江蘇省2016屆高三數(shù)學寒假導學案 蘇教版

年寒假高三數(shù)學導學案

參考答案

第一講函數(shù)的性質及應用

【知識鏈接】

31

,(-)、(--,+8)、、(FS)o

42

、()?

【知識建構】

4-->0

、解：①當”>1時，/(x)在(l,+o。)上是單調遞增函數(shù)，同時必須滿足(2,解

(4--|-)xl+2<a

得44。v8。

4—<0

②當0<。<1時，/。瘡(1十8：上是單調遞減函數(shù)，同時必須滿足12,解

(4-^)xl+2><z

a>8

<

、a<4,無解

綜合①②，得4<a<8

a>l

變：解：由題意?4-->0,解得4<。<8。

2

(4--)x7+2<a8-6

12

、解：()由/(一%+5)=/(%—3)可知對稱軸為％=1,

所以一2=1,。=—2。，

2a

因為依2+力比=%，即0^+3-l)x=O有重根二.A=(。-1)2=0

所以

1

所以/(x)=——X92+X

3m=f(n)=-；/+〃,

()①若1工加<〃，由函數(shù)的單調性可知：《

「12

3n=/(〃?)=―/根~+〃?

1

兩式子相減得到3(m-n)=—(m+n)(m一九)一(加一〃)機+〃=8,7-87%+48=0,加，〃無解;

2

12

3m=——〃/+m

2

②若加<〃<1又單調性知《

12

3?！?——n~+n

2

此時機=-4,〃=0滿足條件；

③若加<1<〃由于此時函數(shù)的最大值必為x=l時取到為L；

2

所以3〃=，所以,這與〉矛盾

26

綜合上述存在這樣的m=-4,〃=0

L12

..3m=——m+m

119

方法二：3〃4一,.??〃<一所以6v〃<l由單調性知《乙

26,一

3〃=——n+〃

L2

此時機=-4,〃=0滿足條件；

、解：()設投資為％萬元，A產品的利潤為了(元)萬元，5產品的利潤為g(x)萬元.由題意設

/(x)-k1x,g(x)-k24x.由圖可知/⑴=1，二%]=二.又g⑷=1.6,&=二.

從而小)=3叱°)'g(x)]6(xZ()).

()設A產品投入X萬元，則3產品投入10—x萬元，設企業(yè)利潤為y萬元.

x4I-----

y=/(x)+g(io_九)(0<x<10)

令J10-x=t,

10Z

則y=J-+!?=-1(r-2)2+y(0<Z<V10).

14

當t=2時，ymax=《=2.8,此時x=10—4=6.

答：當A產品投入萬元，則3產品投入萬元時，該企業(yè)獲得最大利潤，利潤為萬元

、【解析】如圖所示，因為函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)在區(qū)間［-5,5］內的零點的個數(shù)為方程

〃(%)="X)-g(x)=O根的個數(shù)，即函數(shù)“X)和g(x)圖像交點個數(shù)，所以畫出圖像可知有個

、解：(I)由題意，/(X)=X2|X-2|.

當x<2時，f(x)=x2(2-x)=x,解得X=0或X=1；

當xN2時，f(x)=x2(x-2)=x,解得x=l+&.

綜上，所求解集為｛0,1,1+碼.

(II)設此最小值為

①當時，在區(qū)間［1,2］上，f(x)=x3-ax2.

因為

f'(x)=3x2-2ax=3x(x->0,xe(l,2),

則f(x)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù),所以m=f⑴=l-a.

②當1<“42時,在區(qū)間［1,2］上，f(x)=x2(x-a)>0,由/(a)=0知

m=f(a)=0.

③當a>2時,在區(qū)間［1,2］上，fM=ax2-x3.

f'(x)=lax-3x2=3x(；〃-x).

若。23,在區(qū)間(1,2)內r(x)>0,從而f(x)為區(qū)間［1,2］上的增函數(shù),

由此得

m=/(I)=a—1.

若2<a<3,JfliJl<-?<2.

3

當時，r(x)>0,從而f(x)為區(qū)間上的增函數(shù)；

當■|a<x<2時，f'(x)<0,從而/(x)為區(qū)間上的減函數(shù).

因此，當2<a<3時，相=/(1)=。-1或%=/(2)=4(。-2).

7

當時，4(?-2)<?-1,故，*=f(2)=4(a-2)；

7

當§<〃<3時，a-\<4(6/-2),故加=/(1)=。一1.

綜上所述，所求函數(shù)的最小值

1一〃，當Q<1時；

0,當1<442時；

加=<4(〃—2),當2<“42時;

3

a—1,當時.

3

【學習診斷】

1.[1,2).X2+x.a=-lo變：：.k=±l

、14一2或，之2或，=0

分析：<=>產―2必+12(sin九)max又(sinx)max=1=/一2m+1"1在a￡[-U]上恒成

Q(—1)<Q

立，即2柩一/<0在上恒成立」

U(D<0

l<a<一

4

【鞏固練習】

1

2x2-10x,參考答案

4

第二講導數(shù)及其應用

【知識鏈接】

1

、、一-1<m<—、(2,+oo)、

22

【知識建構】

x2+x5+sinx3?

=X-z2+T3+s_inx

例、解0,/y2

X

_33上__

/.y'=(x2y+(x)'+(x-2sinx\——x2+3x2-2x_3sinx+x~2cosx

2

()y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x24-11x4-6

y'=3x2+12x+11

???xx1.

()?y=-sin—(-cos—)=~smx

y-(gsinx)r=；(sin燈=；cosx

()1+\[x+1—\[x2

)(1-Vx)(l+Vx)

22

???"(——Y=---------7

1-x(1-x)2

例、

()???'，???在點(,)處的切線的斜率2=y'1=2=4

，曲線在點(，)處的切線方程為()，即.

()設曲線y=§尤3+§與過點(，)的切線相切于點A(%,§XO3+_)

則切線的斜率左=

124o

二?切線方程為y—(，九。,H—)=x0(x—x0)

?234

即尸城-x--x0+-

2,4

,1點(,)在切線上，***4=2XQ2—XQ+—

即x03—3X02+4=0x03+x()_―4/-+4=0

???(/+1)(/—2)2=0

解得飛=-1或2

故所求的切線方程為4x—>-4=0或x—y+2=0.

變式訓練：答案或-工

4

例、(I)解：'(x)=(l-x)e^

令'（），解得

當變化時，’（），（）的變化情況如下表

（F,l）（1,+CO）

，（）

0極大值

所以（）在（—8,1）內是增函數(shù)，在（1,+8）內是減函數(shù)。

函數(shù)（）在處取得極大值（）且（）！

e

（II）證明：由題意可知（）（），得0（）

令（）（）（），即F（x）=祀-‘+（X—2）//

于是?。▁）=（x-1）砂"2一產

當〉時，＞，從而e2x-2—l＞0,又e-*＞0,所以F'（）〉,從而函數(shù)（）在［8）是增函數(shù)。

又（）e“—e“=0,所以x＞l時，有（）＞（）,即（）＞（）.

IID證明：（）

若（玉一1）（々-1）=0,由（I）及f（X］）=f（X?）,則％=尤2=1.與%r/矛盾。

（）若（3-1）。2T）＞0,由（I）及f（xj=f區(qū)）,得X］=%2.與玉/工2矛盾。

根據（）（）得（％-1）（々一1）＜0,不妨設%|＜1,々＞1.

由（II）可知，f&2）＞862）,貝?。輌62）f（2-X2）,所以f（X2）＞f（2-X2）,從而f（X［）＞f（2-X2）.

因為々＞1,所以2-々＜1,又由（I）可知函數(shù)（）在區(qū)間（8,）內事增函數(shù)，所以再＞2-々，

即％+x2＞.

例、（）/（x）=3/+2or-Q2=3［x-］［x+a）,又〃〉0,

XV或X＞］時，/（x）＞0；當一■時，/（%）＜0;

/（X）在（一00,-〃）和內是增函數(shù)，在內是減函數(shù)。

()由題意知丁+"2+-2x+!即乂/一12一2)]=0恰有-一根(含重根)

.?.02一240,即一行4。4正,又awO,.?.ae[—痣,o)u(o,五]

當a>0時，g(x)才存在最小值，,ae僅,0].:g(x)=a[x-2)+1--,

](J2

=l—,ae(0,/z(a)的值域為—oo,l----.

aI2_

變題訓練：()當a〉0時，/(外在(9,一。)和仁,+應)內是增函數(shù)，g(x)在內是

?！?

增函數(shù)，由題意得\a>-=>a>\,

3

當a<0時，“X)在卜0,-]]和(一a,”,)內是增函數(shù)，g(x)在(-哈力內是增函數(shù)，由題

(7<0

意得<a+2K—=ci<—3

3

a+2v一

Ia

綜上可知，實數(shù)〃的取值范圍為(-。，-可[1,十句；

【學習診斷】

1>/2

、(-1,8)、(-00,2In2-2]§、

、解：(【)-凹=一■^na=3,；

62

(II)極大值/(-2)=21,在x=1處取得極小值/(I)=-6o

【鞏固練習】

、解:()f/(x)=(x-k+V)ex,令/'(x)=Onx=左一1；所以/(%)在(一8,1)上遞減,在

(左一1,+8)上遞增;

()當"1W0,即心1時，函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上遞增，所以/G)而0=/(0)=-3

當04-1W1即1<《與2時，由()知，函數(shù)/(同在區(qū)間［0,左一1］上遞減，僅一1,1］上

遞增，所以/(4而=//-1)=-尸；

當"1>1,即4>2時，函數(shù)/(尤)在區(qū)間［0,1］上遞減，所以f(x)min=/(I)=(1一幻e。

人=—

、a=4,11

第三講函數(shù)、導數(shù)'不等式交匯題型

參考答案

【知識鏈接】

.()()

【解析】

設&X|,/(占)),B(X2,f(x2)),C(X|,g(X|)),。(無2,g(*2))-

對()，從y=2'的圖象可看出，加=砥8>0恒成立，故正確.

對()，直線的斜率可為負，即〃<0,故不正確.

對(),由得/(X)—/(尤2)=g(xJ-g(X2),即/(%)—g(X1)=/(X2)-g(X2)-

令h(x)=/(%)-g(x)=2X-x2-ax,則h\x)=2Jcln2-2x-a.

由"(x)=0得：2'ln2=2x+a,作出y=2'ln2,y=2x+a的圖象知，方程21n2=2x+a不

一定有解，所以力(x)不一定有極值點，即對于任意的，不一定存在不相等的實數(shù)%,當，使得

//(%,)=/?(x2),即不一定存在不相等的實數(shù)%”％2,使得加=〃.故不正確.

對()，由一得/(X1)-/(X2)=g(X2)—g(M)，即/(X|)+g(X］)=/(X2)+g(X2)-

令/?(x)=f(x)+g(x)-2'+x2+ax,貝ijh\x)-2'In2+2x+a.

由h\x)=0得：2”n2=-2x-a,作出y=2'In2,y=—2x-a的圖象知，方程2'In2=-2x-a

必一定有解，所以〃(x)一定有極值點，即對于任意的，一定存在不相等的實數(shù)%,々，使得

//(x.)=h(x2),即一定存在不相等的實數(shù)再,％2，使得〃?=-〃.故正確.

所以()()

【知識建構】

例.()【解】因為/(x)=ax+Z?sinx,所以尸(x)=o+Z?cosx

rg)=a+go=o，/(y)=|--?+-y^=y-^

解得。=11=一2

()【證明】由/'(無)=1-2cos尤=1,得cosx=。

,)7

當天=一萬時cosx=0,此時y=——+2,y2=--+2

TT7T

M=%，所以(一生，—代+2)是直線/與曲線s的一個切點；

37r37r37r

當》=衛(wèi)時，cosx=0,此時y='+2,%=乃+2

37r3兀

M=%，所以(二，二+2)是直線/與曲線s的一個切點；

所以直線/與曲線s相切且至少有兩個切點，故條件滿足；

對VxwR,g(x)-/(x)=(x+2)-(x-2sinx)=2+2sinx>0

所以g(x)N/(x),故條件滿足。

例.解()y(x)=%-lnx,=~

XX

，當0<x<l時，/(x)<0,此時/(X)單調遞減

當0<x<e時，/(X)>0,此時/(x)單調遞增

.??/(幻的極小值為/⑴=1.

o/(X)在極小值為，即/(x)在(0,e］上的最小值為，.?./(x)>OJ(x)min=l

人、，、1Inx1、1-lnx與

令〃(x)=g(x)+7=—+-,/z(x)=—「，①

2x2x

當0cxve時，”(x)>0,h(x)在(0,e)上單調遞增，

e222

???在()的條件下，/(x)>g(x)+g.

(1)假設存在實數(shù)a,使/(X)=ac—lnx,在［o,e］上有最小值，

"/、1ax-\

jM=a——=-----,

xx

①當aWO時，/(x)在(0,e］上單調遞減，f(x)min=f(e)=ae-l=3,

4

。二一(舍去)，所以此時八%)無最小值.

e

②當0<。<，時，/(X)在(0,工)上單調遞減，在上單調遞增，

ea\a

2

/(x)min=/(-)=l+lna=3,a=e滿足條件?

a

③當L"時，/(x)在(0,e］上單調遞減，/(x)min=/(e)=ae—l=3,

4

a=-(舍去)，所以此時/(x)無最小值.

e

綜上，存在實數(shù)a=e2,使得當xe(O,e］時/(x)有最小值

例【解析】()r(x)=a?—3x+a+lf(x)在x=l取得極值/(1)=0即

a-3+a+l=0;.a=l

(II)ax"—3x+a+I—x—a+1即(x~+2)a—x~-2x>0令g(x)=(x~+2)tz-x~—2x

即對任意ae(0,+oo)都成立則g(0)>0即(f+2)?0-d-2x20—2WxW0

例解析：()因「(尤)=73)+8(刈=/+(%—1)/+(無+5)-1,

p'(x)=3x2+2(左一l)x+(2+5),因p(x)在區(qū)間(0,3)上不單咖，所以p'(x)=0在(0,3)上有

實數(shù)解，且無重根，由〃'(x)=0得乂2x+l)=—(3——2X+5),

,(3f—2X+5)3「小八9lOH一，_/,小、，八9

.?/=----——=--\(2x+l)+——--，令At=2x+l有tw(l,7),記做)才+；

則/《)在(1,3］上單調遞減，在［3,7)上單調遞增，所以有〃⑺?6,10),于是

Q

(2x+l)+^-j-e［6,10),得5,-2］,而當我=—2時有p'(x)=0在(0,3)上有兩個相等

的實根x=l,故舍去，所以女€(—5,—2)；

()當x<0時有q'(x)=/z(x)=3x2-2(k2-k+T)x+5；

當x＞0時有q'(x)=g'(x)=2%2x+Z,因為當Z=0時不合題意，因此上WO,

下面討論左的情形，記=伏,+8),(5,+x)(i)當玉＞0時，q'(x)在(0,+?)上單調遞增,

所以要使4'(％2)=/(看)成立，只能々＜0且AqB,因此有人》5,(ii)當王＜0時，q\x)

在(0,+8)上單調遞減，所以要使q'(w)=/(xj成立，只能々＞0且A=因此攵W5,綜

合(i)(ii)k=5；

當左=5時，則V玉＜0,q'(xJe3=A,即切＞0,使得/(&)=/(%)成立，因為q'(x)在

(0,+。。)上單調遞增，所以々的值是唯一的；

同理，Vx,＜0,即存在唯一的非零實數(shù)々(々力玉)，要使/(%2)=/(芯)成立，所以k=5滿

足題意.

/z(x)=x2-8x+61nx+/n,

2

例解析：，，/、c。62X-8X+62(X-1)(X-3)Z小

:.h'(x)=2x-8+—=-=———-----(x>0),

XXX

當(0,1)時，"(x)＞0,〃(x)是增函數(shù);

當xw(l,3)時，〃'(x)<0,〃(x)是減函數(shù);

當XG(3,+8)時，〃'(x)>0,〃(x)是增函數(shù);

當x=l,或x=3時，h\x)=O.

???人(x)極大值==1)==一7,/i(x)極小值==3)==+61n3-15.

當x充分接近時，餌幻＜0,當無充分大時，A(x)＞0.

.??要使/z(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須

心)極大值=加一7＞0,

即7(加<15—61n3.

以無)極小值=w+61n3-15＜0,

所以存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點,

m的取值范圍為(7,15—61n3).

3

例解.(1)/'(I)3+2tz=>a而/''(無)6x+2a=6x—3,

當xe(g,+8)時，/"(x)>0成立，

故f(x)=x3+ax2+b在(g,+oo)上為下凸函數(shù)；

⑵.任取X],/e(g,+oo),則)[/區(qū))+f(x2)]-2/(*；空)

=xj―萬%-+8+/3一二馬~+A—2(■X+元2)33盧+—)2+b

222

3

—+%2—1)(王一X2廠920

即([/□)+/5)]

【學習診斷】

.選.(2,+oo).

【鞏固練習】

?(^X),-l)U(|,-K?).()

.()依題意,^f\x)=x2+2ax+b

由/，(-1)=1-2。+。=0得匕=24—1

(II)由()得/(x)=+6rx2+(2。一])》(

故f(x)—x~+2ax+2a—1—(x+l)(x+2a—1)

令/'(x)=0，則x=-l或x=l-2a

①當a＞l時，1一2。＜一1

當x變化時，/'(x)與/(x)的變化情況如下表:

(-oo,1—2Q)(一2a,-l)(-1+00)

X

f\x)

一

fM

單調遞增單調遞減單調遞增

由此得，函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間為(一00,1—2。)和(一1,+8),單調減區(qū)間為(1一2。，一1)

②由。=1時，1-2。=一1,此時，/'(x)20恒成立，且僅在x=—1處/'(x)=0,故函數(shù)/(x)

的單調區(qū)間為

③當。＜1時，1-2。＞一1,同理可得函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間為(一8,—1)和(1一2。,+8),單調

減區(qū)間為(一1,1一2。)

綜上：當a＞1時，函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間為(—8,1-2a)和(一1,+8),單調減區(qū)間為(1一2區(qū)-1)；

當。=1時，函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間為:

當”<1時，函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間為(3,—1)和(1—2a,+oo),單調減區(qū)間為(—1,1—2a)

(III)解法一：當。=一1時，得f(x)=—三一%2一3%

由/'(x)=d-2%_3=0,得玉=_1,々=3

由(H)得/(乃的單調增區(qū)間為(一8,-1)和(3,+00),單調減區(qū)間為(T,3)

所以函數(shù)/(x)在玉=一1±=3處取得極值。

故M(-1,*).N(3,-9)

3

Q

所以直線MN的方程為y=-jx-

y=_x_x"_3x

WX3-3X2-X+3=O

令F(x)=x3-3x2-x+3

易得E(0)=3>0,F(2)=-3<0,而尸(x)的圖像在(0,2)內是一條連續(xù)不斷的曲線，

故尸(x)在(0,2)內存在零點%,這表明線段MN與曲線/(%)有異于M,N的公共點

解法二：當。=-1時，得f(x)--x3-x2-3x,由/［力=x2-2x-3=0，得％=-1,%2=3

由(H)得/(幻的單調增區(qū)間為(7,-1)和(3,+8),單調減區(qū)間為(一1,3),所以函數(shù)/(x)在

西=-1,/=3處取得極值，

故M(—1,|),N(3,—9)

Q

所以直線MN的方程為y=-十—1

得/_3%2_》+3=0

=——X-

解得％=-1,x2=l.x3=3

==

X,1-1Xj1rg

2x3=3

?〈八

Iy=G5，%=_1不151%=-9

、JIJ

所以線段MN與曲線/（x）有異于M,N的公共點（1,-，）

.解：（1）函數(shù)/（x）的定義域為（0,+8）,因為尸（的=：_〃_寧=二"、彳:+匕I

所以當。=。時，/'（?=二，令r（用=2?>0得％>i,所以此時函數(shù)/（X）在（1,+oo）±

是增函數(shù)，在（0,1）是減函數(shù)；

1-r24-2X4--1-（X-]}2

當。=士時，f\x）=--------y——=--2—<0,所以此時函數(shù)/（X）在（0,+8）是減函數(shù);

當0<。<，時，令/'3=一渥+：+°-1>0,解得1<XJ—1,此時函數(shù)f（x）在（1」—1）

2xa\a）

是增函數(shù)，在（0,1）和（L—1,+00）上是減函數(shù)；

a

當，<a<i,4f\x）=+x+a>0,解得L—l<x<l,此時函數(shù)/（處在1,1]

2xaya）

是增函數(shù)，在（O,，一1）和（1,物）上是減函數(shù)；

a

當由于工一1<0,,令/'（》）=_"『+'：+'Ll〉0,解得O<X<1,此時函數(shù)/（X）在

ax

（0,1）是增函數(shù)，在（L+o。）上是減函數(shù).

（II）（/）當時，f（x）在（，）上是減函數(shù)，在（，）上是增函數(shù)，所以對任意為e（0,2）,

4

有f（X1）Nf（l）=-；,又已知存在七?1,2],使/（%）ig（X2），所以一

9

即存在xe[l,2],使g（x）=f-2法+4?—g,BP2^>x2+1,即2》2x+2g,

171717

所以2力21,解得人之至，即實數(shù)Z?取值范圍是[可,+8）.

（"）不妨設1<占4/42,由函數(shù)/（x）在（1,2]上是增函數(shù)，函數(shù)y=，在（1,2]是減函

X

數(shù),

\f(xi)—f(x,)|<A,------等價于/(七)-/(與)42(-------).所以/(工2)+彳一4/(王)+2—

%]X2X1x29x,

設/j(x)=/'(x)+Z=lnx-1x+<-+2是減函數(shù)，

x44xx

R111

所以“(x)NO在(1,2]上恒成立，即巳+幾之x—上f=—±(X-2)2+1,解得；IN

4444

第四講數(shù)列一

參考答案

【知識鏈接】

.；2"1——；.&=10；.；.

2

【知識建構】

例.【解析】()設｛aj的公比為g,則仇=l+a=2,b2=2+aq=2+q,

22

b3=3+aq=3+q,由仇,b2,打成等比數(shù)列得(2+q)?=2(3+/),

即q2-4q+2=0,解得/=2+拒，q2=2-42

所以｛七｝的通項公式為=(2+收)"T或an=(2-何t.

()設｛%｝的公比為q,則由(2+aq)2=(1+4)(3+四2),得-4aq+3a-l=0(*)

由4〉0得△=4。2+4。＞0,故方程（*）有兩個不同的實根.

由｛4｝唯一，知方程（*）必有一根為，代入（*）得。=；.

2

例.【解析】（I）由已知，an=aq"-',因此岳="，S,=a（\+q+q）,S&=a（l+q+d+/）.

當加、S?、S&成等差數(shù)列時，SI+54=2S,,可得aq=aq+aqz.

化簡得/-q-l=0.解得4=丹6.

（H）若q=1,則｛g｝的每項a?=a,此時am+k、j、aM顯然成等差數(shù)列.

若尸1,由題意S“、S“、S,成等差數(shù)列可得S?,+Sj=2,,即

〃（4一1）a（勺1）dl-q

-------1--------=---------.

q—1q~1~€[1

mkmn+k

整理得q+q'=2g".因此，am+k+al+k=aq-\q+q'）=2aq-'=24M.

所以，4+*、%+*、q+*也成等差數(shù)列?

例.【解析】（）設公差為d,則-a；—《，從而-3d（%+13）="（。4+%），因

7x6一

為dwO,所以。4+%=。，即26+54=0,又由S?=7得7%+—^~d=7,解得

所以他J?的通項公式為Q*=2八一7,前冏項和用=/一6冏。

q=-5,d=2,

()綺皿⑵~7)(24-5)，設2m_3=t,

方法-：a'"+2?吁3

則強如(-4)”2)=/+§_6,所以，為的約數(shù)

。,“+2tt

因為土是奇數(shù),所以方可取的值為±1,

當1=1,沼=2時，￡+；-6=3,2*5—7=3,是數(shù)列｛%｝?中的項；

當f=-1,m=l時，￡+一一6=75,數(shù)列｛%｝中的最小項是一5,不符合.

所以滿足條件的正整數(shù)m=2.

方法二：因為馬心曲=(%+2-4)(%+2-2)=a,/?一6+為數(shù)列｛4｝中的項,

,,+2?m+2-%+2

Q

故——為整數(shù)，又由()知：a,“+2為奇數(shù)，所以%+2=2加—3=±1,即機=1,2

am+2

經檢驗，符合題意的正整數(shù)只有加=2.

例.【解析】()依題意可設第一行公差為d,各列公比為g(q>0),

a

fl24=i^=(?!1+3</)9=1

21即得q=d=7；

?=a\A2=(a+d)q=-2

｛32il

iik

。％?=%|+(4—1時=彳+僅-1)不=不；

八,〃/1〃、?(?+1)

()A,=a11+<z12+a13++a1),=-(-+-)=--一

【學習診斷】

.();()

?,

2

]

-4=(c「c"c；；)17^：

?()a?=2n-12；()5?=4(1-3").

【鞏固練習】

.8

.()h?=5-2"-3；()略.

ZX1/X2〃

.()a=—；()-----.

〃n3"72+1

.()數(shù)列{&}的前項為:、、、、；

第五講數(shù)列二

【知識鏈接】

2,n-1

2n-\,n>2,neN

-1)x4-?

【知識建構】

例.【解析】（）因三點M,4,3,共線，即?！?2+2（〃一1）,故數(shù)列｛%｝的通項公式為4=2〃.

（）由題意，％=8-4"3=22"3,又4fa,=〃（2；2〃）=〃（〃+］）

a}b]\a2b?+...+。也

.從a{b{+a2b2+…+anbH=n(n+1)(2〃-3).

當〃22時，anhn-n(n+1)(2/?-3)-(/?-l)/?(2n-5)=〃(6〃—8).

當〃=1時，a/T=—2也適合上式.

anhn=〃(6〃-8).因?！?2n從而hn=3H-4(〃eN*).

b-b

???任意兩點Pn,P“_i的斜率k=j—T-=3(〃22,〃eN*)為常數(shù).

n-(n-1)

故點列6（1,4）,g（2,打）女）在同一條直線上.

例.【解析】（）法一：由已知鳳+|=",，可得%+2=""+|,兩式相減可得

4+2-4川=「（Em-S"）=ran+l,

%+2=(7+1)4+1，

即

又名=ra\~ra,

所以時,

數(shù)列僅"｝為：，，??

當時，由已知所以生力0（〃eN*）,

_吐=r+l(〃eN")

于是由“〃+2=(〃+1)?！?1，可得?！?1

電，/，，q,+成等比數(shù)列,

.,.當門22時-%=r(r+l)”2a

a,n-1

綜上,數(shù)列的通項公式為=?

r(r+1)n-2a,n>2

C

法二:由a,+i=rS”可得S“M—S”=與"即3=「+1,從而S“=a(r+1)"T,再進一步可

S”

S[,n=\

根據a“=<*得到凡.

[s,fT，n>2,neNf

（）對于任意的meN”,且“22,。,“+|,%,區(qū)“+2成等差數(shù)列，證明如下:

a,n=1,

4=

當時，由（）知，0,H>2

m

對于任意的eN*,且加之幺am+i,am,am+2成等差數(shù)列,

當r00,廣。一1時,

S&+2=SR+%++%+2,Sk+l+aM.

若存在keN",使得S?+i，5,Sk+2成等差數(shù)列,

則Sk+i+S&+2=2Sk,

??2sA+2%+i+4+2=2sA,即4+2=一24+],

由（）知，生，。3，'%〃，的公比"+1=-2,于是

對于任意的mwN*,且加22,%+]=-2a,“，從而a,“+2=4atn,

??am+l+am+2~2am?即%+1，4">"M+2成等差數(shù)列，

綜上，對于任意的meN*,且加上2,4用成等差數(shù)列。

22

例.【解析】()bn=an+n,an=b?-n~,a,,^=bn^-(o-l)

將上兩式代入an=2a“t+川-4〃+2,整理化簡得

%=2勿(〃22).

由4=2。+1得％=4。，82=4+4=4a+4.

?/aw-1,人2。0.

即也/從第項起是以為公比的等比數(shù)列.

()法一：S'=a+(4"K-k-3…+(2"2)2”

S_(2a+2)2"-3a-4_2+3a+4

當“22時,n

S?_,一(2a+2)2"“一3a—4-(a+1)2“—3a—4

是等比數(shù)列；.&(〃22)是常數(shù)3a+4=0即。=一3

S“T3

法二：由｛，｝是等比數(shù)列可得其前三項成等比數(shù)列，即S；=S/S3,從而得到關于。的方程，求

出a后注意驗證｛S,J是等比數(shù)列.

()由()知當時，=(4a+4)2"-2=(。+1)2"

2Q+1,n=l

”[(4+1)2"-〃2,n>2

/.n>2,an+}-an=(a+1)2〃一(2〃+1)

???〃23時，有2">2/1+1

〃23時，?！?]>an.

顯然最小項是前三項中的一項.

當ae(O,,)時，最小項為8a一1；當。=，時，最小項為4a或8a—1；

44

當時，最小項為4a：當。=>!■時，最小項為4a或24+1；

422

當ae(g,+8)時，最小項為2a+l.

【學習診斷】

.()an=a}-y-'(neN")；

()存在,4=-2.

?()?！?2一〃；()S〃=/,

.()4=1」：()略.

n

【鞏固練習】

.n+(〃+1)+(〃+2)++(3n-2)=(2〃—I)2.

?()

e-el~n

()

e-1

.Oa〃n++li=-2a〃?+3-;()略；

----,〃=2Z+LkeN

.()略；()q,=<2、

n~

—,n=2k,kwN

2

()略.

第六講三角函數(shù)的圖象和性質參考答案

【知識鏈接】

.6\MN\=\sina-cosa\=y/2sin(a-7),求出最大值即可.

.fM=(1+A/3tancosx=cosx+V3sinx=2sin(x+—)(其中+工MEZ)

62

結合定義域可得最小正周期為2%.

.函數(shù)y=3cos,0|中心對稱

.?.2.9+9=左乃+工，°=/：萬一史(攵€2)由此易得|0|?1而=三

3266

-f(x)…叵Isin(2^yx-^)--(其中ta^n=—且

2222

由w」

1

),由---=—,得69=2,及〃>0,得P=6

2692222

TT\

/(x)=sin(4x--)--

.—r/、.7CTCTC.7CT7C1正sinB-九。S71T

.解：/(x)sin—xcos----cos—xsin-----cos—x

464642424

M5-令

解法一：在>=g(x)的圖象上任取一點(x,g(x)),它關于尤=1的對稱點Q-x,g(x)).

由題設條件，點(2-再g(x))在y=/(x)的圖象上，從而

^(-^)=/(2-x)=V3sin［^(2-x)-y］V3sin［y-x-y］73cos(-^x+y)

37T7T27r4

當0"久時，y<^X+y<y,因此y=g(x)在區(qū)間［0,學上的最大值為

^max=V3COSy=—

4?

解法二：因區(qū)間［0,1關于x=l的對稱區(qū)間為勺,2］,且y=g(x)與y=/(x)的圖象關于

42

x=1對稱，故y=g(x)在［0,-］上的最大值為y=/(x)在2］上的最大值

由(I)知/(x)uGsingx-?)

當2?xK2時，一至V生—工〈工

36436

因此y=g(x)在［0,3上的最大值為gm”=Gsin￡=g.

命題意圖：在知識的交匯處出題，一方面考察了三角函數(shù)的周期、最值，另一方面綜合了函數(shù)的

對稱性的運用.

【知識建構】

_72

,2

2萬

.【答案】()(7，1)()r<0

【解析】