、如下圖，一輛小車(chē)靜止在光滑的水平導(dǎo)軌上，一個(gè)小球用細(xì)繩懸掛在

車(chē)上由圖中位置釋放（無(wú)初速度），那么小球在下擺過(guò)程中（

A.繩對(duì)小車(chē)的拉力不做功B.繩對(duì)小球的拉力做正功

C.小球的合外力不做功D.繩對(duì)小球的拉力做負(fù)功

解析：由于繩子的拉力對(duì)物體做功，每個(gè)物體的機(jī)械能不守恒。對(duì)系統(tǒng)沒(méi)有機(jī)

械能的能量損失，因此系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的。小球由靜止開(kāi)始做變速曲線運(yùn)動(dòng)，

動(dòng)能增加，合力做正功，C錯(cuò)誤。小車(chē)在拉力作用下運(yùn)動(dòng)，繩子對(duì)小車(chē)的拉力做正功，繩子對(duì)小球的拉

力做負(fù)功，D正確，A、B錯(cuò)誤.

正確答案：D

（四）利用機(jī)械能守恒定律求解質(zhì)量分布均勻的繩子、鏈子問(wèn)題

案例3如圖3所示，在光滑水平桌面上，用手拉住長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量-fl.為M的

鐵鏈，使其1/3垂在桌邊。松手后，鐵鏈從桌邊滑下，求鐵鏈末端II1經(jīng)過(guò)桌

邊時(shí)運(yùn)動(dòng)速度是過(guò)少？

命題解讀：繩子、鐵鏈子運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，對(duì)于每一局部來(lái)講都是變力，運(yùn)

用動(dòng)能定理難以解決過(guò)程中變力做的功。但運(yùn)用機(jī)械能守恒定律只需要知

道繩子的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),不必考慮運(yùn)動(dòng)過(guò)程，因此解題就簡(jiǎn)單了。此類問(wèn)題的重力勢(shì)能要取每局部的

中心，要選好參考平面，盡量使解題簡(jiǎn)捷。

分析與解：松手后，鐵鏈在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向與運(yùn)動(dòng)方向垂直，

對(duì)鐵鏈不做功，即這?過(guò)程中，只是垂在桌外局部的重力做功。因此，從松手到鐵鏈離開(kāi)桌邊，鐵鏈的

機(jī)械能守恒。以桌面為重力勢(shì)能參考面

松手時(shí)，桌外局部的質(zhì)量為其重心在桌面下處

36

此時(shí)鐵鏈的重力勢(shì)能為：一,mg，L=—mgL

3618

鐵鏈末端剛離桌面時(shí)，整條鐵鏈都在空中，其重心在桌面下,L處

2

此時(shí)鐵鏈的重力勢(shì)能為：-LngL

2

設(shè)此時(shí)鐵鏈的速度為由機(jī)械能守恒定律有：

解得一零

3

鐵鏈的運(yùn)動(dòng)速度是v=22gL

故鐵鏈末端經(jīng)過(guò)臬邊時(shí),

3

變式訓(xùn)練：

變式1、如下圖，均勻的鐵鏈子搭在小定滑輪上，左端占總長(zhǎng)的2/5,現(xiàn)將鐵^^1鏈由靜止釋

放，當(dāng)多少？小

解析：選取滑輪中心水平線為參考平面，設(shè)繩子總長(zhǎng)為/

根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律：

解得鐵鏈子剛剛離開(kāi)滑輪時(shí)，鏈子的運(yùn)動(dòng)速度是：

變式2、如圖16所示，游樂(lè)列車(chē)由許多節(jié)車(chē)廂組成。列車(chē)全長(zhǎng)為L(zhǎng),圓形軌道半徑為

R，（R遠(yuǎn)大十一節(jié)車(chē)廂的高度h和長(zhǎng)度/,但L>2兀RJ.列車(chē)的車(chē)輪是卡在導(dǎo)軌上的光滑槽中只能使列車(chē)

沿著圓周運(yùn)動(dòng)而不能脫軌。試問(wèn)：列車(chē)在水平軌道上應(yīng)

具有多大初速度小，才能使列車(chē)通過(guò)圓形軌道？

解析：列車(chē)開(kāi)上圓軌道時(shí)速度開(kāi)始減慢，當(dāng)整個(gè)圓

軌道上都擠滿了一節(jié)節(jié)車(chē)廂時(shí)，列車(chē)速度到達(dá)最小值

也此最小速度一直保持到最后一節(jié)車(chē)廂進(jìn)入圓軌圖16道，

然后列車(chē)開(kāi)始加速。由于軌道光滑，列車(chē)機(jī)械能守恒，設(shè)單位長(zhǎng)列車(chē)的質(zhì)量為3那么有:

要使列車(chē)能通過(guò)圓形凱道，那么必有00

解得v0>

（五）利用機(jī)械能守恒定律求解連通器水流速問(wèn)題

案例5、粗細(xì)均勻的U型管兩端開(kāi)口，左端用活塞壓著液體，此時(shí)兩液面的高

度差為h,液體的總長(zhǎng)度為L(zhǎng),U型管的截面積為s,液體的密度為P?，F(xiàn)在突然

抽去活塞，（I）不計(jì)阻力影響，當(dāng)兩端液面相平時(shí)，液體運(yùn)動(dòng)的速度是多少？（2）假

設(shè)最終液體靜止不動(dòng)，那么系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能是多少？

命題解讀：流體的運(yùn)動(dòng)也是“變力”作用的運(yùn)動(dòng)，但在一定的位置流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是一定的。研究

流體的運(yùn)動(dòng)速度，能量問(wèn)題，最好運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和能量轉(zhuǎn)化及守恒定律。研究的方法是把變質(zhì)量

看作定質(zhì)量,運(yùn)用“補(bǔ)償法”、“等效法”、“整體法”、“對(duì)稱法”去解決問(wèn)題。

分析與解：［1)假設(shè)不計(jì)阻力。如下圖，當(dāng)兩端液面相平時(shí)，可以等效地認(rèn)為

是把高度為人的液體對(duì)稱地補(bǔ)償?shù)搅硪欢?，看成是定質(zhì)量問(wèn)題。系統(tǒng)重力

勢(shì)能的

2

減少量等于動(dòng)能的增加量。

解得兩端液面相平時(shí)，液體運(yùn)動(dòng)的速度是u=

(2)根據(jù)能量轉(zhuǎn)化及守恒定律，系統(tǒng)重力勢(shì)能的減少量等于內(nèi)能的增加量

所以增加的內(nèi)能是：kE=pgsgg=3pgsh2

變式訓(xùn)練：

如下圖，容器A、B各有一個(gè)可以自由移動(dòng)的活塞，活塞截面積分別為SA、SB,

活塞下面是水，上面是空氣,大氣壓恒為Po,A、B底部與帶有閥門(mén)K的管道相連,

整個(gè)裝置與外界絕熱原先,A中水面比B中高h(yuǎn),翻開(kāi)閥門(mén)，使A中水逐漸流向B

中，最后達(dá)平衡，在這個(gè)過(guò)程中，大氣壓對(duì)水做功為_(kāi)______,水的內(nèi)能增加為

(設(shè)水的密度為p)

解析：(I)設(shè)平衡時(shí)，左側(cè)水面下降高度he右側(cè)水面下降高度臨，

兩側(cè)體積相等,即：hASA=hRSB

左側(cè)大氣壓對(duì)水做正功：卬A=P{}hAsA

右側(cè)大氣壓對(duì)水做負(fù)功：卬8=一4〃3%

大氣壓對(duì)水做的總功為W=WA+WH=O

(2)由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律得：

|QQ

2

水的內(nèi)能增加莊=上/9gh4B

2SA+SB

(六)利用機(jī)械能守恒定律解決圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題

當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)的物體都在做圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)機(jī)械能守恒，那么可利用機(jī)械能守恒定律列一個(gè)方程，但未

知數(shù)有多個(gè)，因此必須利用圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)補(bǔ)充方程，才能解答相關(guān)問(wèn)題。

案例6、如下圖，半徑為r,質(zhì)量不計(jì)的圓盤(pán)與地面垂直，圓心處有一個(gè)垂直

盤(pán)面的光滑水平固定軸O,在盤(pán)的最右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A,在O點(diǎn)的

正下方離O點(diǎn)172處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B。放開(kāi)盤(pán)讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)：

(1)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少？

(2)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

命題解讀：這是一道機(jī)械能與圓周運(yùn)動(dòng)綜合的問(wèn)題，注意到兩球任意時(shí)刻的

角速度相等。過(guò)程中系統(tǒng)的始態(tài)、末態(tài)的重力勢(shì)能，因參考面的選取會(huì)有所不

同，但重力勢(shì)能的變化是絕對(duì)的，不會(huì)因參考面的選取而異。機(jī)械能守恒的表達(dá)

方式可記為：EH+Epi=Ek2+EP2,也可寫(xiě)作：應(yīng)增=。

分析與解：該系統(tǒng)在自由轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有重力做

功，機(jī)械能守恒。設(shè)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度為VA，B

球的速度為vB.那么據(jù)機(jī)械能守恒定律可得:

據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可知：l，A=2l，B

由上述二式可求得VA=J4葉/5/

設(shè)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中半徑0A向左偏離豎直方向的最大角度是0[如圖/17所示)，那

么據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：?

3

解得。=sin-*7=37°

圖17

變式訓(xùn)練：

小球A用不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩懸于O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方有一固定的釘子B,OB=d,初始時(shí)小球A與

0同水平面無(wú)初速度釋放，繩長(zhǎng)為L(zhǎng),為使小球能繞B點(diǎn)做完整

的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖15所示。試求d的取值范圍。

解析：為使小球能繞B點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，那么

D對(duì)繩的拉力已應(yīng)該大于或等于零，即有：

根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得gm%；=〃zg[d—(L—d)]

由以上兩式可求得：-L<d<L

5

(七)用能量守恒。二47s相應(yīng)解相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

案例7、如下圖，小車(chē)的質(zhì)量為例，后端放一質(zhì)量為加的鐵塊，鐵塊與小車(chē)之間的動(dòng)摩擦系數(shù)為〃，

它們一起以速度v沿光滑地面向右運(yùn)動(dòng)，小車(chē)與右側(cè)的墻壁發(fā)生碰撞且無(wú)能量損失，設(shè)小車(chē)足夠長(zhǎng)，那

么小車(chē)被彈回向左運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)與鐵塊停止相對(duì)滑動(dòng)？鐵塊在小車(chē)上相

對(duì)于小車(chē)滑動(dòng)多遠(yuǎn)的距離？

命題解讀：此題考查動(dòng)能定理、能量守恒定律、動(dòng)量守恒定律。兩

個(gè)物體相互摩擦而產(chǎn)生的熱量Q(或說(shuō)系統(tǒng)內(nèi)能的增加量)等于物體

之間滑動(dòng)摩擦力Ff與這兩個(gè)物體間相對(duì)滑動(dòng)的路程的乘積,即。=尸滑5相對(duì)。利用這結(jié)論可以簡(jiǎn)便地解

答高考試題中的“摩擦生熱''問(wèn)題。

分析與解：小車(chē)反彈后與物體組成一個(gè)系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒，規(guī)定小車(chē)反彈后的方向作向左為正方向,

設(shè)共同速度為囁，那么：Mv-mv-(M4-/n)vr

.nZF,M-tn

解得：vv=------v

M+m

以車(chē)為對(duì)象，摩擦力始終做負(fù)功，設(shè)小車(chē)對(duì)地的位移為So

那么：一?=-Mv^--Mv2

即：S產(chǎn)2M2d,

4g(M+㈤?

系統(tǒng)損耗機(jī)械能為：△E=Q=?相

s-2Mp2

川JA（M十m）g

變式訓(xùn)練:

變式1、如圖4-4所示，質(zhì)量為M,長(zhǎng)為L(zhǎng)的木板(端點(diǎn)為A、

B,中點(diǎn)為0)在光滑水平面上以w的水平速度向右運(yùn)動(dòng)，把質(zhì)量

為〃?、長(zhǎng)度可忽略的小木塊置于8端(對(duì)地初速度為0),它與木

板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，問(wèn)如在什么范圍內(nèi)才能使小木塊停在O、A

之間？

解析：木塊與木板相互作用過(guò)程中合外力為零，動(dòng)量守恒。設(shè)木塊、木板相對(duì)靜止時(shí)速度為v,

那么(M+m)v=MVQ

能量守恒定律得：=-Mv2+-mv2+Q

222'

滑動(dòng)摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能：Q=

相對(duì)位移的范圍是：-<s<L

2

解得w的范圍應(yīng)是：

2u(M+m)^L

MM

變式2、在光滑水平面上停放著一輛質(zhì)鼠為M的小車(chē)，質(zhì)量為m的物體與勁度系數(shù)為k的輕彈簧

牢固連接，彈簧的另一端與小車(chē)左端連接。將彈簧壓縮xo后用細(xì)線把物體與小車(chē)拴住，使物體靜止于車(chē)

上A點(diǎn)，如圖4所示。物體m與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因素為中O為彈簧原長(zhǎng)時(shí)物體右端所在位置。然后將

細(xì)線燒斷，物體和小車(chē)都要開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求：

(1)當(dāng)物體在車(chē)上運(yùn)動(dòng)到距O點(diǎn)多遠(yuǎn)處，小車(chē)獲得的速度最大？

(2)假設(shè)小車(chē)的最大速度是VI,那么此過(guò)程中彈簧釋放的彈性勢(shì)能是多少？

解析：(1)物塊m和小車(chē)M組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。當(dāng)物塊速度最大時(shí)，小車(chē)

的速度也最大。對(duì)物塊m,速度最大時(shí)，加速度為零。

那么有kx=pmg,所以x=pmg/k0

(2J由系統(tǒng)動(dòng)量守恒,得Mvi-mv2=0,V2=Mvi/m

由能量守恒定律可知，，彈簧釋放的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能，有

△Ep=EkM+Ekm+Q

而Q=fs?i?t=pmg(xo-|4mg/k),

△Ep=Mvi2(M+m)/2m+|img(xo-|img/k)

(八)用能量守恒解決傳送帶的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題衿

案例8、如圖7所示，傳送帶與地面的傾角0=37。，從A片何"—口?端到B端的

長(zhǎng)度為16m,傳送帶以vo=10m/s的速度沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。，在傳送帶上

端A處無(wú)初速地放置一個(gè)質(zhì)量為的物體，它與傳送帶之間/////干的動(dòng)摩擦因

數(shù)為，求(1)物體從A端運(yùn)動(dòng)到B端所需的時(shí)間是多少？圖4(2)這個(gè)過(guò)

程中系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能。，cos37o=S8)

命題解讀：該題目的關(guān)鍵就是要分析好各階段物體所受摩擦力的大小和方

向，假設(shè)u>0.75,第二階段物體將和傳送帶相對(duì)靜止一起向下勻速與運(yùn)動(dòng)；假設(shè)

L<5m,物體將一直加速運(yùn)動(dòng)。因此，在解答此類題目的過(guò)程中，對(duì)這些可能出

現(xiàn)兩種結(jié)果的特殊過(guò)程都要進(jìn)行判斷。一鹵7一

分析與解：物體放在傳送帶上后，開(kāi)始階段，傳送帶的速度大于物體的速

度，傳送帶施加給物體一沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力，物體由靜止開(kāi)始加速下滑，受力分析如圖(a)所

示；當(dāng)物體加速至與傳送帶速度相等時(shí)，由于R<tan0,物體在重力作用下將繼續(xù)加速，此后物體的速

度大于傳送帶的速度，傳送帶給物體沿傳送帶向上的滑動(dòng)摩擦力，但合力沿傳送帶向下，物體繼續(xù)加速

下滑，受力分析如圖（b）所示。綜上可知,滑動(dòng)摩擦力的方向在獲得共同速度的瞬間發(fā)生了“突變”。

開(kāi)始階段由牛頓第二定律

mgsinOH-pmgcos9=mai

解得ai=gsinO+pgcosO=1OnVs2

物體加速至與傳送帶速度相等時(shí)需要的時(shí)間ti=v/a)

1s

發(fā)生的位移為s=—aitr=5m<16m

2

可知物體加速到lOm/s時(shí)仍未到達(dá)B點(diǎn)、圖8

第二階段的受力分析如圖⑹所示，應(yīng)用牛頓第二定律

有mgsinO—pmgcosO=ma2

所以a2=2m/s2

設(shè)第二階段物體滑動(dòng)到B端的時(shí)間為t2

那么LAB—S=vt2+—a2t22

2

解得t2=lst2，=-llS（舍去）

故物體經(jīng)歷的總時(shí)間t=ti4-t2=2s

(2)Wi=fsi=^mgcos〃?si=l()J

W2=-fs2=-4mgcos°?S2=-22J

所以，W=WI+W2=10-22=-I2J

故知系統(tǒng)發(fā)熱產(chǎn)生的內(nèi)能是12J

變式訓(xùn)練：

如圖12所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角。=30。，皮帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，始終保持vo=2m/s的

速率運(yùn)行?，F(xiàn)把一質(zhì)量m=10kg的工件（可看為質(zhì)點(diǎn)）輕輕放在皮帶的底端，經(jīng)時(shí)間t=L9s,工件被傳

送到h=1.5m的高處，取g=10m/s2。求（1）工件與皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)。（2）電動(dòng)機(jī)由于傳送工件多消

耗的電能.

解析：由題意可知皮帶長(zhǎng)s=h/sin3O°=3m.

工件速度到達(dá)vo前，做勻加速運(yùn)動(dòng)的位移為5,

2

到達(dá)V0后做勻速運(yùn)動(dòng)的位移S-S|=VO（t-ti）

加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a=vo/ti2

工件受的支持力FN=mgcosO,

對(duì)工件據(jù)牛頓第：定律得：pmgcosO-mgsinO=ma

解出動(dòng)摩擦因數(shù)為〃二彳

在時(shí)間ti內(nèi)，皮帶運(yùn)動(dòng)位移s2=v（>ti

工件相對(duì)皮帶的位移△s=s2-si=0.8m

在時(shí)間t,內(nèi)，摩擦生熱Q=gmgcos0As=60J

2

工件獲得的動(dòng)能Ek=mvo/2=2OJ

工件增加的勢(shì)能Ep=mgh=l50J

電動(dòng)機(jī)多消耗的電能W=Q+Ek+Ep=230J

（九）用能量守恒解決熱力學(xué)問(wèn)題

案例9、如圖6所示的A、B是兩個(gè)管狀容器，除了管較粗的局部上下

不同之外,其他一切全同。將此兩容器抽成直空，再同時(shí)分別插入兩個(gè)水銀池中，當(dāng)水銀柱停止運(yùn)動(dòng)時(shí),

問(wèn)二管中水銀的溫度是否相同？為什么？設(shè)水銀與外界沒(méi)有熱交換。

命題解讀：此題主要研究液體內(nèi)部能量的轉(zhuǎn)化與守恒問(wèn)題。液體中的能量問(wèn)題除了重力勢(shì)能，還有內(nèi)

能，要結(jié)合功能關(guān)系，搞清能量的守恒關(guān)系。

分析與解：不同。A管中水銀的溫度略高于B管中水銀的溫度。兩管插入水銀池時(shí)，大氣壓強(qiáng)均為

P。，進(jìn)入管中的水銀的體積均為V,所以大氣壓力對(duì)兩池中水銀所做的功相同，但兩裝置中水銀重力勢(shì)

能的增量不同，所以兩者內(nèi)能改變量也不同。由圖可知，A管中水銀的重力勢(shì)能較小，所以A管中水銀

的內(nèi)能增量較多，其溫度應(yīng)略高。

變式訓(xùn)練：

有人設(shè)計(jì)了這樣一臺(tái)“永動(dòng)機(jī)”；如圖，距地面一定高度架設(shè)一個(gè)水槽，水從槽底的管中流出，沖

擊一個(gè)水輪機(jī)，水輪機(jī)的軸上安裝一個(gè)抽水機(jī)和一個(gè)砂輪.他指望抽水機(jī)把地面水槽里的水抽上去，這

樣循環(huán)不己，機(jī)器不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以永久地用砂輪磨制工件做功了。

請(qǐng)你分析一下，高處水槽中水的重力勢(shì)能共轉(zhuǎn)變成哪幾種形式的能，說(shuō)明這個(gè)機(jī)器是否能夠永遠(yuǎn)運(yùn)

動(dòng)下去。

解析：高處水槽中水的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)變成了水的動(dòng)能、砂輪磨制工件產(chǎn)生的內(nèi)能，水輪機(jī)與軸摩擦產(chǎn)

生的內(nèi)能。

這個(gè)機(jī)器不可能夠永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)下去。一方面摩擦產(chǎn)生內(nèi)能，損失機(jī)械能；另一方面抽水機(jī)向上抽水，

消耗電能。

（十）用能量守恒解決電學(xué)問(wèn)題

案例10、有一臺(tái)內(nèi)阻和損耗均不計(jì)的直流發(fā)電機(jī)，其定子的

磁場(chǎng)恒定。先把它的電樞（轉(zhuǎn)子）線圈與一個(gè)電阻R連接,再在電

樞的轉(zhuǎn)子軸上纏繞上足夠長(zhǎng)的輕繩繩端懸掛一質(zhì)量為m的重物，如

圖9所示，重物最后以速率力勻速下降?，F(xiàn)將一電動(dòng)勢(shì)為E,內(nèi)阻

不計(jì)的電源，如圖10所示，接入電路中，使發(fā)電機(jī)作為電動(dòng)機(jī)用。

懸掛重物不變，最后重物勻速上升。求重物上升的速率V2。

命題解讀：此題涉及發(fā)電機(jī)與電動(dòng)機(jī)的能量轉(zhuǎn)化及守恒問(wèn)題。

圖9圖10

一個(gè)是機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能：另一個(gè)電源工作將其他形式的能轉(zhuǎn)化

電能輸入電路，電流通過(guò)電機(jī)將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能輸出。搞清能最守恒關(guān)系就能順利解題。

分析與解：在圖9的物理過(guò)程中，重物以速率VI勻速下降，帶動(dòng)發(fā)電機(jī)線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，切割磁感線

產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，在電路中消耗。由能量守恒定律可得：

mgV|t=Ii2Rt

在圖10的物理過(guò)程中，電源工作將其他形式的能轉(zhuǎn)化電能輸入電路，電流通過(guò)電機(jī)將電能轉(zhuǎn)化為

機(jī)械能輸出。

由能量守恒定律可得：Eht=l22Rt+mgv2t

在兩次工作過(guò)程中電機(jī)的線圈都勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。作用在轉(zhuǎn)軸上力矩都平衡，而兩次重力矩相等，從而兩

次作用在線圈上的磁力矩相等，所以有：I尸L

聯(lián)立解得：V2=E

變式訓(xùn)練：

某一用直流電動(dòng)機(jī)提升重物的裝置，如圖11所示，重物的質(zhì)

量m=50kg,電源電動(dòng)勢(shì)E=IIOV,不計(jì)電源電阻及各處摩擦，當(dāng)電

」中的電流強(qiáng)

動(dòng)機(jī)以v=0.90m/s的恒定速度向上提升重物時(shí)，電路

度I=5A,由此可知，電動(dòng)機(jī)線圈的電阻R是多少?

（g=1Om/s2）oI

解析：在圖11的物理過(guò)程中，電源工作將其他形?圖11

式的能轉(zhuǎn)化

電能輸入電路,電流通過(guò)電機(jī)將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能輸出

由能量守恒定律“J得：

EIt=I?Rt+mgvt

解得電動(dòng)機(jī)線圈的電阻R=4Q

(十一)用能量守恒解決電磁感應(yīng)中的能量問(wèn)題

案例11、(FlOm/s上滑，直至上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中，通過(guò)上端------少-的電量

Aq=0.1C(g=10m/s2,sin370=0.6),求上端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱熱Q。

命題解讀：此題涉及到外尢、重力、安培力、滑動(dòng)摩擦力做功及R動(dòng)能、

勢(shì)能、內(nèi)能的關(guān)系，重點(diǎn)考查電磁感應(yīng)的受力分析與能量關(guān)系。圖16(a)

分析與解；金屬棒以初速度vo向上滑行的過(guò)程中克服重力、安培力和摩

擦力做功，動(dòng)能分別轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能、電能和內(nèi)能。從電路構(gòu)成可知導(dǎo)軌上、下

端電阻發(fā)出的熱量相等，由焦耳定律可求出金屬棒發(fā)熱是R發(fā)熱的四倍。由電

磁感應(yīng)定律可得4q=A(p/R,可求出金屬棒掃過(guò)的面積和沿導(dǎo)軌上滑的距離。由

電流定義式和并聯(lián)電路規(guī)律，比合電路歐姆定律和電磁感應(yīng)定律，可得

2Aq=lAt=EAt/R=A(p/R§

所以△(p=2AqR.6b

2

圖16(b)

金屬棒沿導(dǎo)軌上滑的距離L)為S/L=2m

金屬棒沿導(dǎo)軌上滑的受力如圖16(b)所示。金屬棒所受各力中安培力是變力，其做負(fù)功使機(jī)械能

轉(zhuǎn)化為電能，進(jìn)而變?yōu)閮?nèi)能。由能量守恒定律可得

Q^=nivo2/2-mgLsin9-pmgLcos0=3OJ。

那么上端電阻發(fā)熱量Q=Q.M6=5J

變式訓(xùn)練：

如圖17所示間距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌，水平地放置在XXX宗X干X豎直方

向的磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一-端接阻值是R的電阻。一一XXx[XXX八X電阻是

R),質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒放置在導(dǎo)軌上，在外力F作用下從日)『『\xxxUx的時(shí)刻

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其速度隨時(shí)間的變化規(guī)律xvmsincot,不計(jì)導(dǎo)軌電阻。[,求：

(U從t=0到t=2/co時(shí)間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的熱量。

(2)從t=0到t=-/2(o時(shí)間內(nèi)外力F所做的功。

解析：(1)導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e=BLvmsinst是正弦交流電,

_E”_BL%“

其有效值:一美一亞

在△t=27T/co=T的時(shí)間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量為：

2222

Q=IRT=7tRBLvnA)(R+R())

(2)t=0到t=R2co時(shí)間是1/4,在這段時(shí)間內(nèi)對(duì)導(dǎo)體棒運(yùn)用能量守恒定律有:

W外二口Z#〃+Q\Q，是這段時(shí)間內(nèi)電阻R和Ro產(chǎn)生的熱量

Q,=E2/(R+Ro)-7r/2(o=7cB2L2Vn2/4(D(R+Ro)

所示這段時(shí)間內(nèi)外力所做的功是：

2222

WM.=mvin/2+nBLvin/4(i)(R+R())

[誤區(qū)分析]

誤區(qū)一、誤認(rèn)為彈力對(duì)物體所做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的變化，無(wú)視功能關(guān)系的概念。

典型案例1、如下圖，質(zhì)量m=2kg的物體，從光滑斜面的

頂端A點(diǎn)以vo=5m/s的初速度滑下，在D點(diǎn)與彈簧接觸并將彈簧

壓縮到B點(diǎn)時(shí)的速度為零,從A到R的豎直高度h=5m.求彈簧的彈力對(duì)物體所做的功。

錯(cuò)誤解法：W=mgh+J/〃M；

應(yīng)對(duì)方法：如果物體只受重力和彈力作用，或只有重力或彈力做功時(shí)，滿足機(jī)械能守恒定律。如果

求彈力這個(gè)變力做的功，可用機(jī)械能守恒定律先求解勢(shì)能的變化，再根據(jù)彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系求

解彈力做的功。

走出誤區(qū)：解法一由于斜面光滑故機(jī)械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力對(duì)物體做負(fù)功，彈簧

的彈性勢(shì)能增加，且彈力做的功的數(shù)值與彈性勢(shì)能的增加量相等。

取B所在水平面為零參考面，彈簧原長(zhǎng)處D點(diǎn)為彈性勢(shì)能的零參考點(diǎn)，那么：

系統(tǒng)機(jī)械守恒：mgh+—mv]=Ep+O

彈力做功：W彈力二()-EP

1,

解得：W邦普=?(mgh+—/nv~)=-125J

解法二根據(jù)動(dòng)能定理：n^h-^-W=O--mv-

1,

解得：W彈,二-(mgh+—)=-125J

誤區(qū)二：誤認(rèn)為“桿的彈力方向”與“繩的彈力方向,?都與桿或繩子

垂直，都不做功，每個(gè)物體的機(jī)械能都守恒，無(wú)視彈力做功的特點(diǎn)。

典型案例2、如下圖，在長(zhǎng)為/的輕桿中點(diǎn)A和端點(diǎn)B各固定一

質(zhì)量均為m的小球，桿可繞無(wú)摩擦的軸0轉(zhuǎn)動(dòng)，使桿從水平位置無(wú)

初速釋放擺下。求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，輕桿對(duì)A、B兩球分別做了

多少功？

錯(cuò)誤解法：由于桿的彈力總垂直于小球的運(yùn)動(dòng)方向，所以輕桿對(duì)

A、B兩球均不做功。WA=WH=0

應(yīng)對(duì)方法：繩的彈力是一定沿繩的方向的，而桿的彈力小一定沿桿的萬(wàn)向。所以當(dāng)物體的速度與桿

垂直時(shí)，桿的彈力對(duì)一個(gè)物體做正功，對(duì)另一個(gè)物體做負(fù)功，這一對(duì)作用力與反作用力做功的代數(shù)和為

零，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

走出誤區(qū)：設(shè)當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，A球和B球的速度分別為公和血。如果把輕桿、地球、兩個(gè)

小球構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，那么由于桿和小球的相互作用力做功總和等于零，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

假設(shè)取B的最低點(diǎn)為零重力勢(shì)能參考平面，可得：

2mg/=—mv\+—inv1+—mgL

又因A球?qū)球在各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角速度相同，故VB=2VA

由以上二式得：匕=

根據(jù)動(dòng)能定理，可解出桿對(duì)A、B做的功。時(shí)于A有

I12

W\+mg---m-0

22

所以VVA=_0.2mgl

對(duì)于B有WB+m^=^mvi-0,所以WB=0.2?^/

誤區(qū)三、誤認(rèn)為始末狀態(tài)機(jī)械能守恒成立，無(wú)視物體做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程特點(diǎn)。

典型案例3、如下圖，一細(xì)繩的上端固定在天花板上靠近墻壁的O點(diǎn)，下端拴一小球，L點(diǎn)是小球

下垂時(shí)的平衡位置,Q點(diǎn)代表一固定在墻上的細(xì)長(zhǎng)釘子，位于0L直線.匕N點(diǎn)在Q點(diǎn)、正上方，且QN二QL,

M點(diǎn)與Q點(diǎn)等高?，F(xiàn)將小球從豎直位置（保持繩繃直）拉開(kāi)到與N等高的P點(diǎn)，釋放后任其向L擺動(dòng),

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空氣阻力可忽略不計(jì)，小球到達(dá)L后。因細(xì)繩被長(zhǎng)釘擋住,