2022年廣東省東莞市中考數(shù)學(xué)壓軸題模擬及答案解析

2022年廣東省東莞市中考數(shù)學(xué)壓軸題模擬

1.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，過(guò)點(diǎn)N（6,-1）的兩條直線/i,12,與x軸正半軸分別交于

M、B兩點(diǎn),與y軸分別交于點(diǎn)。、A兩點(diǎn)，已知。點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,A在），軸負(fù)半軸，

以AN為直徑畫OP,與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F.

（1）求M點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1,若。P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M.

①判斷OP與工軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②求弦Ab的長(zhǎng)；

（3）如圖2,若。尸與直線A的另一個(gè)交點(diǎn)E在線段QM上，求VI5NE+4F的值.

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2.已知矩形4BCO中，A8=2,八。=5,點(diǎn)E是A。邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE,以BE為

直徑作。。交BC于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)尸作尸H_LCE于H

(1)當(dāng)直線產(chǎn)”與。。相切時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)"/〃BE時(shí)，求4￡的長(zhǎng)；

(3)若線段尸H交。。于點(diǎn)G,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OPG能否成為等腰直角三角形？

如果能，求出此時(shí)4E的長(zhǎng)；如果不能，說(shuō)明理由.

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3.等邊三角形ABC內(nèi)接于0O,點(diǎn)。在弧AC上，連接A。、CD、BD.

(1)如圖1,求證3。平分NADC：

(2)如圖2,若NOBC=15°,求證：AD：AC=a：V3；

(3)如圖3,若AC、BO交于點(diǎn)E,連接OE,且0￡=2近，若8O=3CD,求4。的長(zhǎng).

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4.如圖，點(diǎn)A是直線y=H(A>0)上一點(diǎn)，且在第一象限，點(diǎn)B,C分別是x,y正半軸

上的點(diǎn)，且滿足NBAC=90°

(1)如圖1,當(dāng)2=1時(shí)，求證：AB=AC,

(2)如圖2,記NAOB=a,

①根據(jù)所學(xué)，不難得到tana=,(用含攵的式子表示)；

②若&=G，求/的值；

⑶如圖3,若k=)，連接BC,OA.LBC,已知拋物線y=o?+以+c經(jīng)過(guò)。，A,B三

4

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5.如圖1,已知拋物線），=-f+bx+c與一直線相交于A（-1,0),C(2,3)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)E，其頂點(diǎn)為￡>.

（1）分別求拋物線、直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)”為直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求MQ+ME的最小值;

（3）如圖2,AACD,一直線平行于AO,交邊AC于點(diǎn)M、交邊CO于點(diǎn)M使得4M

=CN.求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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6.己知二次函數(shù)/i：、=』+6丫+5%和，2：y=h?+bkx+5k,其中2Ho且2H1.

（1）分別直接寫出關(guān)于二次函數(shù)/1和h的對(duì)稱軸及與尸軸的交點(diǎn)坐標(biāo),

（2）若兩條拋物線h和/2相交于點(diǎn)E,F,當(dāng)人的值發(fā)生變化時(shí)，判斷線段石尸的長(zhǎng)度

是否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）中，若二次函數(shù)八的頂點(diǎn)為M,二次函數(shù)/2的頂點(diǎn)為N；

①當(dāng)&為何值時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線所對(duì)稱？

②是否存在實(shí)數(shù)h使得MN=2ER若存在，求出實(shí)數(shù)2的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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7.已知，如圖，等腰直角三角形ABC,NA=90°,AB=AC,”是8C上中點(diǎn)，尸是射線

AH上一點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)尸在線段AH上時(shí)，求證：ZABF=AACFx

(2)如圖2,4r在AH的延長(zhǎng)線上時(shí)，E是AB上一點(diǎn),連接￡尸，EC,若BF=FE,求

NFEC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)G在AC上，連接BG,若NECG=2NGBC,AE=5^2,AG

=4或，求CP的長(zhǎng).

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8.如圖①，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=10cm,BC=Scmf點(diǎn)P從A出發(fā)，沿A-B-C-。

路線運(yùn)動(dòng)，到D停止；點(diǎn)P出發(fā)時(shí)的速度為每秒Icm,〃秒時(shí)點(diǎn)P的速度變?yōu)槊棵隻cm,

圖②是點(diǎn)尸出發(fā)x秒后，△APO的面積S(,cm2)與x(s)的函數(shù)關(guān)系圖象.

(1)根據(jù)題目中提供的信息，求出圖②中a,b,。的值；

(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為y(c/n).

①7s時(shí)，y的值為cm；

②請(qǐng)寫出當(dāng)點(diǎn)P改變速度后，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸出發(fā)后幾秒時(shí)，AAP。的面積S是長(zhǎng)方形ABCO面積的2？

4

9.已知四邊形ABC。中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,N4BC=120°,NMBN=6(T,

NMBN繞B點(diǎn)、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交40,OC(或它們的延長(zhǎng)線)于E,F.

(1)當(dāng)NMBN繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=C戶時(shí)(如圖1),求證：AE+CF=EF；

(2)當(dāng)NM8N繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEWCF時(shí)，在圖2這種情況下，上述結(jié)論是否成立？若

成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE,CF,七產(chǎn)又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜

想，并證明.

(3)當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，AE=10,CF=2.求EF的長(zhǎng)

10.如圖，四邊形OA8C中，BC//AO,A(4,0),B(3,4),C(0,4).點(diǎn)“從。出發(fā)

以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從8同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

向C運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)N作NP垂直

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x軸于點(diǎn)P,連接AC交N尸于Q,連接MQ.

（1）當(dāng)，為何值時(shí)，四邊形BVMP為平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形8N41的面積為y,求y與，之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）是否存在點(diǎn)M,使得△40M為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

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11.綜合與實(shí)踐

操作發(fā)現(xiàn)：

已知點(diǎn)尸為正方形A3CO的邊A?；?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A,D,C除外），作射線BP,

作4EJ_8P于點(diǎn)E,CF上BP于點(diǎn)F.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在。。上（點(diǎn)C,。除外）運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出線段AE,CF,所間

的數(shù)量關(guān)系.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在A。上（點(diǎn)A,O除外）運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段A￡CF,￡產(chǎn)又有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并說(shuō)明理由.

拓廣探索：

（3）如圖3,若點(diǎn)P為矩形A8CO的邊C。上（點(diǎn)C,。除外）一點(diǎn)，其它條件不變，

已知48=6,BC=8,8P=4百，求AE的長(zhǎng).

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12.閱讀下列材料：如圖①，在四邊形A8CO中，若A8=A。，BC=CD,則把這樣的四邊

形稱為箏形.

(1)寫出箏形的兩個(gè)性質(zhì)(定義除外)：

①；②.

(2)如圖②，在平行四邊形A8CO中，點(diǎn)E、尸分別在BC、CO上，且4E=AF,ZAEC

=NAFC.求證：四邊形AEC尸是箏形.

(3)如圖③，在箏形ABC。中，AB=AD=\5,BC=DC=\3,4c=14,求箏形4BCO

的面積.

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13.如圖，拋物線y=f+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,12)、B(3,0).

(1)求b、c的值；

(2)如圖1,點(diǎn)O是直線下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作)，軸的平行線交A8于點(diǎn)N,

求ON的最大值；

(3)如圖2,若P是)，軸上一點(diǎn)，連以、分別交拋物線于點(diǎn)E、F,探究EF與AB

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)尸歷;+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)例(|-ni,〃)，點(diǎn)N(〃z+1

〃)，交y軸于點(diǎn)4.

(1)求“，力滿足的關(guān)系式；

(2)若拋物線上始終存在不重合的P,。兩點(diǎn)(尸在。的左邊)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

①求〃的取值范圍；

9

-

②若點(diǎn)A,P,。三點(diǎn)到直線/：y=4+方的距離相等，求線段PQ長(zhǎng).

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線)，=2%+4與x軸交于點(diǎn)4,與)，軸交于點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)8

的另一條直線交x軸正半軸于點(diǎn)C,且。。=3.

(1)求直線8C的解析式；

(2)如圖1,若M為線段8C上一點(diǎn)，且滿足SAAMB=SA/U>8,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)尸為線段力8中點(diǎn)，點(diǎn)G為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸G,以FG為邊向

尸G右側(cè)作正方形/GQP,在G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)頂點(diǎn)。落在直線BC上時(shí)，求點(diǎn)G

的坐標(biāo).

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16.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中.已知宜線/：與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

直線CO相交于點(diǎn)。，其中AC=14,C（-6,0）,D（2,8）.

（1）求直線/函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2,點(diǎn)尸為線段CQ延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接P8,當(dāng)?shù)拿娣e為7時(shí)，將

線段BP沿著），軸方向平移，使得點(diǎn)P落在直線48上的點(diǎn)產(chǎn)處，求點(diǎn)尸到直線C。的距

離；

（3）若點(diǎn)E為直線CD上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)A、。、E、

尸為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線）=*+/?交x軸于點(diǎn)4,交y軸于

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點(diǎn)、B,OA=^.

（1）求直線43的解析式；

（2）點(diǎn)A關(guān)于），軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)。在線段BC上，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為f,點(diǎn)E

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在線段48上，點(diǎn)￡的縱坐標(biāo)為一號(hào)+9,過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)凡連接EF、ED,設(shè)

△￡>EP的面積為S,求S關(guān)于f的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量，的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作直線8G_LOE,垂足為H,交x軸于點(diǎn)G,OE交），軸

18.如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，直線AB：y=at-2a交x軸正半軸于A,交），軸正半軸于

B.

（1）用含。的式子表示△AOB的面積S；

（2）如圖2,在第一象限內(nèi)取一點(diǎn)C,使△4BC為以48為斜邊的等腰直角三角形，連

線0C,求直線0C的解析式；

（3）如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AO_L4B交直線。。于。，在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)尸，連接B尸

交x軸于G,BF+DF=AB+AD,求點(diǎn)G的坐標(biāo).

19.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線）口一段產(chǎn)+法+3交x軸于A、

8兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)4的右邊）交），軸于點(diǎn)C,OB=3OC.

（1）如圖1,求拋物線的解析式；

（2）如圖2,點(diǎn)E是第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接BE,過(guò)點(diǎn)石作于點(diǎn)。，lan

ZEBD=求△8QE的面積；

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（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BC交。E于點(diǎn)Q,點(diǎn)K是第四象限拋物線上的點(diǎn)，

連接EK交于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)MNEMC=45°,過(guò)點(diǎn)K作直線KT_Lx軸于點(diǎn)7,

過(guò)點(diǎn)E作EL〃工軸，交直線KT于點(diǎn)L,點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的

點(diǎn)，連接七八LF,L尸的延長(zhǎng)線交ET于點(diǎn)P,連接OP并延長(zhǎng)交EL于點(diǎn)S,SE=2SL,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

20.如圖，拋物線丁=/+隊(duì)+。交二軸于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)、,OA=1,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,

tanNOAC=3,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)。.

（1）求點(diǎn)A,。的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且滿足NB43=2NACO,求直線外在與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)。在拋物線上，且在x軸下方，直線AQ,BQ分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M、N.求

證：OM+ON為定值，并求出這個(gè)定值.

21.如圖1,拋物線.y=-1?+bx+c與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與x軸正半軸交于B點(diǎn)，與y

軸正半軸交于C點(diǎn)，CO=BO,AB=14.

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(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)M、N在第一象限內(nèi)拋物線上，M在N點(diǎn)下方，連CM、CN,NOCN+

NOCM=180°,設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為〃?，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為小求m與〃的函數(shù)關(guān)系式(〃是自

變量);

(3)如圖3,在(2)條件下，連AN交C。于E,過(guò)M作M尸_L43于尸，連8W、EF,

若/AFE=2NFMB=20,求N點(diǎn)坐標(biāo).

22.如圖1,已知點(diǎn)A(a,0),B(0,b),且〃、b滿足V5彳I+(a+Zn-3)2=0,平行四

邊形ABC。的邊AO與y軸交于點(diǎn)E,且七為A。中點(diǎn)，雙曲線產(chǎn)(上經(jīng)過(guò)C、。兩點(diǎn).

(1)a=，b=；

(2)求反比例函數(shù)表達(dá)式；

(3)點(diǎn)尸在雙曲線產(chǎn)(上，點(diǎn)Q在)，軸上，若以點(diǎn)A、B、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(4)以線段A8為對(duì)角線作正方形(如圖3),點(diǎn)丁是邊AF上一動(dòng)點(diǎn)，“是"7

MN

的中點(diǎn)，MNLHT,交AB于N,當(dāng)T在H〃上運(yùn)動(dòng)時(shí)，"的值是否發(fā)生改變？若改變，

23.定義：若一次函數(shù)y=ax+b即反比例函數(shù)y=一*滿足a-b=b-c,則稱y=CD?+bx-^c

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為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“等差”函數(shù).

（1）判斷丁=A力和）=一號(hào)是否存在“等差”函數(shù)？若存在，寫出它們的“等差”函數(shù)；

（2）若y=5x+b和丁=一提存在“等差”函數(shù)，且“等差”函數(shù)的圖象與丁=一^的圖象的

一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（3）若一次函數(shù)y=or+b和反比例函數(shù)）=一（（其中“、b、c為常數(shù)，月.a>0,c>0,

〃二會(huì)?）存在“等差”函數(shù)，且丁="葉力與“等差”函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)4（加，*）、Bg,

”），試判斷“等差”函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P（x,y）（其中xiVxVxz）,使得△ABP

的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.如圖1,我們將經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)的所有非豎直的直線，叫做該拋物線的“風(fēng)車線”，若

拋物線的頂點(diǎn)為P（〃,方）.則它的所有“風(fēng)車線”可以統(tǒng)一表示為：y=k（x?〃）+h.

即當(dāng)時(shí)，），始終等于4

（1）若拋物線y=-2（x+1）2+3與y軸交于點(diǎn)4,求該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的“風(fēng)車線”

的解析式；

（2）若拋物線可以通過(guò)y=-，平移得到，且它的“風(fēng)車線”可以統(tǒng)一表示為丁=依+32

-2,求該拋物線的解析式；

（3）如圖2,直線m：y=x+3與直線n：y=-2x+9交于點(diǎn)A,拋物線y=-2Cx-2）

2+1的“風(fēng)車線”與直線機(jī)、〃分別交于B、C兩點(diǎn)，若AABC的面積為12,求滿足條件

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸奴2_去+。與式軸交于點(diǎn)A、B,與），軸交于點(diǎn)

C,直線y=3+2經(jīng)過(guò)4、C兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)O為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。石〃y軸，交拋物線于點(diǎn)E,過(guò)E作

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EFly軸，交直線AC于點(diǎn)F,以DE、EF為邊作矩形DEFG,矩形DEFG的周長(zhǎng)能為

10嗎？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NPCA=N8CO時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

26.如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形的邊A8在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C,O在第三象限內(nèi)，點(diǎn)A的坐

標(biāo)為(-5,0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C的拋物線丁=/+加+。交)，軸于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為M.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)P關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)嚴(yán)恰好落在直線MC上，求點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

(3)連接AC,AM,AN,請(qǐng)你探究在y軸左側(cè)的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q,使NAAQ

=NM4C?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

27.如圖，已知拋物線y=o?+b"3(aWO)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于

點(diǎn)C.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)①若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則△PBC的面積最大值為；

②若點(diǎn)T為對(duì)稱軸直線4=2上一點(diǎn)，則TC-TB的最大值為.

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得NACQ=450?若存在，請(qǐng)求出Q的坐標(biāo)，若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

第18頁(yè)共145頁(yè)

28.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線Li：y=-x+12與x軸交于A點(diǎn)，

與)，軸交于8點(diǎn)，直線上與直線L1交于C點(diǎn)，tanNCOA=2.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線04以每秒3個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從A

點(diǎn)出發(fā)，沿線段AB以每秒24個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P同

時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)。作了軸的平行線，交直線0C于點(diǎn)M,的長(zhǎng)度為d,求4與，之間

的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量，的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，交直線0C于點(diǎn)G,當(dāng)時(shí),

求/的值.

)1

備用圖備用圖

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29.函數(shù)尸片「m—m+l（n1）（利為常數(shù)）

-X2+2mx+2m-2（xVI）

（1）若點(diǎn)（?2,3）在函數(shù)y上，求用的值.

（2）當(dāng)點(diǎn)（相，-1）在函數(shù)）'上時(shí)，求用的值.

（3）若相=1,當(dāng)-1WXW2時(shí)，求函數(shù)值y的取值范圍.

（4）已知正方形A8CO的中心點(diǎn)為原點(diǎn)。，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1）,當(dāng)函數(shù)y與正方形

ABCD有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo):

（2）若尸是線段04上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)”，交8C于點(diǎn)N,

設(shè)0P=，時(shí)，△BCH的面積為S.求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式；若S有最大值，請(qǐng)求出S

的最大值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若尸是4軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作射線尸?！?C交拋物線于點(diǎn)。，隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，

在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,使以4,P,Q,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若

存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

31.如圖，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)。是射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接QA,將線段D4繞點(diǎn)O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段。￡過(guò)點(diǎn)E作EF〃8C交直線45于點(diǎn)F,連接CF.

（1）如圖1,若點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，則四邊形EOC尸是；

（2）如圖2,若點(diǎn)。為線段C8延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，

請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)。為射線CB上任意一點(diǎn)，當(dāng)/D48=15°,△4BC的邊長(zhǎng)為2時(shí)，請(qǐng)直接寫

出線段5。的長(zhǎng).

第20頁(yè)共145頁(yè)

EF

AfA

一B°C"\/

D―-----------------B

圖1圖2圖3

32.在矩形ABC。中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)B作8口LAE于點(diǎn)G,交

直線C。于點(diǎn)F.

AD

圖1圖2圖3

（1）當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形ABCD的外部作等腰直角

三角形CFH,連接

①如圖1,若點(diǎn)E在線段3C上，則線段AE與E”之間的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)

系是;

②如圖2,若點(diǎn)￡在線段3c的延長(zhǎng)線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證

明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖3,若點(diǎn)E在線段上，以8E和B尸為鄰邊作平行四邊形BE”尸，M是BH

中點(diǎn)，連接GM,48=3,BC=2,求GM的最小值.

33.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O4BC的邊0C在x軸上，0A在），軸上.。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，AB//OC,線段。4,AB的長(zhǎng)分別是方程/-9x+20=0的兩個(gè)根（O4V4B）,

4

tanZOCB=

（1）求點(diǎn)8,C的坐標(biāo)；

（2）P為0A上一點(diǎn)，。為0C上一點(diǎn)，0。=5,將△POQ翻折，使點(diǎn)。落在48上的

點(diǎn)、O'處，雙曲線的一個(gè)分支過(guò)點(diǎn)0'.求上的值；

第21頁(yè)共145頁(yè)

(3)在(2)的條件下，M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以。'，Q,M,

N為頂點(diǎn)四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

34.當(dāng)光線經(jīng)過(guò)鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等例如：在圖①、

圖②中，都有N1=N2,Z3=Z4.設(shè)鏡子4B與8c的夾角NABC=a.

(1)如圖①，若a=90°,判斷入射光線E尸與反射光線G”的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)如圖②，若90°<a<180°,入射光線￡尸與反射光線G”的夾角探

索a與0的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖③，若a=120°,設(shè)鏡子CO與8C的夾角NBCO=Y(90°<Y<180°),入

射光線EF與鏡面AB的夾角(0°<m<90°),已知入射光線EF從鏡面4B開

始反射，經(jīng)過(guò)〃(〃為正整數(shù)，且〃W3)次反射，當(dāng)?shù)凇ù畏瓷涔饩€與入射光線所平行

時(shí)，請(qǐng)直接寫出丫的度數(shù).(可用含有機(jī)的代數(shù)式表示)

35.如圖1,矩形OEFG中，DG=2,DE=3,中，NAC8=90°,CA=CB=2t

FG,8C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O,且FGJ_BC,OG=2,OC=4.將△ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)a(0°WaV180°)得到AA'B'C.

(1)當(dāng)a=30°時(shí)，求點(diǎn)C'到直線O尸的距離.

(2)在圖1中，取A'B'的中點(diǎn)P,連結(jié)C'P,如圖2.

①當(dāng)C'P與矩形QEFG的一條邊平行時(shí)，求點(diǎn)C'到直線。七的距離.

第22頁(yè)共145頁(yè)

②當(dāng)線段4'P與矩形DEFG的邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求該交點(diǎn)到直線DG的距離的

取值范圍.

36.如圖，△48C為。。的內(nèi)接三角形，48為。。的直徑，將8c沿直線A8折疊得到

△ABO,交。。于點(diǎn)。.連接8交A8于點(diǎn)E,延長(zhǎng)8。和C4相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作

AG〃CD交BP于技G.

(1)求證：直線GA是。。的切線；

(2)求證：AC2=GD-BD；

(3)若tanN4GB=，I,尸G=6,求cos/尸的值.

37.如圖，仕銳角等腰三角形A8C中，AN=AC',點(diǎn)。為△A8C‘外接圓的圓心，連結(jié)OC,

過(guò)點(diǎn)8作AC的垂線，交00于點(diǎn)。，交0C于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,連結(jié)AD和CD

備用圖

(1)若N8AC=2a,則NBD4=(用含a的代數(shù)式表示).

(2)①求證：OC〃4O；

第23頁(yè)共145頁(yè)

②若E為0C的中點(diǎn)，求左的值.

（3）若，=舞|'）=器’求y關(guān)于"的函數(shù)關(guān)系式.

38.如圖，在菱形48co中，AB=atNA8C=60°,過(guò)點(diǎn)A作AE_L8C,垂足為E,AF1

CD,垂足為尸.

（1）連接EF,用等式表示線段所與EC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）連接BF,過(guò)點(diǎn)4作4K_LBF,垂足為K,求BK的長(zhǎng)（用含。的代數(shù)式表示）；

（3）延長(zhǎng)線段C8到G,延長(zhǎng)線段OC到“，且8G=C"，連接4G、GH、AH.

①判斷△4G”的形狀，并說(shuō)明理由；

備用圖

39.如圖1,直線/：產(chǎn)一營(yíng)+4與x軸交于點(diǎn)A,與），軸交于點(diǎn)B,以A5為直徑作。M,

點(diǎn)戶為線段0A上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、A不重合），作PC_L4B于C,連結(jié)BP并延長(zhǎng)交00

于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)A,8的坐標(biāo)和tan/840的值；

,BC

（2）設(shè)n丁=x,tanZBPO=y.

CA

①當(dāng)x=1時(shí)，求y的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖2,連接0C,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求。C?P。的最大值.

圖1圖2備用圖

第24頁(yè)共145頁(yè)

40.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以4c為直徑的。0分別交A3、8C于點(diǎn)M、

M過(guò)點(diǎn)。作0O的切線交AB的延長(zhǎng)級(jí)于點(diǎn)P.

(1)求證：ZCAB=2ZBCP,

(2)若。0的直徑為5,sin/8CP=培，求△ABC內(nèi)切圓的半徑;

41.如圖，點(diǎn)M是正方形ABCO的邊BC上一點(diǎn)，連接AM,點(diǎn)E是線段4M上一點(diǎn)，N

CDE的平分線交AM延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)E為線段A股的中點(diǎn)，BM：CM=\t2,BE=V10,求48的長(zhǎng)；

(1)如圖1,求證：AD//OC；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作CE_LA8于點(diǎn)E,求證：AO=2OE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)尸在OC上，且OF=BE,連接。尸并延長(zhǎng)交。。于

第25頁(yè)共145頁(yè)

點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作G〃J_A。于點(diǎn)"，連接CH,若NCFG=135°,CE=3,求C”的長(zhǎng).

43.問(wèn)題提出

（1）如圖1,直線％/2,/3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它

到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有處.

問(wèn)題探究

（2）如圖2,在△旦（；中，直角NABC的平分線8E和外角NAC尸的平分線CE,相交

于點(diǎn)E,連接AE,若N8EC=40°,請(qǐng)求出NEAC的度數(shù).

問(wèn)題解決

（3）如圖3,某地在市政工程施工中需要對(duì)一直角區(qū)域（NAOB=90°）內(nèi)部進(jìn)行圍擋，

直角區(qū)域N408內(nèi)部有一棵大樹（點(diǎn)P）,工作人員經(jīng)過(guò)測(cè)量得到點(diǎn)P到0A的距離PC

為10米，點(diǎn)P到的距離P。為20米，為了保護(hù)大樹及節(jié)約材料，設(shè)計(jì)要求圍擋牌

要經(jīng)過(guò)大樹位置（點(diǎn)P）并且所用材料最少，即圍擋區(qū)域周長(zhǎng)最小，請(qǐng)你根據(jù)以

上信息求出符合設(shè)計(jì)的△石。尸周長(zhǎng)的最小值，并說(shuō)明理由.

44.某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動(dòng)，愛(ài)思考的小實(shí)同學(xué)在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)

發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1、圖2、圖3中，AF、BE

是△ABC的中線，AF_LBE于點(diǎn)P,像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.

【特例探究】

（1）如圖1,當(dāng)NB4B=45°,AB=6企時(shí)，AC=,BC=：

如圖2,當(dāng)sinNB48=；,AB=4時(shí)，AC=，BC=:

【歸納證明】

（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想AB?、Bd、AC2三者之間的關(guān)系，用等式表示

出來(lái)，并利用圖3證明你的結(jié)論.

【拓展證明】

（3）如圖4,在△ABC中，AB=4g,BC=2y15,D、E、尸分別是邊AB、AC、BC的

中點(diǎn)，連結(jié)。E并延長(zhǎng)至G,使得GE=DE,連結(jié)BG,當(dāng)BG_LAC于點(diǎn)M時(shí)，求G尸的

第26頁(yè)共145頁(yè)

長(zhǎng).

45.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A,B為x軸上兩點(diǎn)，以AB為直徑的0M交y軸于C,

。兩點(diǎn)，。為荏的中點(diǎn)，弦4E交)，軸于點(diǎn)F,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),8=8.

(1)求0M的半徑；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸在OM的圓周上運(yùn)動(dòng)，連接EP,交AB于點(diǎn)N.

①如圖1,當(dāng)平分NAE3時(shí)，求PN?EP的值；

②如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。M的切線交工軸于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A,8不重合時(shí)，而是否為

定值？若是，請(qǐng)求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

46.如圖，A8是。。的弦，過(guò)AB的中點(diǎn)E作EC_LQ4,垂足為C,過(guò)點(diǎn)8作直線8。交

CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，使得DB=DE.

(1)求證：8。是的切線；

(2)若4B=12,￡)8=5,求aBOE的BE邊上的高.

(3)在(2)的條件下，求AAOB的面積.

第27頁(yè)共145頁(yè)

47.如圖1,CO是。。的直徑，且CO過(guò)弦A8的中點(diǎn)“，連接8C,過(guò)弧AO上一點(diǎn)E作

EF//BC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE,其中CE交AB于點(diǎn)G,且FE=FG.

(1)求證：后尸是。。的切線：

(2)如圖2,連接8E,求證：BE^=BG*BF；

(3)如圖3,若CO的延長(zhǎng)線與尸E的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,tanF=*,BCS求0M的

DE1AC,垂足為點(diǎn)E,。石與0。和人8分別交于點(diǎn)M、F.連接BO、DO、AM.

(1)證明：B。是。0的切線；

(2)若lanNAMO=4,4。=26，求。0的半徑長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，求。產(chǎn)的長(zhǎng).

49.［教材呈現(xiàn)］圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第103頁(yè)的部分內(nèi)容.

已知：如圖，在RtZ\A8C中，NACB=90°,CO是斜邊48上的中線.求證：C￡>=戈8.

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A

通過(guò)該問(wèn)題的證明，得出了直角三角形的一條性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半.

請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出完整的解題過(guò)程.

［結(jié)論應(yīng)用］

(1)如圖②，在RtZVUJC中，F(xiàn)是中點(diǎn)，ZACB=90°,ZBAC=60°，點(diǎn)。在

8c上(點(diǎn)。不與8、C重合)，于點(diǎn)E,連結(jié)CE、CF、EF.當(dāng)AO=4時(shí)，

CEF=.

(2)如圖③，4。是0O直徑，點(diǎn)。、E在00上(點(diǎn)C、E位于直徑4。兩側(cè))，在

上，KsinZDAC=CD=2.當(dāng)四邊形0CDE有一組對(duì)邊平行時(shí)，直接寫出AE的長(zhǎng).

50.已知正方形ABC。內(nèi)接于O0,點(diǎn)￡為而上一點(diǎn)，連接BE、CE、DE.

(1)如圖1,求證：ZDEC+ZBEC=180°:

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作C凡LCE交BE于點(diǎn)凡連接A凡M為4E的中點(diǎn)，連接OM并

延長(zhǎng)交A尸于點(diǎn)N,求證：DNLAF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接0M,若A8=10,tan/DCE=：,求0M的長(zhǎng).

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2022年廣東省東莞市中考數(shù)學(xué)壓軸題模擬

參考答案與試題解析

1.在平面直角坐標(biāo)系xO），中，過(guò)點(diǎn)N（6,-1）的兩條直線/i,/2,與x軸正半軸分別交于

M、B兩點(diǎn),與y軸分別交于點(diǎn)。、A兩點(diǎn)，已知。點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,A在），軸負(fù)半軸，

以AN為直徑畫。P,與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為幾

（1）求M點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1,若0P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M.

①判斷OP與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②求弦AF的長(zhǎng)；

（3）如圖2,若。。與直線的另一個(gè)交點(diǎn)E在線段OM上，求/IUNE+A/的值.

解：（1）設(shè)直線A的表達(dá)式為丫=履+力，將點(diǎn)。、N的坐標(biāo)代入上式得+解

得卜二J

故直線人的表達(dá)式為y=

令產(chǎn)一品+1=0,解得x=3,

故點(diǎn)M（3,0）；

第31頁(yè)共145頁(yè)

圖1

(2)①相切，理由：

連接PM、AM,過(guò)點(diǎn)P作PN_OA于點(diǎn)N,

由點(diǎn)。、例、N的坐標(biāo)知，點(diǎn)”是。N的中點(diǎn)，

而4N是圓的直徑，故人M_LMM則aAN力為等腰三角形，

故AM平分ND48,即NO4M=NM1M,

,：PM=PA,故NM48=NAMP=ND4M,

???PM〃y軸，即軸，

故。P與x軸的位置關(guān)系是相切；

②由由直線人的表達(dá)式知，tan/OMO弓，則tanNOAM=3,

故設(shè)直線AM的表達(dá)式為y=3"b,將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入上式得：0=3X3+b,解得力=?

9,

故點(diǎn)4(0,-9),

由點(diǎn)A、N的坐標(biāo)得，AN=J62+(-9+1)2=10,則圓的半徑為5,

在RlZXAPN中，AP=5,PN=OM=3,則AN=4,

則Af=2AN=8；

(3)連接4E,則AE_LMM過(guò)點(diǎn)尸作尸G_LAE于點(diǎn)G,作FHLMN于點(diǎn)H,

連接FM則五N_Ly軸，則點(diǎn)尸(0,-1),

第32頁(yè)共145頁(yè)

圖2

由直線1\的表達(dá)式知，該直線領(lǐng)斜角的正切值為即tanZDMO=

?:NDHO=NDOM=90°,則NDFH=NDEO,設(shè)NDFH=NDEO=a,則tana=

則sina=盍'

?.?4E_LON,FHLDN,則FH//AE,故N￡>AE=a,

看從凡

在RtZ\4"G中，F(xiàn)G=AFsina=

則V1UNE+4尸=同(NE+)=V10(NE+EH)=屈HN,

——12

在RlZ\F/)H中，。"=。/sina=(1+1)-==-=,

V10V10

由點(diǎn)ON的坐標(biāo)得，ND=收+(1+1)2=2質(zhì)

2

則HN=DN-HD=2V10-

^>/10NE+AF=V10/7/V=18.

2.已知矩形A8CD中，48=2,AD=5,點(diǎn)E是A。邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE,以BE為

直徑作。0，交BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)尸作"/_LCE于”.

(1)當(dāng)直線可與。。相切時(shí)，求4七的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)口“〃BE時(shí)，求4E的長(zhǎng)；

(3)若線段廣〃交。0于點(diǎn)G,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OFG能否成為等腰直角三角形？

如果能，求出此時(shí)AE的長(zhǎng)；如果不能，說(shuō)明理由.

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解：(1)如圖1,連接EF,M,

TCE為圓的切線且又和垂直,

：.CE//AF

:./CEF=NAFE；

又丁/AFE=NFEB,

：.NCEF=NBEF,

???E尸為NBEC的平分線；

???NEFB=90°,

：.EFVBC,

：.BE=CE

???△BEC為等腰三角形，

.?.8尸為BC的一半；

*：EA//CFf

，四邊形CE4f為平行四邊形，

即AE=C尸=2.5；

(2)解：,:FH"BE,FHYCE,

：.BE.LCEf

：.ZAEB+ZDEC=90°,

VZABE+ZAEB=90°,

???NA3E=/DEC,

VZA=ZD=90°,

???△ABEs△COE,

ABAE

?t?^9

DECD

???AB=2,AD=5,

：?CD=AB=2,

2AE

??=,

5-AE2

,*.AE=\或4E=4.

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(3)連接所、OF、OG,如圖3所示：

則NB尸E=90°,

設(shè)AE=x,則ER=A8=2,BF=AE=x,CF=DE=5-x,

若△OFG是等腰直角三角形，則/尸OG=90°,

連接5G、EG,設(shè)8G、EF交于點(diǎn)K,

:.ABFK和AEGK都是等腰直角三角形，

:.BF=KF=x,BK=Vlr,EK=2-KF=2-x,

在等腰直角AEGK中，根據(jù)勾股定理得：GK=EG=孝(2-%),BG=GK+BK=孝(2+4),

又?:NEBG=NEFG=NFCH,

：,4BEGS4CEF,

BGFCrr*（2+"）5-x

BEEF*（2-%）2

解得：x=0更，或工=巧更（舍去），

9-V57

；?AE的長(zhǎng)度是.

圖3

P4/^7k______l__P

5、J尸C