結(jié)構(gòu)不良題-數(shù)列（四）

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)結(jié)構(gòu)不良題-數(shù)列（四）一、解答題（本大題共25小題）1.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，已知同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)條件：①；②單調(diào)遞減；③有最小值；④．(1)直接寫出可能的三個(gè)條件，并求出的通項(xiàng)公式；(2)在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2.從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．問(wèn)題：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，

，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的題設(shè)條件中.問(wèn)題：已知等差數(shù)列的公差為，滿足，？(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前k項(xiàng)和，求的值.4.從條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并給出解答，已知數(shù)列{}滿足(1)求證：數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分5.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，給出以下三個(gè)條件：①，；②；③，.從這三個(gè)條件中任選一個(gè)解答下面的問(wèn)題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分6.在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，___，a1＝b6，若對(duì)于任意n∈N*都有Tn＝2bn－1，且Sn≤Sk(k為常數(shù))，求正整數(shù)k的值．7.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，公差，且.從①為與等比中項(xiàng)，②等比數(shù)列的公比為，這兩個(gè)條件中，選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線上，使得符合條件的數(shù)列存在并作答.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.8.在①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.問(wèn)題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.記數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求證：.注：如果兩個(gè)條件都選擇作答，則按照第一個(gè)解答評(píng)分.9.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若問(wèn)題中的不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意都有？10.①公比為2，且是與的等差中項(xiàng)；②且為遞增數(shù)列，在①②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線上并解答.已知等比數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.11.給出以下三個(gè)條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并完成作答．若選擇多個(gè)條件分別作答，以第一個(gè)作答計(jì)分．已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．12.已知等差數(shù)列的公差為正實(shí)數(shù)，滿足，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和為，以下有三個(gè)條件：①；②；③從中選一個(gè)合適的條件，填入上面橫線處，使得數(shù)列為等比數(shù)列，并根據(jù)題意解決問(wèn)題.13.在①，②，③點(diǎn)在直線上；這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并解答.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)k，使成等比數(shù)列？若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由.14.已知向量，，設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，求的取值范圍．從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中作答．①；②；③，，成等比數(shù)列．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一解答計(jì)分．15.已知為無(wú)窮數(shù)列，給出以下二個(gè)定義：I.若對(duì)任意的，總存在i，且，使成立，則稱為“H數(shù)列”；II.若為“H數(shù)列”，且對(duì)任意的，總存在唯一的有序數(shù)對(duì)使成立，則稱為“強(qiáng)H數(shù)列”；(1)若，判斷數(shù)列是否為“H數(shù)列”，說(shuō)明理由；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得數(shù)列存在且不為常數(shù)列，求同時(shí)滿足所選兩個(gè)條件的所有數(shù)列的通項(xiàng)公式條件①：為等差數(shù)列；條件②：為等比數(shù)列；條件③：為“強(qiáng)H數(shù)列”．16.在①，②，③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足，；正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.從①：②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答：已知等差數(shù)列的公差大于零，且前項(xiàng)和為，若，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分18.在①，；②公差為，且、、成等比數(shù)列；③；三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．問(wèn)題：已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值．19.在①6Sn＝an2+3an﹣4；②an＝2an﹣1﹣3n+5，兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，滿足a2＝2b2﹣1，a3＝b3+2，.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{an}和{bn}中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，將A∪B的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前70項(xiàng)和.20.已知①2a3＝b3+b4；②S2＝3；③a4＝a3+2a2，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，，a1＝b2，對(duì)?n∈N+都有Tn＝n2+2b1n成立．(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Hn．21.在①a1+a3＝6，a5＝9，②a1＝1，4Sn＝an2+4n﹣1，③a1＝1，a2a3＝a8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的m，t存在，求m，t的值；若問(wèn)題中的m，t不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：已知等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且．在數(shù)列{an}的前20項(xiàng)中，是否存在兩項(xiàng)am，at（m，t∈N*且m＜t），使得成等比數(shù)列．22.在①，；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.23.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答問(wèn)題：在數(shù)列{}中，已知.(1)求{}的通項(xiàng)公式(2)若求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分24.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)外充在下面問(wèn)題中，并解答下列題目.設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.25.已知遞增的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，從①，②，③=50中選出兩個(gè)作為條件，求數(shù)列的最大項(xiàng).注：如果選擇多種方案分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案1.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】選時(shí)：1直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；2利用求和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．選時(shí)：1直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；2利用求和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】(1)選時(shí)：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由于；單調(diào)遞減，故，由于，整理得：，所以：，解得：，故：；選時(shí)：；有最小值；．由于等差數(shù)列有最小值，故，所以，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由于，整理得：，所以：，解得：，所以：．(2)選時(shí)：因?yàn)?，所以．選時(shí)：因?yàn)椋凰裕?.【答案】【分析】根據(jù)題目所給的條件推出的通項(xiàng)，再計(jì)算出的通項(xiàng)，將所選擇的條件加入，利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，若選擇①，由，得，又，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，以上兩式相減得，所以當(dāng)時(shí)，，所以；若選擇②，因?yàn)?，所以．又，所以．所以，所以?dāng)時(shí)，，，以上兩式相減得，所以當(dāng)時(shí)，，所以；若選擇③，因?yàn)?，所以，又，所以，．所以所以?dāng)時(shí)，，，以上兩式相減得，所以當(dāng)時(shí)，，所以；綜上，.3.【答案】(1)(2)5【分析】（1）由題意可知，若選①、②、③，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將①、②、③中等式化簡(jiǎn)成的表達(dá)式，再分別與聯(lián)立，可求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1），求出數(shù)列的前k項(xiàng)和，再令，求出的值即可.【詳解】(1)解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，又，所以，選①，則，得，故，.選②，則，得，得，故，.選③，則，，得，故，；(2)解：由（1）得，則，解得或（舍去），所以的值為5.4.【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）由題可得，，即證；（2）選①利用分組求和法即得；選②利用錯(cuò)位相減法即得；選③利用裂項(xiàng)相消法即求.【詳解】(1)因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列{}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；(2)由上可得，選①：因?yàn)椋?，則，；選②：因?yàn)?，所以則，，故；選③：因?yàn)?，所以，則，故.5.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件構(gòu)造數(shù)列或利用與關(guān)系求解（2）根據(jù)題意求和，使用裂項(xiàng)相消法【詳解】(1)若選①：由，得.令，，可得.當(dāng)時(shí)，，，…，，累加得.又，則，則.又也適合上式，所以.若選②：由，可得.又是正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，則.當(dāng)時(shí)，.又也適合上式，所以.若選③：由得，當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，整理得.由于，故，即是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.(2)由（1）得，，則，所以.6.【答案】條件選擇見解析，11【分析】由Tn＝2bn－1，求出b1＝1和bn＝2bn－1，可以判斷出數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求出.分別選擇條件①②③時(shí)，利用基本量代換，均可以求出an＝35－3n，判斷出當(dāng)n≤11時(shí)，an>0，當(dāng)n>11時(shí)，an<0，即可求出Sn取得最大值時(shí)正整數(shù)k的值為11.【詳解】由Tn＝2bn－1，n∈N*得，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－1＝2bn－1－1，從而bn＝Tn－Tn－1＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，由此可知，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故.選條件①：當(dāng)a5＝b3＋b5時(shí)，a1＝32，a5＝20，設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a5＝a1＋4d，即20＝32＋4d，解得d＝－3，所以an＝32－3(n－1)＝35－3n，因?yàn)楫?dāng)n≤11時(shí)，an>0，當(dāng)n>11時(shí)，an<0，所以當(dāng)n＝11時(shí)，Sn取得最大值．因此，正整數(shù)k的值為11.選條件②：當(dāng)S3＝87時(shí)，a1＝32,3a2＝87，設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則3(32＋d)＝87，解得d＝－3，所以an＝32－3(n－1)＝35－3n，因?yàn)楫?dāng)n≤11時(shí)，an>0，當(dāng)n>11時(shí)，an<0，所以當(dāng)n＝11時(shí)，Sn取得最大值，因此，正整數(shù)k的值為11.選條件③：當(dāng)a9－a10＝b1＋b2時(shí)，a1＝32，a9－a10＝3，設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則－d＝3，解得d＝－3，所以an＝32－3(n－1)＝35－3n，因?yàn)楫?dāng)n≤11時(shí)，an>0，當(dāng)n>11時(shí)，an<0，所以當(dāng)n＝11時(shí)，Sn取得最大值，因此，正整數(shù)k的值為11.7.【答案】(1)選擇條件見解析，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)選擇條件求解（2）數(shù)列求和后證明，使用裂項(xiàng)相消法【詳解】(1)若選①，為與的等比中項(xiàng)，則，由為等差數(shù)列，，得，∴，把代入上式，可得，解得或（舍）∴，；若選②，為等比數(shù)列的公比，且，可得，即，即有，即；又，可得，即，解得，此時(shí)；(2)∵，∴；∴，得證8.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）選擇①則利用退位相減法求，選擇②則先求，再求（2）利用裂項(xiàng)相消法先求，所要證明的不等式右端可以通過(guò)放縮證明，左端利用的單調(diào)性可證.【詳解】(1)選擇①由有當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，所以，即，兩邊各項(xiàng)同除以得（），當(dāng)時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，也成立，故選擇②由所以或，所以舍去當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合上式，(2)選擇①由（1）知，已知另一方面，是關(guān)于的增函數(shù)，綜上有：選擇②由（1）知另一方面，是關(guān)于的增函數(shù)，綜上有：.9.【答案】答案見解析【分析】由已知條件可得，假設(shè)時(shí)，取最小值，則，若補(bǔ)充條件是①，則可求得，代入化簡(jiǎn)可求出的取值范圍，從而可求得答案，若補(bǔ)充條件是②，則可得，該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，若補(bǔ)充條件是③，則可得，代入化簡(jiǎn)可求出的取值范圍，從而可求得答案，【詳解】解：等差數(shù)列的公差為d，當(dāng)時(shí)，，得，從而，當(dāng)時(shí)，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，由對(duì)任意，都有，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值時(shí)，假設(shè)時(shí)，取最小值，所以；若補(bǔ)充條件是①，因?yàn)椋?，從而，由得，所以?/p>

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，又，所以.

所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．若補(bǔ)充條件是②，由，即，又，所以.

所以，由于該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，故實(shí)數(shù)不存在以下為嚴(yán)格的證明：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，所以，所以不存在k，使得取最小值，故實(shí)數(shù)不存在．若補(bǔ)充條件是③，由，得，又，所以，

所以由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，又，所以.所以存在，使得取最小值，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．10.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）選條件①，根據(jù)給定條件，利用等差中項(xiàng)的定義列式求出首項(xiàng)即可作答.選條件②，根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公比并判斷作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和推理作答.【詳解】(1)選條件①：因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，即，依題意，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.選條件②：設(shè)公比為，依題意，，解得或，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，于是得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.(2)由（1）知，則，因此，，于是有，因，則有，即有，所以.11.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，則根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選②，則根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選③，則根據(jù)，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，求得答案.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d選擇①，由題意得，又，則，所以；選擇②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，或（舍去），所以；選擇③，由，得，解得，所以．(2)由題意知，∴

①

②①－②得∴，即.12.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得公差，從而可得出答案；（2）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得（負(fù)值舍去），所以，所以；(2)解：選①，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等式也成立，所以，則，所以，則，兩式相減得，所以.選②，由，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以，則，以下步驟同①.選③，由，得，兩式相減得：，又，所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以，則，以下步驟同①.13.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)不存在，理由見解析【分析】（1）分析題目所給三個(gè)條件，判斷任選兩個(gè)，都可求得.（2）根據(jù)成等比數(shù)列列方程，通過(guò)方程的解來(lái)進(jìn)行說(shuō)明.【詳解】(1)條件①，；條件②，，，則.條件③，，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以選①②，①③，②③都可求得.(2)由（1）知，，，.假設(shè)，，成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得，解得或.這與k為正整數(shù)矛盾，即假設(shè)不成立，所以，不存在正整數(shù)k，使，，成等比數(shù)列.14.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合降冪公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得增區(qū)間；（2）若選①，通過(guò)正弦定理以及“切化弦”思想可得，進(jìn)而得，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果；若選②，通過(guò)正弦定理將邊化為角，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，余下同①；若選③，由余弦定理可得，進(jìn)而得的范圍，余下同①.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以由，得，即函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）若選①，由正弦定理可得，即，即，由于，所以，解得，由于，得，所以，所以，得，即的取值范圍是.若選②，由正弦定理可得，即，由于，所以，由于，得，所以，所以，得，即的取值范圍是.若選③，，成等比數(shù)列，即，由余弦定理可得，所以，所以，得，即的取值范圍是.15.【答案】(1)不是“H數(shù)列”，(2)條件①②數(shù)列不存在，條件①③數(shù)列不存在，條件②③是公比為，首項(xiàng)為任何非零實(shí)數(shù)的等比數(shù)列.【分析】（1）按照題目所給的定義，推理即可；（2）按照題目所給的定義，分類討論；【詳解】(1)對(duì)于，若存在，使得，則，而是偶數(shù)，是奇數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)，所以不是“H數(shù)列”；(2)條件①，不妨設(shè)，假設(shè)存在，使得，則有，整理得，對(duì)于任意的n都成立，當(dāng)n=3時(shí)也成立，由于，所以i=1，j=2，，即只要i+j=n，就有，因此是“H數(shù)列”，由于i，j不是唯一的，比如，不是“強(qiáng)H數(shù)列”；條件②，不妨設(shè)，假設(shè)存在，使得，則有，當(dāng)n=3時(shí)也成立，由于，所以i=1，j=2，得，或，，所以對(duì)于任意的n，總存在，使得成立，當(dāng)公比為或時(shí)，是“H數(shù)列”；下面證明是“強(qiáng)H數(shù)列”，即證明對(duì)于任意的n，i，j是唯一的：考慮，函數(shù)是增函數(shù)，不妨假設(shè)，（對(duì)于也相同）若j=n-1，必有i=n-2，是唯一的，若j=n-2，則，，故i，j不存在，若，則必然由，故i，j也不存在，即對(duì)于公比為的等比數(shù)列，是“強(qiáng)H數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，考慮，是絕對(duì)值單調(diào)遞減的擺動(dòng)數(shù)列，若j=n-1，必有i=n-2，是唯一的，若j=n-2，則，必有

，故i，j不存在，令，則，則是單調(diào)遞減的正數(shù)列，若，假設(shè)n=偶數(shù)，

，若，則必①②有，考慮一下幾種情況：若i，j都是偶數(shù)，

…①，

，故①不成立，即i，j不存在；若i，j都是奇數(shù)，若，則有…②，，②不成立，即i，j不存在；若i是奇數(shù)，j是偶數(shù)，則有，…③，，③不成立，即i，j不存在；若i為偶數(shù)，j為奇數(shù)，則有…④則有，由于，并且是遞減的，，，又，∴④不成立，即i，j不存在；同理可以證得當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)，i，j也是不存在的，故有當(dāng)時(shí)，是“強(qiáng)H數(shù)列”；綜上，條件①②數(shù)列不存在，條件①③數(shù)列不存在，②③存在“強(qiáng)H數(shù)列”，是公比為或的等比數(shù)列16.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）選①②，時(shí)，，相減利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；選①③，時(shí)，，相減利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；選②③，時(shí)，，相減利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出，；（2），利用錯(cuò)位相減法即可得出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)解：選①，②.時(shí)，，相減可得：，即，時(shí)，，解得，滿足，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為，∴.選①，③.時(shí)，，相減可得：，即，時(shí)，，，解得，，滿足，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為，∴.選②，③，時(shí)，，相減可得：，化為：，時(shí)，，，解得.滿足，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為，∴.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，∵滿足，且，，成等比數(shù)列，∴，∴，，解得，∴.(2)解：，∴數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，相減可得，整理得.17.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，分別用表示出已知的等量關(guān)系，解方程組求得，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】(1)若選①：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，，由得：，則由可得：，，；若選②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由可得：，，，聯(lián)立以上兩式可得：（舍）或，；若選③，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由可得：，由得：，聯(lián)立以上兩式可得：，，；(2)由（1）得：，．18.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）選①，設(shè)的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；選②，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程，解出的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；選③，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）選①或②或③，求出數(shù)列的前項(xiàng)的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】(1)解：選①，設(shè)的公差為，則，由已知可得，解得，則；選②，，，，由題意可得，則，解得，所以，；選③，，當(dāng)時(shí)，.也滿足，故對(duì)任意的，.(2)解：選①，，則，，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，此時(shí).所以，，故；選②，，則，，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí).所以，，故；選③，，則，，當(dāng)，則，此時(shí)；當(dāng)，則，此時(shí)；當(dāng)，則，此時(shí)；當(dāng)，則，此時(shí).所以，，故.19.【答案】(1)答案見解析(2)6869【分析】（1）選①利用與的關(guān)系，退一相減得到，再求；選②利用遞推關(guān)系求出前2項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列基本量求出，然后再求；（2）將與的大小按由小到大排列，再通過(guò)列舉找到與在前70項(xiàng)中相等的項(xiàng)，從而找到滿足條件的前70項(xiàng)，歸納出等差和等比數(shù)列各自的項(xiàng)數(shù)，在進(jìn)行分組求和.【詳解】(1)選①6Sn＝an2+3an﹣4，設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0）和等比數(shù)列{bn}的公比為q，可得n＝1時(shí)，6a1＝6S1＝a12+3a1﹣4，解得a1＝4，或a1＝-1（負(fù)的舍去），當(dāng)n≥2時(shí)，6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1﹣4，又6Sn＝an2+3an﹣4，兩式相減可得6an＝6Sn﹣6Sn﹣1＝an2+3an﹣4﹣an﹣12﹣3an+4，化為（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，由an＞0，可得an﹣an﹣1＝3，即d＝3，由a2＝2b2﹣1，a3＝b3+2，可得a1+d＝2b1q﹣1，a1+2d＝b1q2+2，即有b1q＝4，b1q2＝8，解得b1＝q＝2，則an＝4+3（n﹣1）＝3n+1；bn＝22n﹣1＝2n；選②an＝2an﹣1﹣3n+5，可得a2＝a1+d＝2a1﹣1，即a1＝d+1，又a3＝a1+2d＝2a2﹣4＝2（a1+d）﹣4，即為a1＝4，d＝3，由a2＝2b2﹣1，a3＝b3+2，可得a1+d＝2b1q﹣1，a1+2d＝b1q2+2，即有b1q＝4，b1q2＝8，解得b1＝q＝2，則an＝4+3（n﹣1）＝3n+1；bn＝22n﹣1＝2n；(2)數(shù)列{cn}的前70項(xiàng)為數(shù)列{an}的前66項(xiàng)加上數(shù)列{bn}的前7項(xiàng)，由通項(xiàng)公式可知；；，故在前70項(xiàng)中有3項(xiàng)重復(fù)，所以需減去重復(fù)的4，16，64三項(xiàng).所以數(shù)列{cn}的前70項(xiàng)和為66×（4+198+1）84＝6869.20.【答案】(1)，bn＝2n﹣3；(2).【分析】（1）無(wú)論選擇哪個(gè)條件，都運(yùn)用特例法結(jié)合第項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）無(wú)論選擇哪個(gè)條件，都利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可；【詳解】(1)選條件①時(shí)：（1）對(duì)?n∈N+都有Tn＝n2+2b1n成立；對(duì)于n＝1時(shí)，b1＝1+2b1，整理得b1＝﹣1；所以，所以bn＝Tn﹣Tn﹣1＝2n﹣3；由于①2a3＝b3+b4；所以a1＝1，a3＝4，設(shè){an}的公比為，則有，或（舍去），整理得；選條件②時(shí)：（1）對(duì)?n∈N+都有Tn＝n2+2b1n成立；對(duì)于n＝1時(shí)，b1＝1+2b1，整理得b1＝﹣1；所以，由S2＝3，即a1+a2＝3，設(shè){an}的公比為，由于a1＝b2＝1，a1+a2＝1+q＝3，解得：q＝2；故；選條件③時(shí)：）對(duì)?n∈N+都有Tn＝n2+2b1n成立；對(duì)于n＝1時(shí)，b1＝1+2b1，整理得b1＝﹣1；所以，所以bn＝Tn﹣Tn﹣1＝2n﹣3；所以由于a1＝b2＝1，設(shè){an}的公比為，由a4＝a3+2a2可得：，解得，或（舍去），所以；(2)由（1）得：，所以①，②，①﹣②得：，整理得：．21.【答案】答案見解析.【分析】選①：利用基本量代換列方程組求出an＝2n﹣1；選②：由4Sn＝an2+4n﹣1，消去得到即公差d＝2，即可求出an＝2n﹣1；選③：利用基本量代換列方程組求出an＝2n﹣1；根