結(jié)構(gòu)不良題-數(shù)列（一）

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)結(jié)構(gòu)不良題-數(shù)列（一）一、解答題（本大題共25小題）1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的，，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．①；②；③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．2.已知公差不為0的等差數(shù)列滿(mǎn)足：①，②成等比數(shù)列；③．從①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立．注：若選擇不同組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．3.從條件①，，②，③，中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，記，求的前100項(xiàng)和.4.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.5.在“①，，；②，；③”三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和為，求證：．6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①，②，③.7.在①，；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中的橫線上，并解答（若選擇兩個(gè)或三個(gè)按照第一個(gè)計(jì)分）.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且.求數(shù)列，的通項(xiàng)公式.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，然后對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行解答．條件：①；

②；③注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，以第一個(gè)解答計(jì)分．9.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且滿(mǎn)足.給出下列三個(gè)條件：①，；②；③.請(qǐng)從其中任選一個(gè)將題目補(bǔ)充完整，并求解以下問(wèn)題：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.10.給出以下條件：①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③．從中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在題目中的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．11.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，再?gòu)囊韵氯齻€(gè)條件中，任意選擇一個(gè)，并解決下面兩個(gè)問(wèn)題．①；②；③．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．12.在公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，請(qǐng)?jiān)冖?，；②；③，，成等比?shù)列，三個(gè)條件中，任選一個(gè)完成下面的問(wèn)題．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，求．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．13.已知數(shù)列{}，其n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足?．請(qǐng)你從①，；②；③，．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的“?”處，并回答下列問(wèn)題：(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)，求n的最大值．14.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．問(wèn)題：在等差數(shù)列中，且，9，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若選擇條件①，求使成立的n的最小值；若選擇條件②，求使成立的n的最小值．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，請(qǐng)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解決下面的問(wèn)題：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．條件①：；條件②：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．16.記正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，．從①；②；③這三個(gè)條件中選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答下面的問(wèn)題：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)的和，求證：．17.已知正項(xiàng)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，，且，現(xiàn)有以下條件:①;②;③是和的等差中項(xiàng).請(qǐng)?jiān)谌齻€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問(wèn)題：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和.18.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．請(qǐng)?jiān)冖伲?，③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答．19.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解知．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20.請(qǐng)你從下列兩個(gè)遞推公式中，任意選擇一個(gè)填入題中橫線上，并解答題后的兩個(gè)問(wèn)題：①②已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求；(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.21.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為.(1)從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的通項(xiàng)公式；①是等比數(shù)列；②.(2)在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22.在①成等比數(shù)列，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答．問(wèn)題：在公差不為0的等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23.在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中．已知是公差為的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，是正項(xiàng)等比數(shù)列，，，試比較與的大小，并說(shuō)明理由．24.已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)請(qǐng)?jiān)诩现腥稳∫粋€(gè)元素作為的值，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)①若第（1）問(wèn)取，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．②若第（1）問(wèn)取，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果同時(shí)選擇的兩個(gè)取值分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．25.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.給出下列三個(gè)條件：條件①：數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列也為等比數(shù)列；條件②：點(diǎn)在直線上；條件③：.試在上面的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成下列兩問(wèn)的解答：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案1.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：根據(jù)與的關(guān)系即可求解；選②：根據(jù)已知有時(shí)，，兩式相減即可求解；選③：根據(jù)已知有時(shí)，，兩式相除即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消求和法求出，則原問(wèn)題等價(jià)于，令，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列的最大值即可得答案.【詳解】（1）解：選①：當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)，，兩式相減得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，；選②：，時(shí)，，兩式相減得，即，又當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足上式，；選③：，時(shí)，，兩式相除得，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，；（2）解：∵∴，∵對(duì)任意的，即對(duì)任意的都成立，∴對(duì)任意的都成立，，令，則，∵，，即，數(shù)列是遞減數(shù)列，，，，∴的取值范圍是.2.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)聯(lián)合求解即可.【詳解】解：選①②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，聯(lián)立解得：.所以.所以.選①③：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立解得：.所以，，，，，所以成等比數(shù)列.選②③：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，，聯(lián)立解得：，所以.所以.3.【答案】(1)若選①或②，；選③，(2)若選①或②，92；選③，145【分析】（1）①②都是利用的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后得到與的關(guān)系，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；③利用的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到與的關(guān)系，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）利用①②③的結(jié)果代入，然后討論的具體值，通過(guò)求和得到答案【詳解】（1）若選擇①，因?yàn)?，所以，兩式相減得，整理得，即，所以為常數(shù)列，，所以，若選擇②，因?yàn)?，所以，兩式相減，得，因?yàn)?，∴，所以是等差?shù)列，所以；若選擇③，（1）由變形得，，所以，易知，所以，所以為等差數(shù)列，又，所以，，∴，又時(shí)，也滿(mǎn)足上式，所以；（2）選擇①或②，，，；；，∴，選擇③，，；；，∴.4.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】首先確定條件和結(jié)論，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式證明結(jié)論即可．【詳解】選擇①③為條件，②結(jié)論．證明過(guò)程如下：由題意可得：，，數(shù)列的前項(xiàng)和：，故，據(jù)此可得數(shù)列是等差數(shù)列．選擇①②為條件，③結(jié)論：設(shè)數(shù)列的公差為，則：，數(shù)列為等差數(shù)列，則：，即：，整理可得：，．選擇③②為條件，①結(jié)論：由題意可得：，，則數(shù)列的公差為，通項(xiàng)公式為：，據(jù)此可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，由，可知數(shù)列是等差數(shù)列．5.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）若選①，則由條件可求出，，從而可求出，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式，若選②，則有，結(jié)合可求出，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式，若選③，則利用可求出，（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果【詳解】(1)若選擇①，因?yàn)?，，，，解得，，設(shè)公差為d，則有，，解得，，所以．若選擇②，設(shè)公差為d，，即，結(jié)合，解得，，所以．若選擇③，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)亦滿(mǎn)足上式，所以．(2)證明：由（1）得，所以，因?yàn)?，（），所以，所以?.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】選①②作為條件證明③，條件①可由項(xiàng)與和的關(guān)系利用作差法變化為項(xiàng)的遞推式，得出是等比數(shù)列，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得，得證③；選①③作為條件證明②，條件①可由項(xiàng)與和的關(guān)系利用作差法變化為項(xiàng)的遞推式，得出是等比數(shù)列，從而可求得，條件③，利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得，兩者比較可證得②選②③作為條件證明①，同上，由條件③求得，結(jié)合②得，然后分組求和得，代入檢驗(yàn)可證得①．【詳解】選①②作為條件證明③，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，所以.因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以.選①③作為條件證明②，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)也滿(mǎn)足上式，所以，故.選②③作為條件證明①，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)也滿(mǎn)足上式，所以.因?yàn)?，所以，所以，?7.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的基本量方法，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)求得的通項(xiàng)公式即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.若選①：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由有，故，所以，解得，故.故，故若選②：由題意，即，解得，故.故，故若選③：由可得，即，解得，故.故，故8.【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見(jiàn)解析【分析】（1）由，利用，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分別選擇條件①②③，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法和分類(lèi)討論，進(jìn)而求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)解：因?yàn)樵跀?shù)列中，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)橐矟M(mǎn)足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)解：選擇條件①：由，可得，，兩式相減得，故．選擇條件②：由（1）知，所以∴.選擇條件③：因?yàn)?，?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述：數(shù)列的前項(xiàng)和.9.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）選①根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等比中項(xiàng)即可判斷是等比數(shù)列，進(jìn)而可求，選②根據(jù)的關(guān)系即可求解，選③根據(jù)遞推關(guān)系即可相減求解，（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和以及數(shù)列的單調(diào)性即可證明.【詳解】(1)若選①，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列設(shè)數(shù)列的公比為q，由得所以若選②，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以若選③，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以(2)由（1）得所以∵，∴，∴易證時(shí)，是增函數(shù)，∴.故10.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，則，解方程求出，從而可求出，若選②，則，解方程求出，從而可求出，若選③，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)得，從而可求出，（2）結(jié)合（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法可求出【詳解】(1)設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，若選擇條件①，由，，，有，化簡(jiǎn)得．解得或（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．若選擇條件②，由，，，有，化簡(jiǎn)得解得或（舍去）所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．若選條件③，由，有，兩式相減得：，因?yàn)?，，所以，故，所以，即，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由（1）知，所以，所以，兩邊同乘以2得：，以上兩式相減得：，即，所以．11.【答案】(1)選①②③答案均相同，(2)選①②③答案均相同，【分析】（1）選①，由得出的遞推關(guān)系，確定是等比數(shù)列，求出后再求；選②，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式；選③，由已知式變形可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式；（2）用借位相減法求和．【詳解】(1)選①，；，，又，所以是等比數(shù)列，公比為2，，所以，時(shí)，，而a1=1符合，綜上，；選②，，即，所以，又，所以是等比數(shù)列，公比為2，所以；選③，，，因?yàn)?，所以，而，所以是等比?shù)列，公比為2，所以；(2)選①②③均相同：由（1）得，則，兩式相減得，所以．12.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：設(shè)的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量方法列式求解即可；選②：設(shè)的公差為，令，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量方法列式求解即可；選③：設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量方法列式求解即可；（2）由（1），從而求得，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可【詳解】(1)設(shè)的公差為，選①：由題意，，即，解得，故選②：令有，即，因?yàn)楣畈粸榱愕恼?xiàng)等差數(shù)列，故解得.令，則，即，故，故選③：因?yàn)椋?，成等比?shù)列，，故，故，因?yàn)楣畈粸榱?，故解得，?2)由（1），故，故，故13.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）若選①，則可得數(shù)列{}是4為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式，若選②，利用求解通項(xiàng)公式，若選③，則可得數(shù)列{}為常數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式，（2）若選①，則利用等差數(shù)列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若選②，則利用等比數(shù)列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若選③，則求出常數(shù)列的前項(xiàng)和，然后解不等式可得答案，【詳解】(1)若選①，因?yàn)?，所以，所以?shù)列{}是4為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以，若選②，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，得，所以數(shù)列{}是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，若選③，因?yàn)椋?，所以（），即（），因?yàn)?，，所以，所以?shù)列{}為常數(shù)列，所以(2)若選①，由（1）可知數(shù)列{}是4為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得（），所以n的最大值為7，若選②，由（1）可知數(shù)列{}是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，解得（），所以n的最大值為6，若選③，由（1）可知數(shù)列{}為常數(shù)列，且，所以，當(dāng)時(shí)，（），所以n的最大值為10014.【答案】(1)(2)選,①，n的最小值為6；選②，n的最小值為7【分析】（1）先設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)題意，列出等量關(guān)系，求得，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）若選擇條件①，利用裂項(xiàng)相消法求和，求解不等式得結(jié)果；若選擇條件②，用分組求和法，求解不等式得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意知，∴，解得．∴的通項(xiàng)公式告．(2)選擇條件①：由（1），得，∴，由，得，解得．∴所求的n的最小值為6．選擇條件②：由（1），得．∴．由可得，解得，∴所求的n的最小值為7．15.【答案】(1)(2)【分析】（1）選擇條件①：由等差通項(xiàng)公式列出方程，得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選擇條件②：由等差求和公式列出方程，得出得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，結(jié)合等比求和公式得出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】(1)選擇條件①：設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以解得，所?選擇條件②：設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以解得，所?(2)因?yàn)?，所以所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以16.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）選擇①利用可得答案；選擇②利用累乘法可得答案；選擇③利用等差數(shù)列的定義可得答案；（2）利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.【詳解】(1)選擇①，當(dāng)時(shí)，而時(shí)，滿(mǎn)足左式，∴．選擇②，，選擇③，由，得，從而得．(2)因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，?17.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，若選擇條件①：由，得，又，所以解得即可求出的通項(xiàng)公式；若選擇條件②：由，則，又，即，解得即可求出的通項(xiàng)公式；若選擇條件③：是和的等差中項(xiàng)，可得，又，則解得即可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，則，利用裂項(xiàng)相消即可求出．【詳解】(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，若選擇條件①：由，得，又，所以，即解得或（舍去），所以；若選擇條件②：由，則，又，即，所以，解得或（舍去），所以；若選擇條件③：是和的等差中項(xiàng)，可得，又，則，即解得或（舍去），所以；(2)由（1）可知，則，所以．18.【答案】(1)，(2)答案不唯一，具體見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用，求出，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得答案.（2）若選①，由（1）得，由裂項(xiàng)相消求和可得答案；若選②，由（1）得，利用錯(cuò)位相減求和可得答案；若選③，由（1）得，，由等差數(shù)列求和公式可得答案.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以?(2)若選①，由（1）得，所以．若選②，由（1）得，所以，（*）（*）兩邊同時(shí)乘以2，得，（**）（*）（**），得，所以，若選③，由（1）得，，所以．19.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】(1)選①：設(shè)數(shù)列的公比為，∵，得，則．已知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，得，∴解得，，故數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，選②：∵數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，∵，得，∴解得，，，故數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，；(2)由（1）知，∴，，①-②得，，∴．20.【答案】(1)(2)猜想，證明見(jiàn)解析【分析】（1）選擇條件①，分別令，3，4，能夠求出，，．選擇條件②，分別令，2，3，能夠求出，，．（2）由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式：，檢驗(yàn)時(shí)等式成立，假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立．【詳解】(1)解：選擇條件①，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即，故分別為3，5，7.選擇條件②，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，故分別為3，5，7.(2)解：猜想，理由如下：選擇條件①時(shí)，由題知，，猜想成立，假設(shè)時(shí)，，則，所以?xún)墒较鄿p得：即所以，時(shí)成立，綜上所述，任意，有．選擇條件②時(shí)，由題知，，猜想成立，假設(shè)時(shí)，則所以，時(shí)成立，綜上所述，任意，有．21.【答案】(1)(2)【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（1）若選①，根據(jù)是等比數(shù)列可知，再化簡(jiǎn)求解即可；若選②，根據(jù)兩式相減可得公比，再代入求得即可（2）代入（1）中可得，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，若選①，根據(jù)是等比數(shù)列可知，又，故，，故，，，故，即，解得，故，此時(shí)，故即為等比數(shù)列符合題意，故若選②，由可得，即，故，故，解得，故(2)，故22.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，選擇①：由成等比數(shù)列，得，又，可得，從而求得，由得，解不等式根據(jù)為正整數(shù)可得答案