數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：8函數(shù)y=Asin：ωx+φ的圖像

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§7函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1。（高考遼寧卷，文2)函數(shù)y=sin（)的最小正周期是（)A.B.πC.2πD。4π解析：y=sin（）的最小正周期T==4π答案：D2。將y=sinx的圖像變換為y=3sin（）的兩種變換方法如下,請?jiān)凇?處填上變換方法。法一：y=sinxy=sin2xy=sin（2x+)y=3sin（2x+）;法二:y=sinxy=sin(x+）y=sin(2x+）y=3sin（2x+)。解法一：y=sinxy=sin2x圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位y=sin［2(x+)］=sin（2x+）y=3sin(2x+）。解法二：y=sinxy=sin（x+)y=sin(2x+)y=3sin(2x+)。3.已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖(如圖1—7圖1-7-1解：因?yàn)門=,所以ω=2。又易知A=2，所以y=2sin（2x+φ).將點(diǎn)（，0）帶入上式得0=2sin[2×（）+φ］,即sin(φ—）=0.由｜φ｜<得φ=，所以y=2sin（2x+).它的圖像可由y=sinx的圖像作如下變換得到：y=sinxy=sin(x+）y=sin（2x+)y=2sin(2x+).10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中)1。為了得到函數(shù)y=3sin（x-）（x∈R）的圖像，只需把y=3sinx上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位解析：三角函數(shù)圖像的平移變換，應(yīng)遵循法則：“加左減右”，且移動(dòng)的單位數(shù)僅對一個(gè)x而言.據(jù)由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=sin（x+φ）的圖像的步驟可知，應(yīng)把y=3sinx圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，即可獲得y=3sin（x-）的圖像.故選B.答案:B2.函數(shù)y=3sin（x+）圖像上的點(diǎn)進(jìn)行_____________變換，就可得到函數(shù)y=3sin(2x+)的圖像（x∈R）（)A.橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變C?？v坐標(biāo)伸長為原來的2倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)縮短為原來的，橫坐標(biāo)不變解析：橫向伸縮變換又稱周期變換,即周期發(fā)生了變化，因此,可先據(jù)周期的變大(?。┐_定橫坐標(biāo)的變化。由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=sinωx的圖像，應(yīng)是將y=sinx圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?＜ω＜1時(shí)，伸長;ω＞1時(shí)，壓縮）.故由y=3sin（x+)變?yōu)閥=3sin(2x+）應(yīng)是橫坐標(biāo)縮短為原來的.所以選B。答案：B3.下列函數(shù)中，周期為的是（）A.y=sin（）B。y=sin（）C.y=sin（）D.y=sin(2x+）解析：y=Asin（ωx+φ)的周期，注意運(yùn)用T=求時(shí)需ω＞0.答案：B4。設(shè)y=sin（x+φ）(0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ等于()A.0B。C。D.π解析：函數(shù)的奇偶性，可用定義，還可借助于圖像.f（x)為偶函數(shù)，則從代數(shù)式上應(yīng)有f（—x)=f（x），從圖像上應(yīng)有圖像關(guān)于y軸對稱。答案：C5。正弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖1—7—2所示,求函數(shù)的表達(dá)式.圖1—7—2解:由題圖可知振幅A=2，又=π，所以周期T=2π，進(jìn)而ω==1。再據(jù)第一個(gè)零點(diǎn)為（，0），代入可得φ=。所以y=2sin（x+)。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1。函數(shù)y=cosx的圖像經(jīng)過怎樣的變換才能變成函數(shù)y=cos（x+）（x∈R)的圖像()A.向左平移個(gè)單位B。向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位D。向右平移個(gè)單位解析：平移變換時(shí),一是看準(zhǔn)平移的方向；二是確定平移的單位數(shù)。根據(jù)題意知應(yīng)把y=cosx的圖像向左平移個(gè)單位.故選B。答案：B2。已知函數(shù)y=f（x）,現(xiàn)將y=f（x)圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,然后把整個(gè)圖像沿著x軸向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sinx的圖像，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A。f（x）=B.f（x）=C.f（x)=D.f（x)=解析:依題意，函數(shù)y=sinx的圖像沿x軸向右平移個(gè)單位后，所得的函數(shù)是y=.再將其圖像上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?可得函數(shù)y=。則y=，即y=f（x）。故選D.答案：D3。方程2sin2x=x—3的解有（）A。1個(gè)B。2個(gè)C。3個(gè)D.4個(gè)解析:在同一坐標(biāo)系下，畫出y=2sin2x和y=x—3的圖像，如下圖，易知有3個(gè)交點(diǎn)。故方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解。所以選C.答案:C4。已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在同一周期內(nèi),當(dāng)x=時(shí)取得最大值，當(dāng)x=時(shí)取得最小值，則該函數(shù)的解析式為（）A。y=2sin（—）B。y=sin（3x+）C。y=sin（3x-)D。y=sin（—）解析：由題意，知A=,∴T=.∴ω==3.將()視為第一個(gè)最高點(diǎn)，代入可求出φ=，∴y=sin（3x+）。故選B。答案：B5。函數(shù)y=sin（2x+5）的圖像的一條對稱軸方程是（)A.x=B。x=C.x=D.x=解析：函數(shù)y=sin（2x+）的對稱軸垂直于x軸，有很多條，它們通過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即使函數(shù)取得最大值或最小值。所以一一代入驗(yàn)證,可得x=符合要求。故選A.答案：A6。函數(shù)y=cos（x+）（x∈R)（）A。是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：除了用定義判斷某一函數(shù)的奇偶性之外,還可用圖像加以深化理解.如y=cos（x+φ）若為奇函數(shù),則φ可取哪些值,不妨結(jié)合圖像解決。由奇偶函數(shù)的定義或圖像，易知y=cos（x+）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).故選C.答案:C7。函數(shù)y=sin（-2x）的單調(diào)減區(qū)間為_______________。解析：令t=，易知原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即是y=sint的單調(diào)增區(qū)間。由2kπ—≤t≤2kπ+（k∈Z)，知2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z）,∴kπ-≤x≤kπ+（k∈Z).因此函數(shù)y=sin(-2x）的減區(qū)間為［kπ-，kπ+]（k∈Z）。答案：［］(k∈Z)8.如圖1-7—3,彈簧掛著的小球上下振動(dòng)，時(shí)間與小球相對于平衡位置（即靜止時(shí)的位置)的高度之間的函數(shù)關(guān)系式是h=2sin（t+），t∈[0,+∞）。圖1—7—3畫出這個(gè)函數(shù)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡圖，并回答下列問題。(1）小球開始振動(dòng)(即t=0）時(shí)的位置在哪里？(2）小球最高、最低點(diǎn)與平衡位置的距離分別是多少？（3）經(jīng)過多長時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次?(4）小球每1s能往復(fù)振動(dòng)多少次？解:因?yàn)楹瘮?shù)h=2sin（t+），t∈[0，+∞）的最小正周期是T=2π，它在[0，2π]上的簡圖如下.（1）小球開始振動(dòng)（即t=0）時(shí),h=2sin（0+）=2sin.（2)小球最高、最低點(diǎn)與平衡位置的距離分別是2和—2。（3)小球往復(fù)振動(dòng)一次，即是一個(gè)周期2πs.（4）小球每1s能往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)，即頻率f=.9.已知函數(shù)y=Asi