2022年廣東省東莞市中考數(shù)學壓軸題模擬及答案解析

2022年廣東省東莞市中考數(shù)學壓軸題模擬

1.在平面直角坐標系X。），中，過點N（6,-1）的兩條直線/i,12,與x軸正半軸分別交于

M、B兩點,與y軸分別交于點。、A兩點，已知。點坐標為（0,1）,A在），軸負半軸，

以AN為直徑畫OP,與y軸的另一個交點為F.

（1）求M點坐標；

（2）如圖1,若。P經(jīng)過點M.

①判斷OP與工軸的位置關系，并說明理由；②求弦Ab的長；

（3）如圖2,若。尸與直線A的另一個交點E在線段QM上，求VI5NE+4F的值.

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2.已知矩形4BCO中，A8=2,八。=5,點E是A。邊上一動點，連接BE、CE,以BE為

直徑作。。交BC于點凡過點尸作尸H_LCE于H

(1)當直線產(chǎn)”與。。相切時，求AE的長；

(2)當"/〃BE時，求4￡的長；

(3)若線段尸H交。。于點G,在點E運動過程中，△OPG能否成為等腰直角三角形？

如果能，求出此時4E的長；如果不能，說明理由.

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3.等邊三角形ABC內(nèi)接于0O,點。在弧AC上，連接A。、CD、BD.

(1)如圖1,求證3。平分NADC：

(2)如圖2,若NOBC=15°,求證：AD：AC=a：V3；

(3)如圖3,若AC、BO交于點E,連接OE,且0￡=2近，若8O=3CD,求4。的長.

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4.如圖，點A是直線y=H(A>0)上一點，且在第一象限，點B,C分別是x,y正半軸

上的點，且滿足NBAC=90°

(1)如圖1,當2=1時，求證：AB=AC,

(2)如圖2,記NAOB=a,

①根據(jù)所學，不難得到tana=,(用含攵的式子表示)；

②若&=G，求/的值；

⑶如圖3,若k=)，連接BC,OA.LBC,已知拋物線y=o?+以+c經(jīng)過。，A,B三

4

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5.如圖1,已知拋物線），=-f+bx+c與一直線相交于A（-1,0),C(2,3)兩點，與y

軸交于點E，其頂點為￡>.

（1）分別求拋物線、直線AC的函數(shù)關系式；

（2）設點”為直線AC上一個動點，求MQ+ME的最小值;

（3）如圖2,AACD,一直線平行于AO,交邊AC于點M、交邊CO于點M使得4M

=CN.求點M的坐標.

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6.己知二次函數(shù)/i：、=』+6丫+5%和，2：y=h?+bkx+5k,其中2Ho且2H1.

（1）分別直接寫出關于二次函數(shù)/1和h的對稱軸及與尸軸的交點坐標,

（2）若兩條拋物線h和/2相交于點E,F,當人的值發(fā)生變化時，判斷線段石尸的長度

是否發(fā)生變化，并說明理由；

（3）在（2）中，若二次函數(shù)八的頂點為M,二次函數(shù)/2的頂點為N；

①當&為何值時，點M與點N關于直線所對稱？

②是否存在實數(shù)h使得MN=2ER若存在，求出實數(shù)2的值，若不存在，請說明理由.

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7.已知，如圖，等腰直角三角形ABC,NA=90°,AB=AC,”是8C上中點，尸是射線

AH上一點.

(1)如圖1,當尸在線段AH上時，求證：ZABF=AACFx

(2)如圖2,4r在AH的延長線上時，E是AB上一點,連接￡尸，EC,若BF=FE,求

NFEC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，點G在AC上，連接BG,若NECG=2NGBC,AE=5^2,AG

=4或，求CP的長.

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8.如圖①，在長方形ABCD中，AB=10cm,BC=Scmf點P從A出發(fā)，沿A-B-C-。

路線運動，到D停止；點P出發(fā)時的速度為每秒Icm,〃秒時點P的速度變?yōu)槊棵隻cm,

圖②是點尸出發(fā)x秒后，△APO的面積S(,cm2)與x(s)的函數(shù)關系圖象.

(1)根據(jù)題目中提供的信息，求出圖②中a,b,。的值；

(2)設點P運動的路程為y(c/n).

①7s時，y的值為cm；

②請寫出當點P改變速度后，y與x的函數(shù)關系式；

(3)當點尸出發(fā)后幾秒時，AAP。的面積S是長方形ABCO面積的2？

4

9.已知四邊形ABC。中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,N4BC=120°,NMBN=6(T,

NMBN繞B點、旋轉,它的兩邊分別交40,OC(或它們的延長線)于E,F.

(1)當NMBN繞8點旋轉到AE=C戶時(如圖1),求證：AE+CF=EF；

(2)當NM8N繞B點旋轉到AEWCF時，在圖2這種情況下，上述結論是否成立？若

成立，請給予證明；若不成立，線段AE,CF,七產(chǎn)又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜

想，并證明.

(3)當/MBN繞B點繼續(xù)旋轉到圖3位置時，AE=10,CF=2.求EF的長

10.如圖，四邊形OA8C中，BC//AO,A(4,0),B(3,4),C(0,4).點“從。出發(fā)

以每秒2個單位長度的速度向A運動；點N從8同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度

向C運動.其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動.過點N作NP垂直

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x軸于點P,連接AC交N尸于Q,連接MQ.

（1）當，為何值時，四邊形BVMP為平行四邊形？

（2）設四邊形8N41的面積為y,求y與，之間的函數(shù)關系式.

（3）是否存在點M,使得△40M為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在,

請說明理由.

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11.綜合與實踐

操作發(fā)現(xiàn)：

已知點尸為正方形A3CO的邊A?；?上的一個動點（點A,D,C除外），作射線BP,

作4EJ_8P于點E,CF上BP于點F.

（1）如圖1,當點尸在。。上（點C,。除外）運動時，直接寫出線段AE,CF,所間

的數(shù)量關系.

（2）如圖2,當點尸在A。上（點A,O除外）運動時，線段A￡CF,￡產(chǎn)又有怎樣的

數(shù)量關系？寫出結論并說明理由.

拓廣探索：

（3）如圖3,若點P為矩形A8CO的邊C。上（點C,。除外）一點，其它條件不變，

已知48=6,BC=8,8P=4百，求AE的長.

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12.閱讀下列材料：如圖①，在四邊形A8CO中，若A8=A。，BC=CD,則把這樣的四邊

形稱為箏形.

(1)寫出箏形的兩個性質(zhì)(定義除外)：

①；②.

(2)如圖②，在平行四邊形A8CO中，點E、尸分別在BC、CO上，且4E=AF,ZAEC

=NAFC.求證：四邊形AEC尸是箏形.

(3)如圖③，在箏形ABC。中，AB=AD=\5,BC=DC=\3,4c=14,求箏形4BCO

的面積.

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13.如圖，拋物線y=f+bx+c經(jīng)過點A(-3,12)、B(3,0).

(1)求b、c的值；

(2)如圖1,點O是直線下方拋物線上一點，過點。作)，軸的平行線交A8于點N,

求ON的最大值；

(3)如圖2,若P是)，軸上一點，連以、分別交拋物線于點E、F,探究EF與AB

的位置關系，并說明理由.

14.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)尸歷;+3的圖象經(jīng)過點例(|-ni,〃)，點N(〃z+1

〃)，交y軸于點4.

(1)求“，力滿足的關系式；

(2)若拋物線上始終存在不重合的P,。兩點(尸在。的左邊)關于原點對稱.

①求〃的取值范圍；

9

-

②若點A,P,。三點到直線/：y=4+方的距離相等，求線段PQ長.

15.如圖，在平面直角坐標系中，直線)，=2%+4與x軸交于點4,與)，軸交于點8,過點8

的另一條直線交x軸正半軸于點C,且。。=3.

(1)求直線8C的解析式；

(2)如圖1,若M為線段8C上一點，且滿足SAAMB=SA/U>8,請求出點M的坐標；

(3)如圖2,設點尸為線段力8中點，點G為y軸上一動點，連接尸G,以FG為邊向

尸G右側作正方形/GQP,在G點的運動過程中，當頂點。落在直線BC上時，求點G

的坐標.

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16.如圖1,在平面直角坐標系中.已知宜線/：與x軸交于點A,與y軸交于點B,

直線CO相交于點。，其中AC=14,C（-6,0）,D（2,8）.

（1）求直線/函數(shù)表達式；

（2）如圖2,點尸為線段CQ延長線上的一點，連接P8,當?shù)拿娣e為7時，將

線段BP沿著），軸方向平移，使得點P落在直線48上的點產(chǎn)處，求點尸到直線C。的距

離；

（3）若點E為直線CD上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點F,使以點A、。、E、

尸為頂點的四邊形為菱形，若存在請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

17.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，直線）=*+/?交x軸于點4,交y軸于

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點、B,OA=^.

（1）求直線43的解析式；

（2）點A關于），軸的對稱點C,連接BC,點。在線段BC上，點。的橫坐標為f,點E

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在線段48上，點￡的縱坐標為一號+9,過點。作軸于點凡連接EF、ED,設

△￡>EP的面積為S,求S關于f的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量，的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，過點B作直線8G_LOE,垂足為H,交x軸于點G,OE交），軸

18.如圖1,在平面直角坐標中，直線AB：y=at-2a交x軸正半軸于A,交），軸正半軸于

B.

（1）用含。的式子表示△AOB的面積S；

（2）如圖2,在第一象限內(nèi)取一點C,使△4BC為以48為斜邊的等腰直角三角形，連

線0C,求直線0C的解析式；

（3）如圖3,過點A作AO_L4B交直線。。于。，在AD的延長線上取一點尸，連接B尸

交x軸于G,BF+DF=AB+AD,求點G的坐標.

19.已知：在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，拋物線）口一段產(chǎn)+法+3交x軸于A、

8兩點（點B在點4的右邊）交），軸于點C,OB=3OC.

（1）如圖1,求拋物線的解析式；

（2）如圖2,點E是第一象限拋物線上的點，連接BE,過點石作于點。，lan

ZEBD=求△8QE的面積；

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（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BC交。E于點Q,點K是第四象限拋物線上的點，

連接EK交于點M,交x軸于點MNEMC=45°,過點K作直線KT_Lx軸于點7,

過點E作EL〃工軸，交直線KT于點L,點尸是拋物線對稱軸右側第一象限拋物線上的

點，連接七八LF,L尸的延長線交ET于點P,連接OP并延長交EL于點S,SE=2SL,

求點尸的坐標.

20.如圖，拋物線丁=/+隊+。交二軸于點A,B兩點、,OA=1,與y軸交于點C,連接AC,

tanNOAC=3,拋物線的對稱軸與x軸交于點。.

（1）求點A,。的坐標；

（2）若點P在拋物線上，且滿足NB43=2NACO,求直線外在與y軸交點的坐標；

（3）點。在拋物線上，且在x軸下方，直線AQ,BQ分別交拋物線的對稱軸于點M、N.求

證：OM+ON為定值，并求出這個定值.

21.如圖1,拋物線.y=-1?+bx+c與x軸負半軸交于A點，與x軸正半軸交于B點，與y

軸正半軸交于C點，CO=BO,AB=14.

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(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點M、N在第一象限內(nèi)拋物線上，M在N點下方，連CM、CN,NOCN+

NOCM=180°,設M點橫坐標為〃?，N點橫坐標為小求m與〃的函數(shù)關系式(〃是自

變量);

(3)如圖3,在(2)條件下，連AN交C。于E,過M作M尸_L43于尸，連8W、EF,

若/AFE=2NFMB=20,求N點坐標.

22.如圖1,已知點A(a,0),B(0,b),且〃、b滿足V5彳I+(a+Zn-3)2=0,平行四

邊形ABC。的邊AO與y軸交于點E,且七為A。中點，雙曲線產(chǎn)(上經(jīng)過C、。兩點.

(1)a=，b=；

(2)求反比例函數(shù)表達式；

(3)點尸在雙曲線產(chǎn)(上，點Q在)，軸上，若以點A、B、P、。為頂點的四邊形是平

行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點Q的坐標；

(4)以線段A8為對角線作正方形(如圖3),點丁是邊AF上一動點，“是"7

MN

的中點，MNLHT,交AB于N,當T在H〃上運動時，"的值是否發(fā)生改變？若改變，

23.定義：若一次函數(shù)y=ax+b即反比例函數(shù)y=一*滿足a-b=b-c,則稱y=CD?+bx-^c

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為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“等差”函數(shù).

（1）判斷丁=A力和）=一號是否存在“等差”函數(shù)？若存在，寫出它們的“等差”函數(shù)；

（2）若y=5x+b和丁=一提存在“等差”函數(shù)，且“等差”函數(shù)的圖象與丁=一^的圖象的

一個交點的橫坐標為1,求反比例函數(shù)的表達式；

（3）若一次函數(shù)y=or+b和反比例函數(shù)）=一（（其中“、b、c為常數(shù)，月.a>0,c>0,

〃二會?）存在“等差”函數(shù)，且丁="葉力與“等差”函數(shù)有兩個交點4（加，*）、Bg,

”），試判斷“等差”函數(shù)圖象上是否存在一點P（x,y）（其中xiVxVxz）,使得△ABP

的面積最大？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.

24.如圖1,我們將經(jīng)過拋物線頂點的所有非豎直的直線，叫做該拋物線的“風車線”，若

拋物線的頂點為P（〃,方）.則它的所有“風車線”可以統(tǒng)一表示為：y=k（x?〃）+h.

即當時，），始終等于4

（1）若拋物線y=-2（x+1）2+3與y軸交于點4,求該拋物線經(jīng)過點A的“風車線”

的解析式；

（2）若拋物線可以通過y=-，平移得到，且它的“風車線”可以統(tǒng)一表示為丁=依+32

-2,求該拋物線的解析式；

（3）如圖2,直線m：y=x+3與直線n：y=-2x+9交于點A,拋物線y=-2Cx-2）

2+1的“風車線”與直線機、〃分別交于B、C兩點，若AABC的面積為12,求滿足條件

25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線尸奴2_去+。與式軸交于點A、B,與），軸交于點

C,直線y=3+2經(jīng)過4、C兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點O為線段AC上的一個動點，過點。作。石〃y軸，交拋物線于點E,過E作

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EFly軸，交直線AC于點F,以DE、EF為邊作矩形DEFG,矩形DEFG的周長能為

10嗎？如果能，請求出點E的橫坐標；如果不能，請說明理由；

(3)點P是拋物線上的一個動點，當NPCA=N8CO時，請直接寫出點尸的坐標.

26.如圖，邊長為3的正方形的邊A8在x軸負半軸上，點C,O在第三象限內(nèi)，點A的坐

標為(-5,0),經(jīng)過點A,C的拋物線丁=/+加+。交)，軸于點N,其頂點為M.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若y軸左側拋物線上一點P關于)，軸的對稱點嚴恰好落在直線MC上，求點P的坐

標；

(3)連接AC,AM,AN,請你探究在y軸左側的拋物線上，是否存在點Q,使NAAQ

=NM4C?若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

27.如圖，已知拋物線y=o?+b"3(aWO)經(jīng)過點A(1,0)和點B(3,0),與y軸交于

點C.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)①若點P是直線BC下方的拋物線上一動點，則△PBC的面積最大值為；

②若點T為對稱軸直線4=2上一點，則TC-TB的最大值為.

(3)拋物線上是否存在點Q,使得NACQ=450?若存在，請求出Q的坐標，若不存在，

請說明理由.

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28.如圖，已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線Li：y=-x+12與x軸交于A點，

與)，軸交于8點，直線上與直線L1交于C點，tanNCOA=2.

(1)求點。的坐標；

(2)動點P從點O出發(fā)，沿射線04以每秒3個單位的速度勻速運動，同時動點。從A

點出發(fā)，沿線段AB以每秒24個單位的速度向終點B運動，當。到達終點時，點P同

時停止運動.過。作了軸的平行線，交直線0C于點M,的長度為d,求4與，之間

的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量，的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，過點。作x軸的垂線，交直線0C于點G,當時,

求/的值.

)1

備用圖備用圖

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29.函數(shù)尸片「m—m+l（n1）（利為常數(shù)）

-X2+2mx+2m-2（xVI）

（1）若點（?2,3）在函數(shù)y上，求用的值.

（2）當點（相，-1）在函數(shù)）'上時，求用的值.

（3）若相=1,當-1WXW2時，求函數(shù)值y的取值范圍.

（4）已知正方形A8CO的中心點為原點。，點A的坐標為（1,1）,當函數(shù)y與正方形

ABCD有3個交點時，直接寫出實數(shù)m的取值范圍.

（1）求該拋物線的解析式及頂點坐標:

（2）若尸是線段04上一動點，過P作y軸的平行線交拋物線于點”，交8C于點N,

設0P=，時，△BCH的面積為S.求S關于，的函數(shù)關系式；若S有最大值，請求出S

的最大值，若沒有，請說明理由.

（3）若尸是4軸上一個動點，過P作射線尸?！?C交拋物線于點。，隨著P點的運動，

在拋物線上是否存在這樣的點P,使以4,P,Q,。為頂點的四邊形為平行四邊形？若

存在，請直接寫出P點的坐標：若不存在，請說明理由.

31.如圖，在等邊三角形A8C中，點。是射線CB上一動點，連接QA,將線段D4繞點O

逆時針旋轉60°得到線段?！赀^點E作EF〃8C交直線45于點F,連接CF.

（1）如圖1,若點。為線段的中點，則四邊形EOC尸是；

（2）如圖2,若點。為線段C8延長線上任意一點，（1）中的結論是否成立？若成立，

請證明；若不成立，請說明理由；

（3）若點。為射線CB上任意一點，當/D48=15°,△4BC的邊長為2時，請直接寫

出線段5。的長.

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EF

AfA

一B°C"\/

D―-----------------B

圖1圖2圖3

32.在矩形ABC。中，點E是射線BC上一動點，連接AE,過點B作8口LAE于點G,交

直線C。于點F.

AD

圖1圖2圖3

（1）當矩形ABCD是正方形時，以點F為直角頂點在正方形ABCD的外部作等腰直角

三角形CFH,連接

①如圖1,若點E在線段3C上，則線段AE與E”之間的數(shù)量關系是,位置關

系是;

②如圖2,若點￡在線段3c的延長線上，①中的結論還成立嗎？如果成立，請給予證

明；如果不成立，請說明理由；

（2）如圖3,若點E在線段上，以8E和B尸為鄰邊作平行四邊形BE”尸，M是BH

中點，連接GM,48=3,BC=2,求GM的最小值.

33.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形O4BC的邊0C在x軸上，0A在），軸上.。為坐

標原點，AB//OC,線段。4,AB的長分別是方程/-9x+20=0的兩個根（O4V4B）,

4

tanZOCB=

（1）求點8,C的坐標；

（2）P為0A上一點，。為0C上一點，0。=5,將△POQ翻折，使點。落在48上的

點、O'處，雙曲線的一個分支過點0'.求上的值；

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(3)在(2)的條件下，M為坐標軸上一點，在平面內(nèi)是否存在點N,使以。'，Q,M,

N為頂點四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

34.當光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、

圖②中，都有N1=N2,Z3=Z4.設鏡子4B與8c的夾角NABC=a.

(1)如圖①，若a=90°,判斷入射光線E尸與反射光線G”的位置關系，并說明理由.

(2)如圖②，若90°<a<180°,入射光線￡尸與反射光線G”的夾角探

索a與0的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)如圖③，若a=120°,設鏡子CO與8C的夾角NBCO=Y(90°<Y<180°),入

射光線EF與鏡面AB的夾角(0°<m<90°),已知入射光線EF從鏡面4B開

始反射，經(jīng)過〃(〃為正整數(shù)，且〃W3)次反射，當?shù)凇ù畏瓷涔饩€與入射光線所平行

時，請直接寫出丫的度數(shù).(可用含有機的代數(shù)式表示)

35.如圖1,矩形OEFG中，DG=2,DE=3,中，NAC8=90°,CA=CB=2t

FG,8C的延長線相交于點O,且FGJ_BC,OG=2,OC=4.將△ABC繞點。逆時針

旋轉a(0°WaV180°)得到AA'B'C.

(1)當a=30°時，求點C'到直線O尸的距離.

(2)在圖1中，取A'B'的中點P,連結C'P,如圖2.

①當C'P與矩形QEFG的一條邊平行時，求點C'到直線。七的距離.

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②當線段4'P與矩形DEFG的邊有且只有一個交點時，求該交點到直線DG的距離的

取值范圍.

36.如圖，△48C為。。的內(nèi)接三角形，48為。。的直徑，將8c沿直線A8折疊得到

△ABO,交。。于點。.連接8交A8于點E,延長8。和C4相交于點P,過點A作

AG〃CD交BP于技G.

(1)求證：直線GA是。。的切線；

(2)求證：AC2=GD-BD；

(3)若tanN4GB=，I,尸G=6,求cos/尸的值.

37.如圖，仕銳角等腰三角形A8C中，AN=AC',點。為△A8C‘外接圓的圓心，連結OC,

過點8作AC的垂線，交00于點。，交0C于點E,交AC于點F,連結AD和CD

備用圖

(1)若N8AC=2a,則NBD4=(用含a的代數(shù)式表示).

(2)①求證：OC〃4O；

第23頁共145頁

②若E為0C的中點，求左的值.

（3）若，=舞|'）=器’求y關于"的函數(shù)關系式.

38.如圖，在菱形48co中，AB=atNA8C=60°,過點A作AE_L8C,垂足為E,AF1

CD,垂足為尸.

（1）連接EF,用等式表示線段所與EC的數(shù)量關系，并說明理由；

（2）連接BF,過點4作4K_LBF,垂足為K,求BK的長（用含。的代數(shù)式表示）；

（3）延長線段C8到G,延長線段OC到“，且8G=C"，連接4G、GH、AH.

①判斷△4G”的形狀，并說明理由；

備用圖

39.如圖1,直線/：產(chǎn)一營+4與x軸交于點A,與），軸交于點B,以A5為直徑作。M,

點戶為線段0A上一動點（與點O、A不重合），作PC_L4B于C,連結BP并延長交00

于點D.

（1）求點A,8的坐標和tan/840的值；

,BC

（2）設n丁=x,tanZBPO=y.

CA

①當x=1時，求y的值及點D的坐標；

②求y關于x的函數(shù)表達式；

（3）如圖2,連接0C,當點P在線段OA上運動時，求。C?P。的最大值.

圖1圖2備用圖

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40.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以4c為直徑的。0分別交A3、8C于點M、

M過點。作0O的切線交AB的延長級于點P.

(1)求證：ZCAB=2ZBCP,

(2)若。0的直徑為5,sin/8CP=培，求△ABC內(nèi)切圓的半徑;

41.如圖，點M是正方形ABCO的邊BC上一點，連接AM,點E是線段4M上一點，N

CDE的平分線交AM延長線于點F.

(1)如圖1,若點E為線段A股的中點，BM：CM=\t2,BE=V10,求48的長；

(1)如圖1,求證：AD//OC；

(2)如圖2,過點。作CE_LA8于點E,求證：AO=2OE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點尸在OC上，且OF=BE,連接。尸并延長交。。于

第25頁共145頁

點G,過點G作G〃J_A。于點"，連接CH,若NCFG=135°,CE=3,求C”的長.

43.問題提出

（1）如圖1,直線％/2,/3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它

到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有處.

問題探究

（2）如圖2,在△旦（；中，直角NABC的平分線8E和外角NAC尸的平分線CE,相交

于點E,連接AE,若N8EC=40°,請求出NEAC的度數(shù).

問題解決

（3）如圖3,某地在市政工程施工中需要對一直角區(qū)域（NAOB=90°）內(nèi)部進行圍擋，

直角區(qū)域N408內(nèi)部有一棵大樹（點P）,工作人員經(jīng)過測量得到點P到0A的距離PC

為10米，點P到的距離P。為20米，為了保護大樹及節(jié)約材料，設計要求圍擋牌

要經(jīng)過大樹位置（點P）并且所用材料最少，即圍擋區(qū)域周長最小，請你根據(jù)以

上信息求出符合設計的△石。尸周長的最小值，并說明理由.

44.某校組織數(shù)學興趣探究活動，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時

發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1、圖2、圖3中，AF、BE

是△ABC的中線，AF_LBE于點P,像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.

【特例探究】

（1）如圖1,當NB4B=45°,AB=6企時，AC=,BC=：

如圖2,當sinNB48=；,AB=4時，AC=，BC=:

【歸納證明】

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想AB?、Bd、AC2三者之間的關系，用等式表示

出來，并利用圖3證明你的結論.

【拓展證明】

（3）如圖4,在△ABC中，AB=4g,BC=2y15,D、E、尸分別是邊AB、AC、BC的

中點，連結。E并延長至G,使得GE=DE,連結BG,當BG_LAC于點M時，求G尸的

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長.

45.如圖1,在平面直角坐標系內(nèi)，A,B為x軸上兩點，以AB為直徑的0M交y軸于C,

。兩點，。為荏的中點，弦4E交)，軸于點F,且點A的坐標為(-2,0),8=8.

(1)求0M的半徑；

(2)動點尸在OM的圓周上運動，連接EP,交AB于點N.

①如圖1,當平分NAE3時，求PN?EP的值；

②如圖2,過點。作。M的切線交工軸于點。，當點P與點A,8不重合時，而是否為

定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理由.

46.如圖，A8是。。的弦，過AB的中點E作EC_LQ4,垂足為C,過點8作直線8。交

CE的延長線于點。，使得DB=DE.

(1)求證：8。是的切線；

(2)若4B=12,￡)8=5,求aBOE的BE邊上的高.

(3)在(2)的條件下，求AAOB的面積.

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47.如圖1,CO是。。的直徑，且CO過弦A8的中點“，連接8C,過弧AO上一點E作

EF//BC,交BA的延長線于點F,連接CE,其中CE交AB于點G,且FE=FG.

(1)求證：后尸是。。的切線：

(2)如圖2,連接8E,求證：BE^=BG*BF；

(3)如圖3,若CO的延長線與尸E的延長線交于點M,tanF=*,BCS求0M的

DE1AC,垂足為點E,。石與0。和人8分別交于點M、F.連接BO、DO、AM.

(1)證明：B。是。0的切線；

(2)若lanNAMO=4,4。=26，求。0的半徑長；

(3)在(2)的條件下，求。產(chǎn)的長.

49.［教材呈現(xiàn)］圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第103頁的部分內(nèi)容.

已知：如圖，在RtZ\A8C中，NACB=90°,CO是斜邊48上的中線.求證：C￡>=戈8.

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A

通過該問題的證明，得出了直角三角形的一條性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半.

請根據(jù)教材內(nèi)容，結合圖①，寫出完整的解題過程.

［結論應用］

(1)如圖②，在RtZVUJC中，F(xiàn)是中點，ZACB=90°,ZBAC=60°，點。在

8c上(點。不與8、C重合)，于點E,連結CE、CF、EF.當AO=4時，

CEF=.

(2)如圖③，4。是0O直徑，點。、E在00上(點C、E位于直徑4。兩側)，在

上，KsinZDAC=CD=2.當四邊形0CDE有一組對邊平行時，直接寫出AE的長.

50.已知正方形ABC。內(nèi)接于O0,點￡為而上一點，連接BE、CE、DE.

(1)如圖1,求證：ZDEC+ZBEC=180°:

(2)如圖2,過點。作C凡LCE交BE于點凡連接A凡M為4E的中點，連接OM并

延長交A尸于點N,求證：DNLAF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接0M,若A8=10,tan/DCE=：,求0M的長.

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2022年廣東省東莞市中考數(shù)學壓軸題模擬

參考答案與試題解析

1.在平面直角坐標系xO），中，過點N（6,-1）的兩條直線/i,/2,與x軸正半軸分別交于

M、B兩點,與y軸分別交于點。、A兩點，已知。點坐標為（0,1）,A在），軸負半軸，

以AN為直徑畫。P,與y軸的另一個交點為幾

（1）求M點坐標；

（2）如圖1,若0P經(jīng)過點M.

①判斷OP與x軸的位置關系，并說明理由；②求弦AF的長；

（3）如圖2,若。。與直線的另一個交點E在線段OM上，求/IUNE+A/的值.

解：（1）設直線A的表達式為丫=履+力，將點。、N的坐標代入上式得+解

得卜二J

故直線人的表達式為y=

令產(chǎn)一品+1=0,解得x=3,

故點M（3,0）；

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圖1

(2)①相切，理由：

連接PM、AM,過點P作PN_OA于點N,

由點。、例、N的坐標知，點”是。N的中點，

而4N是圓的直徑，故人M_LMM則aAN力為等腰三角形，

故AM平分ND48,即NO4M=NM1M,

,：PM=PA,故NM48=NAMP=ND4M,

???PM〃y軸，即軸，

故。P與x軸的位置關系是相切；

②由由直線人的表達式知，tan/OMO弓，則tanNOAM=3,

故設直線AM的表達式為y=3"b,將點M的坐標代入上式得：0=3X3+b,解得力=?

9,

故點4(0,-9),

由點A、N的坐標得，AN=J62+(-9+1)2=10,則圓的半徑為5,

在RlZXAPN中，AP=5,PN=OM=3,則AN=4,

則Af=2AN=8；

(3)連接4E,則AE_LMM過點尸作尸G_LAE于點G,作FHLMN于點H,

連接FM則五N_Ly軸，則點尸(0,-1),

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圖2

由直線1\的表達式知，該直線領斜角的正切值為即tanZDMO=

?:NDHO=NDOM=90°,則NDFH=NDEO,設NDFH=NDEO=a,則tana=

則sina=盍'

?.?4E_LON,FHLDN,則FH//AE,故N￡>AE=a,

看從凡

在RtZ\4"G中，F(xiàn)G=AFsina=

則V1UNE+4尸=同(NE+)=V10(NE+EH)=屈HN,

——12

在RlZ\F/)H中，。"=。/sina=(1+1)-==-=,

V10V10

由點ON的坐標得，ND=收+(1+1)2=2質(zhì)

2

則HN=DN-HD=2V10-

^>/10NE+AF=V10/7/V=18.

2.已知矩形A8CD中，48=2,AD=5,點E是A。邊上一動點，連接BE、CE,以BE為

直徑作。0，交BC于點F,過點尸作"/_LCE于”.

(1)當直線可與。。相切時，求4七的長；

(2)當口“〃BE時，求4E的長；

(3)若線段廣〃交。0于點G,在點E運動過程中，△OFG能否成為等腰直角三角形？

如果能，求出此時AE的長；如果不能，說明理由.

第33頁共145頁

解：(1)如圖1,連接EF,M,

TCE為圓的切線且又和垂直,

：.CE//AF

:./CEF=NAFE；

又丁/AFE=NFEB,

：.NCEF=NBEF,

???E尸為NBEC的平分線；

???NEFB=90°,

：.EFVBC,

：.BE=CE

???△BEC為等腰三角形，

.?.8尸為BC的一半；

*：EA//CFf

，四邊形CE4f為平行四邊形，

即AE=C尸=2.5；

(2)解：,:FH"BE,FHYCE,

：.BE.LCEf

：.ZAEB+ZDEC=90°,

VZABE+ZAEB=90°,

???NA3E=/DEC,

VZA=ZD=90°,

???△ABEs△COE,

ABAE

?t?^9

DECD

???AB=2,AD=5,

：?CD=AB=2,

2AE

??=,

5-AE2

,*.AE=\或4E=4.

第34頁共145頁

(3)連接所、OF、OG,如圖3所示：

則NB尸E=90°,

設AE=x,則ER=A8=2,BF=AE=x,CF=DE=5-x,

若△OFG是等腰直角三角形，則/尸OG=90°,

連接5G、EG,設8G、EF交于點K,

:.ABFK和AEGK都是等腰直角三角形，

:.BF=KF=x,BK=Vlr,EK=2-KF=2-x,

在等腰直角AEGK中，根據(jù)勾股定理得：GK=EG=孝(2-%),BG=GK+BK=孝(2+4),

又?:NEBG=NEFG=NFCH,

：,4BEGS4CEF,

BGFCrr*（2+"）5-x

BEEF*（2-%）2

解得：x=0更，或工=巧更（舍去），

9-V57

；?AE的長度是.

圖3

P4/^7k______l__P

5、J尸C