高二-人教A版-數(shù)學(xué)-選擇性必修第三冊(cè)-第八章《一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第2課時(shí)）》課件

高二—人教A版—數(shù)學(xué)—選擇性必修第三冊(cè)—第八章

8.2

一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第2課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明一元線性回歸模型修改的依據(jù)與方法.2.通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的進(jìn)一步分析，能將某些非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題并加以解決，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3.能通過(guò)實(shí)例說(shuō)明決定系數(shù)的意義和作用，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力.編號(hào)123456胸徑/cm18.120.122.224.426.028.3樹高/m18.819.221.021.022.122.1編號(hào)789101112胸徑/cm29.632.433.735.738.340.2樹高/m22.422.623.024.323.924.7例

經(jīng)驗(yàn)表明,對(duì)于同一樹種,一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大,樹就越高.由于測(cè)量樹高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí),某林場(chǎng)收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.一、復(fù)習(xí)回顧解:以胸徑為橫坐標(biāo),樹高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如下：

散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.302520152422161820樹高/m354045胸徑/cm26············一、復(fù)習(xí)回顧用d表示胸徑,h表示樹高,建立h關(guān)于d的線性回歸模型為一、復(fù)習(xí)回顧所以h關(guān)于d的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.由表中數(shù)據(jù)，得根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出樹高的預(yù)測(cè)值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如下表所示.編號(hào)胸徑/cm樹高觀測(cè)值/m樹高預(yù)測(cè)值/m殘差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2一、復(fù)習(xí)回顧以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到下圖.30252015-1.0-0.50.00.51.0·······殘差/m·····354045胸徑/cm

觀察殘差表和殘差圖，可以看到殘差的絕對(duì)值最大是0.8，殘差點(diǎn)均勻分布在以橫軸為對(duì)稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).

可見經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程由胸徑預(yù)測(cè)樹高.一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧建立一元線性回歸模型的步驟：1.利用散點(diǎn)圖和線性相關(guān)系數(shù)r判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度；2.兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，建立一元線性回歸模型；3.根據(jù)最小二乘法，估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的參數(shù)；4.對(duì)回歸方程作殘差分析.【歸納總結(jié)】編號(hào)12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95問(wèn)題1：人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對(duì)數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.以成對(duì)數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo),世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖,得到下圖192019101900189011.511.09.510.010.5記錄/s193019401950年份12.0········19601970在左圖中，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.二、案例分析將經(jīng)驗(yàn)回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到下圖：用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄,t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份,利用一元線性回歸模型來(lái)刻畫世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系.根據(jù)最小二乘法,由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為192019101900189011.511.09.510.010.5Y/s193019401950t12.0········19601970二、案例分析模型能很好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？第一個(gè)世界紀(jì)錄所對(duì)應(yīng)的殘差遠(yuǎn)離橫軸，并且前后兩時(shí)間段中的殘差為正，中間時(shí)間段的殘差為負(fù)，分布不均勻，這說(shuō)明模型需要修改.追問(wèn)1：作出殘差圖，請(qǐng)仔細(xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問(wèn)題嗎?二、案例分析回顧已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀特征.追問(wèn)2：你能對(duì)模型進(jìn)行修改,以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近，呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.

注意到100m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年,因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=c1+c2ln(t-1895)的周圍，其中c1,c2為未知參數(shù)，且c2<0.二、案例分析192019101900189011.511.09.510.010.5記錄/s193019401950年份12.0········19601970令x=ln(t-1895)，則Y=c2x+c1

，編號(hào)12345678t18961912192119301936195619601968x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變化可得下表：二、案例分析

問(wèn)題2：你能通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，將非線性回歸模型y=c1+c2ln(t-1895)轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，從而求出非線性的回歸方程嗎？得到散點(diǎn)圖如下：由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：將經(jīng)驗(yàn)回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，如圖所示.上圖表明,經(jīng)驗(yàn)回歸方程對(duì)于成對(duì)數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度.,得將x=ln(t-1895)代入二、案例分析回顧反思：非線性回歸問(wèn)題的解決步驟畫散點(diǎn)圖

選擬合函數(shù)變換求解變換還原根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x,y)畫散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)非線性相關(guān)特征，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.通過(guò)相應(yīng)的變換,即可得非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.問(wèn)題3：對(duì)于通過(guò)創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問(wèn)題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程，你能判斷哪個(gè)回歸方程擬合的精度更好嗎？②

(1)

直接觀察法.在同一坐標(biāo)系中畫出成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的圖象(藍(lán)色)以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的圖象(紅色).我們發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非常靠近②的圖象，表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①.①二、案例分析（2)殘差分析法:殘差平方和越小,模型擬合效果越好.

Q2明顯小于Q1，說(shuō)明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程.二、案例分析問(wèn)題3：對(duì)于通過(guò)創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問(wèn)題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程，你能判斷哪個(gè)回歸方程擬合的精度更好嗎？②①（3)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果.R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.方程①和②的R2分別為0.7325和0.9983，可見②的刻畫效果比①好很多.顯然0≤R2≤1，所以R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.二、案例分析問(wèn)題3：對(duì)于通過(guò)創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問(wèn)題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程，你能判斷哪個(gè)回歸方程擬合的精度更好嗎？與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān)與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無(wú)關(guān)三、歸納總結(jié)請(qǐng)大家回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，請(qǐng)你總結(jié)使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意哪些問(wèn)題？在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),需注意以下問(wèn)題:1.回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；2.我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)效性；3.解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)；4.不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值.事實(shí)上,它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值.三、歸納總結(jié)請(qǐng)大家回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：（2）解決非線性回歸問(wèn)題的步驟是什么？畫散點(diǎn)圖

選擬合函數(shù)變換求解變換還原根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x,y)畫散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)非線性相關(guān)特征，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.通過(guò)相應(yīng)的變換,即可得非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.三、歸納總結(jié)請(qǐng)大家回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：（3）如何判斷回歸模型的有效性？判斷回歸模型的有效性一般有三種方法:利用散點(diǎn)圖和殘差圖直接觀察；利用殘差平方和進(jìn)行比較；利用決定系數(shù)R2進(jìn)行比較，R2越接近于1，模型擬合效果越好.四、布置作業(yè)課本第120頁(yè)練習(xí)第2題，習(xí)題8.2第4、5題.謝謝觀看高二—人教A版—數(shù)學(xué)—選擇性必修第三冊(cè)—第八章

8.2

一元線性回歸模型及其

應(yīng)用（第2課時(shí)）答疑在大量的實(shí)際問(wèn)題中，需要研究的兩個(gè)變量不一定都呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，它們之間可能呈現(xiàn)指數(shù)相關(guān)或?qū)?shù)相關(guān)等非線性相關(guān)關(guān)系.在應(yīng)用中需要分析實(shí)際問(wèn)題背景、觀察散點(diǎn)圖等進(jìn)行判斷.對(duì)于非線性模型，某些情況下，可以轉(zhuǎn)化為一元線性回歸模型.

某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用x(單位:千萬(wàn)元)對(duì)年銷售量y(單位:千萬(wàn)件)的影響，統(tǒng)計(jì)了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用xi與年銷售量yi(i=1,2,???,10)的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示.(1)利用散點(diǎn)圖判斷y=a+bx和y=c?xd(其中c,d均為大于0的常數(shù))哪一個(gè)更適合作為年銷售量y和年研發(fā)費(fèi)用x的回歸方程類型(只要給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表.根據(jù)第(1)問(wèn)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程.補(bǔ)充例題分析：(1)由散點(diǎn)圖可知，選擇y=c?xd更合適.(2)對(duì)y=c?xd兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=lnc+dlnx，再換元轉(zhuǎn)化為線性

回歸模型.

注意題目最后提供了參考數(shù)據(jù)，要充分利用.解：(1)由散點(diǎn)圖可知，選擇回歸類型y=c?xd更合適.(2)對(duì)y=c?xd兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=lnc+dlnx，(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表.根據(jù)第(1)問(wèn)的判斷結(jié)果及表中