數(shù)值分析方法 課件 5-1-2 迭代法的加速_第1頁
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文檔簡介

數(shù)值分析方法主編

李冬果李林高磊面向“四新”人才培養(yǎng)普通高等教育系列教材第五章非線性方程的數(shù)值解法目錄/Contents5.1-1非線性方程的近似求根

5.2非線性方程組的數(shù)值解

5.3非線性方程近似求根計算機實驗

5.1-2非線性方程的迭代法的加速5.1.3迭代法的加速(1)(2)(3)

,稱為Aitken加速法.

Aitken加速：比收斂得略快。將視為新的初值，重復上述步驟xyy=xy=

(x)x*x0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)P(,)

Steffensen迭代格式幾何解釋：

斯蒂芬森加速可使原本不收斂的迭代改進到收斂.

幾何意義：xyx*x0Newton迭代法收斂性(4)例牛頓法求方程在附近的一個根.

設(shè)取迭代初值，用牛頓法公式計算迭代3次得到的結(jié)果有6位有效數(shù)字.取這個結(jié)果反而比更偏離了所求的根.x*x0

x0

x0保證函數(shù)值穩(wěn)定下降滿足這項要求的算法稱下山法.牛頓法的計算結(jié)果前一步的近似值作加權(quán)平均得其中稱為下山因子，此迭代格式稱為牛頓下山法.xkxk+1下山因子的選取從開始，逐次將減半進行試算，直到能使下降條件成立為止.

通過逐次取半進行試算，當時可求得當時求得

，不滿足條件此時有

，而顯然

.

由作為初始值計算時,均能使下山條件成立.計算結(jié)果：

即為的近似.（2）計算較困難.（1）每步迭代要計算及.缺點1、

弦截法

設(shè)是的近似根，利用

構(gòu)造一次插值多項式，并用的根作為新的近似根.由有

牛頓公式中的導數(shù)用差商取代的結(jié)果.(5)幾何意義

曲線上橫坐標為的點分別記為，則弦線的斜率等于差商值,其方程為求得的實際上是弦線與軸交點的橫坐標.這種算法因此而稱為弦截法.弦截法與Newton法的區(qū)別

弦截法在求時要用到前面兩步的結(jié)果，稱為多點迭代法.

切線法在計算時只用到前一步的值,故稱之為單點迭代.

例5.1.8用Newton迭代法和弦截法解方程

取作為開始值，解弦截法的收斂速度也是相當快的Newton迭代格式為：弦截法迭代格式為：——密勒（Müller）法2、

拋物線法

設(shè)已知方程的三個近似根，以這三點為節(jié)點構(gòu)造二次

幾何上，這種方法的基本思想是用拋物線與軸的交點作為所求根的近似位置，如圖.插值多項式，

的一個零點作為新的近似根。并適當選取插值多項式其中，有兩個零點：

式中

問題是該如何確定.

假定在三個近似根中，更接近所求的根，為了保證精度，選較接近的一個值作為新的近似根

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