湖北省華大新高考聯(lián)盟2025屆高三11月期中教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

華大新高考聯(lián)盟2025屆高三11月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)命題：華中師范大學(xué)考試研究院本試題卷共4頁(yè)，共19題.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卷指定位置，認(rèn)真核對(duì)與準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的信息是否一致，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卷上的指定位置.2.選擇題的作答：選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試題卷上無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色墨水的簽字筆直接答在答題卷上的每題所對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試題卷上或答題卷指定區(qū)域外無(wú)效.4.考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卷收回，考生自己保管好試題卷，評(píng)講時(shí)帶來(lái).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則真子集個(gè)數(shù)為（）A.1 B.3 C.7 D.15【答案】B【解析】【分析】解集合A中的不等式，求出，由元素個(gè)數(shù)判斷的真子集個(gè)數(shù).【詳解】集合，，故，則有3個(gè)真子集.故選：B.2.已知（其中為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則在復(fù)平面內(nèi)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】方法一：代入，得到方程組，求出，得到，求出所在象限；方法二：求出的解，從而得到，求出，得到，求出所在象限.【詳解】方法一：依題意，，故，解得，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限；方法二：易知方程的解為，則，即，解得，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.3.已知向量，，若，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直得到等式求得的值，利用模的坐標(biāo)公式即可求得結(jié)果.【詳解】依題意，，因?yàn)?，所以，解得，?故選：D.4.小明新買的儲(chǔ)蓄罐有5位密碼，他決定在“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)中隨機(jī)抽取5個(gè)數(shù)字設(shè)置為儲(chǔ)蓄罐的密碼，且密碼的第3位是偶數(shù)，已知“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)依次為“1、1、2、3、5、8”，則可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（）A.144 B.120 C.84 D.116【答案】B【解析】【分析】分選取的數(shù)字只有一個(gè)1和有兩個(gè)1兩種情況討論，即可得解.【詳解】若選的數(shù)字只有一個(gè)1，此時(shí)有兩個(gè)偶數(shù)，則不同的排列方法有種；若選的數(shù)字有兩個(gè)1，則不同的排列方法有種.故共有種不同的設(shè)置方法.故選：B.5.已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，第一象限的點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，若，且點(diǎn)在直線上，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線：中的幾何意義知，得到焦點(diǎn)，設(shè)，由題意得點(diǎn)、坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在直線上，由斜率公式求出，得到直線的斜率，進(jìn)而得傾斜角.【詳解】依題意，得，∴F0,1，設(shè)，則，∵，故，則，解得，∴，故直線的傾斜角為.故選：C.6.已知在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值可能為（）A. B.1 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】由三角形面積公式建立等式，解得，由正弦定理得出表達(dá)式，由角取值范圍得出取值范圍即可得到可能的取值.【詳解】依題意，得，故，則，因?yàn)闉殇J角，所以.依題意，，而故，故，則，故選：B.7.若函數(shù)，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知在上單調(diào)遞減且的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，由此可將轉(zhuǎn)化為，再由的單調(diào)性得到，解不等式即可得出答案.【詳解】依題意，，易知在上單調(diào)遞減，且，故的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，則為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故，故選：A.8.已知正方體的表面積與體積之比為6，若，，則四面體的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意求出，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，且與交于點(diǎn)，設(shè)，，則，由表示出四面體的體積，即可得出答案.【詳解】依題意，，解得.如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，且與交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，因?yàn)?，在四邊形中，，又因?yàn)?，所以，而在中，，在中，，因?yàn)椋?，所以，，，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)，，由先表示出，再求出，進(jìn)而可得四面體的體積，即可得出答案.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，，，，，是四棱錐的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則直線不與平面垂直的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由線面垂直的判定，結(jié)合向量說(shuō)明線線的不垂直，逐個(gè)判斷即可.【詳解】由條件可知四棱錐為正四棱錐，對(duì)于A：設(shè)的交點(diǎn)為，由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知：面，易知：，又，為平面內(nèi)兩條相交直線，所以直線與平面垂直；對(duì)于B：取的中點(diǎn)為，連接，有中位線性質(zhì)可知：，，所以四邊形平行四邊形，所以，可證直線平行平面；對(duì)于C：設(shè)棱長(zhǎng)為2，，所以，所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；對(duì)于D：設(shè)棱長(zhǎng)為2，，，所以所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；故選：BCD.10.已知函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)從左到右依次記為，，，若，則（）A.的最小正周期為B.C.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則在上的值域?yàn)镈.若函數(shù)，則在上有6個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)周期公式可求得A，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)距離之間的關(guān)系可得到結(jié)果，即可判斷B，根據(jù)變換后的解析式可判斷C，根據(jù)圖象可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，依題意，，故A正確；對(duì)于B，，故，，記，則，故，則①，而②，聯(lián)立①②可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故當(dāng)時(shí)，，，故，C正確；對(duì)于D，，在直角坐標(biāo)系中分別作出，的圖象如圖所示，，觀察可知，它們?cè)谏嫌?個(gè)交點(diǎn)，即在上有6個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：ACD.11.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，則（）A.若，則B.若過(guò)右焦點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為C.若過(guò)右焦點(diǎn).且，，則橢圓的離心率為D.若，，且橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)之間的關(guān)系可判斷A，根據(jù)橢圓的定義以及離心力可判斷B，根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理可得到C，聯(lián)立橢圓與直線方程得到關(guān)系式，可求得D【詳解】對(duì)于A，若，則，故，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，，，在中，，解得，在中，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，由橢圓的定義知，得.又，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，故在中，，在中，，解得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，，則，則，因?yàn)辄c(diǎn)，，均在橢圓上，故，，，因?yàn)?，故，故，?lián)立故，顯然，，，故，解得，故正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為定值；（2）在橢圓中，；（3）離心率三、填空題：本題共3小題，每小題5分、共15分.12.定義：已知平面向量，表示夾角為的兩個(gè)單位向量，為平面上的一個(gè)定點(diǎn)，為平面上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，定義為點(diǎn)的斜坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)的斜坐標(biāo)為，則______.【答案】【解析】【分析】由斜坐標(biāo)的定義，，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，求.【詳解】平面向量，表示夾角為的兩個(gè)單位向量，則有，依題意，，則.故答案為：.13.將一組嵌套模型一一拆分之后所得的圖形如下所示，若圖中每個(gè)小正方體的外接球的表面積為，則以此類推，第10個(gè)圖形的體積為_(kāi)_____.【答案】2648【解析】【分析】根據(jù)正方體的體對(duì)角線為正方體外接球的直徑及題目條件可求得正方體的棱長(zhǎng)，分析規(guī)律可得第10個(gè)圖形中小正方體的個(gè)數(shù)，以此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)小正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，正方體的外接球半徑為，由題意得，，解得，小正方體的體積為.結(jié)合圖形可得第10個(gè)圖形中小正方體的個(gè)數(shù)為，故第10個(gè)圖形的體積為.故答案為：.14.某站臺(tái)經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站或者二號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，記“一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站且二號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，“一號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站且二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出事件，記“一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，“二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，根據(jù)事件的關(guān)系和運(yùn)算法則得到，，相加得到答案.【詳解】記“一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，“二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，則，，，由，故，則，則，故，而，即，故，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程；（2）已知不與軸垂直且過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，，且，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，利用弦長(zhǎng)公式求出，求出直線的方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，即可得證.【小問(wèn)1詳解】依題意，解得，故雙曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】依題意，得，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，因此當(dāng)時(shí)，，，，則，即，故直線：，令，得，則，故，故.16.某公司有意在小明、小紅、小強(qiáng)、小真這人中隨機(jī)選取人參加面試.面試分為初試和復(fù)試且采用積分制，其中小明和小紅通過(guò)初試的概率均為，小強(qiáng)和小真通過(guò)初試的概率均為，小明和小紅通過(guò)復(fù)試的概率均為，小強(qiáng)和小真通過(guò)復(fù)試的概率均為，通過(guò)初試考核記分，通過(guò)復(fù)試考核記分，本次面試滿分為10分，且初試未通過(guò)者不能參加復(fù)試.（1）若從這人中隨機(jī)選取人參加面試，求這兩人本次面試得分之和不低于分的概率；（2）若小明和小紅兩人一起參加本次公司的面試，記他們本次面試的得分之和為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）選出人的情況分三種：①小明、小紅參加面試；②小明、小紅或小強(qiáng)、小真各一人參加面試；③小強(qiáng)、小真參加面試.計(jì)算每種情況下的概率相加即可得到結(jié)果.（2）分析的取值，分別計(jì)算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】記選出小明、小紅參加面試為事件，選出小明、小紅或小強(qiáng)、小真各一人參加面試為事件，選出小強(qiáng)、小真參加面試為事件，這兩人本次面試的得分之和不低于分為事件，則，，，【小問(wèn)2詳解】的可能取值為，故，，，，，.故的分布列為：0610121620則.17.已知圓柱如圖所示，其中正方形為軸截面，點(diǎn)，為圓上異于，且同側(cè)的點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面夾角正切值為，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理即可證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，求出平面的法向量，為平面的一個(gè)法向量，根據(jù)題意求出二面角的余弦值，由二面角的余弦值公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，故，而平面，平面，故平?取線段的中點(diǎn)，連接，，則，，故，故四邊形為平行四邊形，則.而平面，平面，故平面.而，平面，平面，故平面平面.【小問(wèn)2詳解】如圖，連接，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，過(guò)點(diǎn)作圓柱的母線，則平面，所以，，互相垂直，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，，則，則，，，所以，.設(shè)m=x,y,z為平面所以，令，解得，所以為平面的一個(gè)法向量.易知為平面的一個(gè)法向量.因?yàn)槠矫媾c平面夾角的正切值為，故夾角的余弦值為，所以，化簡(jiǎn)得，而，解得（舍去），則.18.已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，且.（1）討論的單調(diào)性；（2）若為的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若為銳角，比較和的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3），理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為零，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)區(qū)間判斷極值，即可得到取值范圍；（3）先根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷大小關(guān)系.【小問(wèn)1詳解】依題意，有，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，易知，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，且，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，故無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，是極大值點(diǎn)，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問(wèn)3詳解】結(jié)論：.要證，即證，即證，即證，，因?yàn)?，，即證當(dāng)時(shí)，.即證當(dāng)時(shí)，.令，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，故，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即，兩式相加可得，，即.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、依據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極值與最值：（1）函數(shù)求導(dǎo)；（2）令導(dǎo)函數(shù)為0，求出極值，判斷單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出最值；（3）構(gòu)造新的函數(shù)證明不等式.19.已知有序數(shù)組，，分別為：，：，：，若它們之間滿足：①；②；則稱為的雙覆蓋數(shù)組.為的單覆蓋數(shù)組.（1）有序數(shù)組，分別為：8，5，4，，：，，，2，若為的雙覆蓋數(shù)組，求，，，的值.（2）已知為的單覆蓋數(shù)組，其中又可記為.（i）判斷滿足條件的的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)