高二-人教A版-數(shù)學(xué)-選擇性必修第三冊-第八章《一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第2課時）》課件

高二—人教A版—數(shù)學(xué)—選擇性必修第三冊—第八章

8.2

一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第2課時）學(xué)習(xí)目標1.能通過具體實例說明一元線性回歸模型修改的依據(jù)與方法.2.通過對具體問題的進一步分析，能將某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題并加以解決，提高數(shù)學(xué)運算能力.3.能通過實例說明決定系數(shù)的意義和作用，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力.編號123456胸徑/cm18.120.122.224.426.028.3樹高/m18.819.221.021.022.122.1編號789101112胸徑/cm29.632.433.735.738.340.2樹高/m22.422.623.024.323.924.7例

經(jīng)驗表明,對于同一樹種,一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大,樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時,某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程.一、復(fù)習(xí)回顧解:以胸徑為橫坐標,樹高為縱坐標作散點圖如下：

散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.302520152422161820樹高/m354045胸徑/cm26············一、復(fù)習(xí)回顧用d表示胸徑,h表示樹高,建立h關(guān)于d的線性回歸模型為一、復(fù)習(xí)回顧所以h關(guān)于d的經(jīng)驗回歸方程為.由表中數(shù)據(jù)，得根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計算出樹高的預(yù)測值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如下表所示.編號胸徑/cm樹高觀測值/m樹高預(yù)測值/m殘差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2一、復(fù)習(xí)回顧以胸徑為橫坐標，殘差為縱坐標，作殘差圖，得到下圖.30252015-1.0-0.50.00.51.0·······殘差/m·····354045胸徑/cm

觀察殘差表和殘差圖，可以看到殘差的絕對值最大是0.8，殘差點均勻分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).

可見經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程由胸徑預(yù)測樹高.一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧建立一元線性回歸模型的步驟：1.利用散點圖和線性相關(guān)系數(shù)r判斷兩個變量的相關(guān)程度；2.兩個變量線性相關(guān)時，建立一元線性回歸模型；3.根據(jù)最小二乘法，估計經(jīng)驗回歸方程的參數(shù)；4.對回歸方程作殘差分析.【歸納總結(jié)】編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95問題1：人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀錄產(chǎn)生的年份和世界紀錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀錄關(guān)于紀錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程.以成對數(shù)據(jù)中的世界紀錄產(chǎn)生年份為橫坐標,世界紀錄為縱坐標作散點圖,得到下圖192019101900189011.511.09.510.010.5記錄/s193019401950年份12.0········19601970在左圖中，散點看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程.二、案例分析將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，得到下圖：用Y表示男子短跑100m的世界紀錄,t表示紀錄產(chǎn)生的年份,利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀錄和世界紀錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系.根據(jù)最小二乘法,由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為192019101900189011.511.09.510.010.5Y/s193019401950t12.0········19601970二、案例分析模型能很好地反映散點的分布特征嗎？第一個世界紀錄所對應(yīng)的殘差遠離橫軸，并且前后兩時間段中的殘差為正，中間時間段的殘差為負，分布不均勻，這說明模型需要修改.追問1：作出殘差圖，請仔細觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎?二、案例分析回顧已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀特征.追問2：你能對模型進行修改,以使其更好地反映散點的分布特征嗎？仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)散點更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近，呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.

注意到100m短跑的第一個世界紀錄產(chǎn)生于1896年,因此可以認為散點是集中在曲線y=c1+c2ln(t-1895)的周圍，其中c1,c2為未知參數(shù)，且c2<0.二、案例分析192019101900189011.511.09.510.010.5記錄/s193019401950年份12.0········19601970令x=ln(t-1895)，則Y=c2x+c1

，編號12345678t18961912192119301936195619601968x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95對數(shù)據(jù)進行變化可得下表：二、案例分析

問題2：你能通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，將非線性回歸模型y=c1+c2ln(t-1895)轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，從而求出非線性的回歸方程嗎？得到散點圖如下：由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為：將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，如圖所示.上圖表明,經(jīng)驗回歸方程對于成對數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度.,得將x=ln(t-1895)代入二、案例分析回顧反思：非線性回歸問題的解決步驟畫散點圖

選擬合函數(shù)變換求解變換還原根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x,y)畫散點圖.根據(jù)散點圖,發(fā)現(xiàn)非線性相關(guān)特征，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).進行恰當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求經(jīng)驗回歸方程.通過相應(yīng)的變換,即可得非線性經(jīng)驗回歸方程.問題3：對于通過創(chuàng)紀錄時間預(yù)報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？②

(1)

直接觀察法.在同一坐標系中畫出成對數(shù)據(jù)散點圖、非線性經(jīng)驗回歸方程②的圖象(藍色)以及經(jīng)驗回歸方程①的圖象(紅色).我們發(fā)現(xiàn)，散點圖中各散點都非?？拷诘膱D象，表明非線性經(jīng)驗回歸方程②對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠遠好于經(jīng)驗回歸方程①.①二、案例分析（2)殘差分析法:殘差平方和越小,模型擬合效果越好.

Q2明顯小于Q1，說明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程.二、案例分析問題3：對于通過創(chuàng)紀錄時間預(yù)報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？②①（3)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果.R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.方程①和②的R2分別為0.7325和0.9983，可見②的刻畫效果比①好很多.顯然0≤R2≤1，所以R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.二、案例分析問題3：對于通過創(chuàng)紀錄時間預(yù)報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？與經(jīng)驗回歸方程有關(guān)與經(jīng)驗回歸方程無關(guān)三、歸納總結(jié)請大家回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問題：（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，請你總結(jié)使用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測時，需要注意哪些問題？在使用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測時,需注意以下問題:1.回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；2.我們所建立的回歸方程一般都有時效性；3.解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠；4.不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值.事實上,它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值.三、歸納總結(jié)請大家回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問題：（2）解決非線性回歸問題的步驟是什么？畫散點圖

選擬合函數(shù)變換求解變換還原根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x,y)畫散點圖.根據(jù)散點圖,發(fā)現(xiàn)非線性相關(guān)特征，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).進行恰當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求經(jīng)驗回歸方程.通過相應(yīng)的變換,即可得非線性經(jīng)驗回歸方程.三、歸納總結(jié)請大家回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問題：（3）如何判斷回歸模型的有效性？判斷回歸模型的有效性一般有三種方法:利用散點圖和殘差圖直接觀察；利用殘差平方和進行比較；利用決定系數(shù)R2進行比較，R2越接近于1，模型擬合效果越好.四、布置作業(yè)課本第120頁練習(xí)第2題，習(xí)題8.2第4、5題.謝謝觀看高二—人教A版—數(shù)學(xué)—選擇性必修第三冊—第八章

8.2

一元線性回歸模型及其

應(yīng)用（第2課時）答疑在大量的實際問題中，需要研究的兩個變量不一定都呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，它們之間可能呈現(xiàn)指數(shù)相關(guān)或?qū)?shù)相關(guān)等非線性相關(guān)關(guān)系.在應(yīng)用中需要分析實際問題背景、觀察散點圖等進行判斷.對于非線性模型，某些情況下，可以轉(zhuǎn)化為一元線性回歸模型.

某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費用，需了解年研發(fā)費用x(單位:千萬元)對年銷售量y(單位:千萬件)的影響，統(tǒng)計了近10年投入的年研發(fā)費用xi與年銷售量yi(i=1,2,???,10)的數(shù)據(jù)，得到散點圖如圖所示.(1)利用散點圖判斷y=a+bx和y=c?xd(其中c,d均為大于0的常數(shù))哪一個更適合作為年銷售量y和年研發(fā)費用x的回歸方程類型(只要給出判斷即可，不必說明理由)；(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理，令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表.根據(jù)第(1)問的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程.補充例題分析：(1)由散點圖可知，選擇y=c?xd更合適.(2)對y=c?xd兩邊取對數(shù)，得lny=lnc+dlnx，再換元轉(zhuǎn)化為線性

回歸模型.

注意題目最后提供了參考數(shù)據(jù)，要充分利用.解：(1)由散點圖可知，選擇回歸類型y=c?xd更合適.(2)對y=c?xd兩邊取對數(shù)，得lny=lnc+dlnx，(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理，令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表.根據(jù)第(1)問的判斷結(jié)果及表中