數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：點(diǎn)到直線的距離

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.2.4點(diǎn)到直線的距離5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類(lèi)訓(xùn)練，可用于課前)1.點(diǎn)（1，-1）到直線x—y+1=0的距離是(）A.B.C。D.解析：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式。由點(diǎn)到直線的距離公式可得.答案：C2.點(diǎn)P(x,y）在直線x+y—4=0上,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則O點(diǎn)到P點(diǎn)的最小值為（）A。B.C。D.2解析：OP的最小值即為O到直線x+y—4=0的距離d=.答案：B3。直線2x—y—1=0與直線6x-3y+10=0的距離是______________。解析：方法一:在2x-y-1=0上取x=0,則y=—1,即（0,-1)為直線上一點(diǎn).由點(diǎn)到直線的距離公式得到d=。方法二：直線2x—y—1=0可化為：6x-3y—3=0,則d=。答案：10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類(lèi)訓(xùn)練，可用于課中）1.過(guò)點(diǎn)（1，3）且與原點(diǎn)的距離為1的直線共有()A。3條B。2條C。1條D.0條解析：①直線的斜率存在為k,設(shè)直線方程為y—3=k（x-1），由d==1,得k=；②直線的斜率不存在，直線為x=1，所以符合條件的直線共有兩條.答案：B2.已知x、y滿(mǎn)足3x+4y-10=0，則x2+y2的最小值為(）A.2B。4C解析：x2+y2視為原點(diǎn)到直線上的點(diǎn)P（x，y)的距離的平方，所以x2+y2最小值為原點(diǎn)到直線3x+4y—10=0的距離的平方。因?yàn)閐==2，所以最小值為4.答案:B3。與兩平行直線：l1：3x-y+9=0，l2：3x—y-3=0等距離的直線方程為_(kāi)____________。解析：到兩平行直線的距離相等，說(shuō)明該直線也與這兩條直線平行，所以可設(shè)直線方程為3x—y+C=0.由兩平行線間距離d=，可得｜9-C｜=｜C+3|，解得C=3。∴所求直線方程為3x-y+3=0。答案:3x—y+3=04.已知直線l過(guò)點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)（1,-3)到l的距離為，求直線l的方程，并求出坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離。解：顯然當(dāng)l的斜率不存在時(shí)不合題意。故設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-0）,即kx—y+1=0。由題意，d=,整理得7k2-16k—23=0，解得k=—1或k=。∴直線方程為x+y—1=0或23x-7y+7=0。坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離d1=,d2=.5.求下列直線方程:（1）與直線l：3x—4y-20=0平行且距離為3的直線；(2)已知直線l1：2x+y—6=0和點(diǎn)A（1，—1），過(guò)點(diǎn)A作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn)，且d（A，B)=5，求直線l的方程。解：（1)設(shè)所求直線方程為3x—4y+C=0(C∈R）,由題設(shè)=3，解得C=—35或C=—5。故所求直線方程為3x-4y—35=0或3x—4y—5=0。(2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)A(1，-1）與y軸平行的直線為x=1，解方程組求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)d（A，B)=5,符合要求,此時(shí)所求直線方程為x-1=0。②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y+1=k(x-1),解方程組(k≠-2，否則與已知直線平行)由已知（-1）2+（+1）2=52,解得k=,∴y+1=(x—1），即3x+4y+1=0。綜上，可知直線l的方程為x-1=0或3x+4y+1=0。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類(lèi)訓(xùn)練，可用于課后）1。直線x-y—2=0與直線x—y+1=0的距離是（)A.B.C.D。解析:在直線上取點(diǎn),比如（1，—1）,再應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式，則有d=.答案:D2.已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，那么它們之間的距離是(）A。4B.C.D。解析：先由兩直線平行求出m的值，再在其中一直線上任取一點(diǎn)計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，或者直接利用平行線間的距離公式.方法一:因?yàn)閮芍本€平行,所以3m=12,即m=4，在3x+2y—3=0上可任取一點(diǎn)（0,），則(0,)到直線6x+4y+1=0的距離d=。方法二:因?yàn)閮芍本€平行,所以3m=12,即m=4，6x+my+1=0可化為3x+2y+=0,由兩平行直線的距離公式得d=.答案：D3。到兩條直線3x-4y+5=0和5x—12y+13=0距離相等的點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)，必滿(mǎn)足方程（)A.x—4y+4=0B.7x+4y=0C。x-4y+4=0或4x-8y+9=0D。7x+4y=0或32x+56y+65=0解析：設(shè)所求點(diǎn)為P(x，y），則.答案：D4。已知點(diǎn)P(a,b)是第二象限的點(diǎn)，那么它到直線x-y=0的距離是()A.（a—b）B。b—aC。（b—a）D.解析:∵P(a,b）是第二象限點(diǎn)，∴a＜0，b＞0?！郺-b＜0。點(diǎn)P到直線x-y=0的距離d=(b-a）。答案：C5.已知點(diǎn)（a,2)(a>0)到直線l：x—y+3=0的距離為1，則a等于()A.B。C.D.解析:考查點(diǎn)到直線的距離公式及運(yùn)算能力.由點(diǎn)到直線的距離公式,得=1，∴｜a+1｜=?！郺=±—1.又a＞0,∴a=—1。答案：C6。（經(jīng)典回放)已知定點(diǎn)A(0，1），點(diǎn)B在直線x+y=0上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段AB最短時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)是___________.解析：可設(shè)B(x,-x），所以d(A,B)=,所以d(A，B）min==.這時(shí)x=，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，)。答案：(,)7。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5，10）且和原點(diǎn)距離是10的直線的方程是__________.解:(1）k存在時(shí)，設(shè)直線方程為y—10=k（x—5),∴10=?！鄈=或k=0.∴y-10=（x—5)或y=10。（2)k不存在時(shí),x=5不符合題意.綜上所述，4x+3y-50=0或y=10為所求。答案：4x+3y-50=0或y=108.兩直線l1：x+y—2=0與l2:7x—y+4=0相交成四個(gè)角，則這些角的平分線所在的直線的方程為_(kāi)_____________。解析：設(shè)P（x，y)是角平分線上任一點(diǎn)，則由|｜=||,可得角平分線的方程。答案：6x+2y—3=0或x—3y+7=09。已知兩直線l1：7x+8y+9=0和l2:7x+8y—3=0,直線l與l1、l2的距離分別為d1、d2,且d1∶d2=1∶2，求直線l的方程.解：設(shè)直線l的方程是7x+8y+C=0,由題意得=1∶2,解得C=21或C=5，所以直線方程為7x+8y+21=0或7x+8y+5=0.10.兩條互相平行的直線分別過(guò)A（6,2)、B（—3，—1）兩點(diǎn)，并且各自繞著A、B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(但始終保持平行關(guān)系).如果兩條平行線間的距離為d。(1）求d的變化范圍；(2）求當(dāng)d取得最大值時(shí)的兩條直線的方程。解法一:(1)設(shè)兩條直線分別為y=kx+b1和y=kx+b2，則而d=,∴d2+d2k2=81k2-54k+9，即(81-d2）k2-54k+9—d2=0.由于k∈R，所以Δ=542-4(81—d2)（9—d2）≥0。整理得4d2（d2-90)≤0，∴0＜d≤.(2）當(dāng)d=時(shí),k==-3,∴兩條直線的方程分別為3x+y-20=0和3x+y+10=0。解法二:（1）根據(jù)圖形可知，當(dāng)兩平行線均與線段AB垂直時(shí)，距離d=｜AB|=最大；當(dāng)兩平行線重合，即都過(guò)A、B點(diǎn)時(shí)，距離d=0最小.但平行線不能重合，∴0＜d≤。(2)同方法一。11.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，2)且與兩點(diǎn)A(2，3)、B(6,-9)等距離的直線l的方程。解法一：直線l斜率不存在時(shí)，顯然不合題意,當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)為y—2=k（x—2),即kx-y+2-2k=0.由題意得，解得k=或-3，代入kx