備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題07數(shù)列含解析

易錯(cuò)點(diǎn)07數(shù)列—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題【典例分析】例1（2024年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．【答案】【解析】【分析】首先推斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而推斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)潔題目.例2（2024年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）已知公比大于的等比數(shù)列滿意．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由于，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè).所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查分析思索與解決問的實(shí)力，屬于中檔題.【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)點(diǎn)1．已知求時(shí),易忽視致錯(cuò)．【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n＋1，求的通項(xiàng)公式．【錯(cuò)解】an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n＋1－eq\f(1,2)(n－1)2－eq\f(1,2)(n－1)－1＝n，所以．【錯(cuò)因】成立的條件是，當(dāng)要單獨(dú)驗(yàn)證．【正解】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n＋1－eq\f(1,2)(n－1)2－eq\f(1,2)(n－1)－1＝n.當(dāng)n＝1時(shí)不符合上式，所以．易錯(cuò)點(diǎn)2．利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，忽視公比致錯(cuò)．【例2】求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【錯(cuò)解】由于，兩式相減得=.【錯(cuò)因】上述解法只適合的情形．事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，【正解】．易錯(cuò)點(diǎn)3．忽視數(shù)列與函數(shù)的區(qū)新穎錯(cuò)．【例3】已知函數(shù)，數(shù)列滿意（），且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是_______．【錯(cuò)解】由題有，得．【錯(cuò)因】忽視數(shù)列與函數(shù)的區(qū)新穎錯(cuò)，事實(shí)上，數(shù)列是一串離散的點(diǎn)，不能干脆將帶入到分段函數(shù)的兩個(gè)部分進(jìn)行比較【正解】由題有，得．【例4】已知數(shù)列在是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【錯(cuò)解】依題意，，解得，所以的取值范圍是．【錯(cuò)因】數(shù)列的定義域是全體的正整數(shù)，不是實(shí)數(shù)，所以不能依據(jù)函數(shù)的處理方法．【正解】依題意，，即，得易錯(cuò)點(diǎn)4．?dāng)?shù)列的定義域是全體的正整數(shù)．【例5】已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則的最大值是________．【錯(cuò)解】由題意，，，當(dāng)時(shí)，的最大，最大值是為．【錯(cuò)因】數(shù)列的自變量是正整數(shù)，不能取非正數(shù)．【正解】方法1：由題意，，，當(dāng)時(shí)，離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近，所以的最大值是為．方法2：令，解得，即前4項(xiàng)為正數(shù)，后面項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所以的最大值為．易錯(cuò)點(diǎn)5．亂用結(jié)論致錯(cuò)．【例6】已知等差數(shù)列的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和分別為，若，求．【錯(cuò)解】因?yàn)椋?，，所以．【錯(cuò)因】以為為等差數(shù)列，則也是為等差數(shù)列致錯(cuò)．【正解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，，，所以是公差為的等差數(shù)列，所以．即，．易錯(cuò)點(diǎn)6．亂設(shè)常量致錯(cuò)．【例7】數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，且，則_______【錯(cuò)解】，則，，所以．【錯(cuò)因】從可知，比值=:隨著項(xiàng)數(shù)的改變而改變，不能設(shè)為常數(shù)，這里忽視了項(xiàng)數(shù)的可變性而致錯(cuò)．【正解】設(shè)，則，，其中，．所以4:3．易錯(cuò)點(diǎn)7．用歸納代替證明致錯(cuò)．【例8】已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，其中q>0，，若成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；【錯(cuò)解】依題意，解得，因?yàn)?，所以是一個(gè)等比數(shù)列，所以.【錯(cuò)因】由前3項(xiàng)成等比數(shù)列，就認(rèn)為數(shù)列為等比數(shù)列．【正解】由已知，兩式相減得到.又由得到，故對(duì)全部都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等比數(shù)列，可得，即，則，由已知,，故.所以.易錯(cuò)點(diǎn)8．?dāng)?shù)列加肯定值后，認(rèn)為其還是等差數(shù)列．【例9】在等差數(shù)列中，，記，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.【錯(cuò)解】依題意，也是等差數(shù)列，，，所以．【錯(cuò)因】這里易錯(cuò)點(diǎn)是也為等差數(shù)列，而解題的關(guān)鍵是肯定值號(hào)內(nèi)的的正負(fù)號(hào)進(jìn)行探討，當(dāng)時(shí)，時(shí)，【正解】=755．易錯(cuò)點(diǎn)9．運(yùn)用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，弄錯(cuò)首項(xiàng)致錯(cuò)．【例10】已知數(shù)列{an}滿意，，求的通項(xiàng)公式．【錯(cuò)解】， 是以2為公比的等比數(shù)列．【錯(cuò)因】新數(shù)列的首項(xiàng)是，不是．【正解】， 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列即【變式練習(xí)】1．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長(zhǎng)為（）A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸【答案】B【解析】由題知各節(jié)氣日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，設(shè)為，是其前項(xiàng)和，則尺，所以尺，由題知，所以，所以公差，所以尺。故選:B.2．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從其次個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則故選D.3．在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人馬虎大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請(qǐng)問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧?xí)r馬虎大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主子扣住牛、馬、羊向其主子要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主子同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主子應(yīng)當(dāng)分別向青苗主子賠償多少升糧食？（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.4．《張丘建算經(jīng)》是公元5世紀(jì)中國(guó)古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，書中卷上其次十三問：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈.問半月積幾何？”其意思為“有個(gè)女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織五尺，一個(gè)月(按30天計(jì))共織布9匹3丈.問：前半個(gè)月(按15天計(jì))共織多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半個(gè)月一共織的布約有（）A．195尺 B．133尺 C．130尺 D．135尺【答案】B【解析】9匹3丈為390尺，每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，首項(xiàng)，記公差為，，，．故選：B5.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S5＝25，a3＋a4＝8，則{an}的公差為________.【答案】－2【解析】依題意，可得S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5×2a3,2)＝25，解得a3＝5，又a3＋a4＝8，所以a4＝3，所以公差d＝a4－a3＝3－5＝－2.6.已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1＝b1，a11＝b11.那么肯定有()A.a6≤b6B.a6≥b6C.a12≤b12D.a12≥b12【答案】B解析因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1＝b1，a11＝b11，所以a1＋a11＝b1＋b11＝2a6，所以a6＝eq\f(a1＋a11,2)＝eq\f(b1＋b11,2)≥eq\r(b1b11)＝b6.當(dāng)且僅當(dāng)b1＝b11時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)數(shù)列{bn}的公比為1.7.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋(－1)n，則a2018的值為________.【答案】2017×1009【解析】an＋1－an＝n＋(－1)n，a2018－a2017＝2017＋(－1)，a2017－a2016＝2016＋1，a2016－a2015＝2015＋(－1)，a2015－a2014＝2014＋1，…，a3－a2＝2＋1，a2－a1＝1＋(－1)，將以上式子相加得a2018－a1＝2017＋2016＋…＋2，即a2018＝2017＋2016＋…＋2＋1＝eq\f(2017×1＋2017,2)＝2017×1009.8.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－2017，x≥2019，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m,2018)＋1))x－2020，x<2019，))數(shù)列{an}滿意：an＝f(n)，n∈N*，且{an}是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【答案】(2，＋∞)【解析】因?yàn)閍n＝f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn－2017，n≥2019，n∈N*，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m,2018)＋1))n－2020，n<2019，n∈N*，))且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得m>1，依據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可得eq\f(3m,2018)＋1>0，由分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m,2018)＋1))×2018－2020<m2019－2017，綜合三種狀況解得m>2.9.若數(shù)列{bn}滿意：eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(bn,2n)＝2n(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為________.【答案】2n＋2－4【解析】數(shù)列{bn}滿意eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(bn,2n)＝2n(n∈N*)，可得當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(bn－1,2n－1)＝2(n－1)(n∈N*)，可得eq\f(bn,2n)＝2n－2(n－1)＝2，所以bn＝2n＋1(n≥2).當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝4，滿意bn＝2n＋1，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n＋1(n∈N*).所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為2.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(41－2n,1－2)＝2n＋2－4.10.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿意a1＝1，a2a6＋a3a5＝128，則下列結(jié)論正確的是________.A.?n∈N*，Sn>an＋1B.?n∈N*，anan＋1≥an＋2C.?n∈N*，an＋an＋2＝2an＋1D.?n∈N*，an＋an＋3>an＋1＋an＋2【答案】D【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}滿意a2a6＋a3a5＝128，即(a4)2＋(a4)2＝128，解得a4＝±8，又等比數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以a4＝8，由a1＝1，則q3＝eq\f(a4,a1)＝8，解得q＝2，對(duì)于A，Sn>an＋1，有Sn＝eq\f(1×1－2n,1－2)＝2n－1，an＋1＝2n，有Sn<an＋1，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，anan＋1＝2n－12n＝22n－1，an＋2＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，anan＋1<an＋2，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，an＋an＋2＝2n－1＋2n＋1,2an＋1＝2n＋1，若an＋an＋2＝2an＋1，則2n－1＋2n＋1＝2n＋1，明顯不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，an＋an＋3＝2n－1＋2n＋2＝2n－1(1＋8)＝9×2n－1，an＋1＋an＋2＝2n＋2n＋1＝2n－1(2＋4)＝6×2n－1，必有an＋an＋3>an＋1＋an＋2，D正確.11.已知x2＋y2＝4，在這兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為________.【答案】eq\f(3,2)eq\r(10)【解析】因?yàn)樵趯?shí)數(shù)x，y之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，所以設(shè)中間三項(xiàng)為a，b，c，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b＝x＋y，所以b＝eq\f(x＋y,2)，同理可得c＝eq\f(x＋3y,4)，所以后三項(xiàng)的和為b＋c＋y＝eq\f(x＋y,2)＋eq\f(x＋3y,4)＋y＝eq\f(3x＋9y,4)，又因?yàn)閤2＋y2＝4，所以可令x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以eq\f(3x＋9y,4)＝eq\f(3,2)(cosθ＋3sinθ)＝eq\f(3\r(10),2)sin(θ＋φ)≤eq\f(3\r(10),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(1,3))).12.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝9，a2為整數(shù)，且Sn≤S5，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an·an＋1)))的前n項(xiàng)和的最大值為________.【答案】eq\f(4,9)【解析】由a1＝9，a2為整數(shù)，可知等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù).∵Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0，則9＋4d≥0,9＋5d≤0，解得－eq\f(9,4)≤d≤－eq\f(9,5)，∴d＝－2，∴an＝9－2(n－1)＝11－2n.∴eq\f(1,an·an＋1)＝eq\f(1,11－2n9－2n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9－2n)－\f(1,11－2n)))，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an·an＋1)))的前n項(xiàng)和為eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,9)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9－2n)－\f(1,11－2n)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9－2n)－\f(1,9))).令bn＝eq\f(1,9－2n)，易知0<b1<b2<b3<b4，b5<b6<b7<…<0，∴bn≤b4＝1，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9－2n)－\f(1,9)))的最大值為eq\f(4,9).【真題演練】1．【2024年高考全國(guó)II卷理數(shù)】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、其次層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)潔題.2．【2024年高考北京】在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，留意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問題，分類探討的數(shù)學(xué)思想等學(xué)問，屬于中等題.3．【2024年高考浙江】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差，且．記，，，下列等式不行能成立的是A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以依據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．依據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．【2024年高考浙江】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等探討過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的前3項(xiàng)和是_______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以．即．故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于簡(jiǎn)潔題．5．【2024年高考江蘇】設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是▲．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過對(duì)比系數(shù)可知，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.6．【2024年高考山東】將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)潔題目.7．【2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得即.所以解得（舍去），.故的公比為.（2）設(shè)為的前n項(xiàng)和.由（1）及題設(shè)可得，.所以，.可得所以.8．【2024年高考全國(guó)III卷理數(shù)】設(shè)數(shù)列{an}滿意a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【解析】（1）猜想由已知可得，，…….因?yàn)?，所以?）由（1）得，所以.①從而.②得，所以9．【2024年高考江蘇】已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．【解析】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，也即，此式對(duì)一切正整數(shù)n均成立．若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列沖突．所以．（此時(shí)，隨意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）（2）因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，所以，即．因?yàn)椋?，則．令，則，即．解得，即，也即，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．因?yàn)?，所以．則（3）設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，則，即．因?yàn)?，而，所以，則．令，則，即．（*）①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個(gè)．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）②若，則（*）化為，因?yàn)?，所以，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個(gè)．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）③若，則的兩根分別在（0，1）與（1，+∞）內(nèi)，則方程（*）有兩個(gè)大于或等于1的解：其中一個(gè)為1，另一個(gè)大于1（記此解為t）．所以或．由于數(shù)列從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列有多數(shù)多個(gè)，則對(duì)應(yīng)的有多數(shù)多個(gè)．綜上所述，能存在三個(gè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，的取值范圍是．10．【2024年高考山東】已知公比大于的等比數(shù)列滿意．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)的公比為．由題設(shè)得，．解得（舍去），．由題設(shè)得．所以的通項(xiàng)公式為．（2）由題設(shè)及（1）知，且當(dāng)時(shí)，．所以．11．【2024年高考天津】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)隨意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得，從而的通項(xiàng)公式為．由，又，可得，解得，從而的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，故，，從而，所以．（Ⅲ）解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．對(duì)隨意的正整數(shù)，有，和．①由①得．②由①②得，從而得．因此，．所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為．12．【2024年高考浙江】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿意．（Ⅰ）若{bn}為等比數(shù)列，公比，且，求q的值及數(shù)列{a