2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國版)專題09一元二次方程及其應(yīng)用（33題）含答案及解析

專題09一元二次方程及其應(yīng)用（33題）一、單選題1．（2024·吉林·中考真題）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是(

)A． B．C． D．3．（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（

）A．1 B． C． D．1或4．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一種藥品原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（

）A． B． C． D．6．（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．7．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．8．（2024·北京·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．4 D．169．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．10．（2024·四川廣安·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．11．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達(dá)到．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，則符合題意得方程是（

）A． B．C． D．12．（2024·貴州·中考真題）一元二次方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，13．（2024·四川樂山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（

）A． B． C． D．614．（2024·云南·中考真題）兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為60元．設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題15．（2024·山東·中考真題）若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．16．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程的一個根為1，則．17．（2024·江蘇連云港·中考真題）關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．18．（2024·四川涼山·中考真題）已知，則的值為．19．（2024·湖南·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為．20．（2024·河南·中考真題）若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為．21．（2024·重慶·中考真題）隨著經(jīng)濟復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是．22．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個根，則的值為．23．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：例如：，．若，則的值為．24．（2024·四川成都·中考真題）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．25．（2024·山東煙臺·中考真題）若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為．26．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程的兩根分別為，，則的值為．27．（2024·四川瀘州·中考真題）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是．三、解答題28．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）解方程組：．29．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：下圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第行有個點……容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前4行的點數(shù)之和為10．(1)探索：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為_____，前15行的點數(shù)之和為______，那么，前行的點數(shù)之和為______(2)體驗：三角點陣中前行的點數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？30．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根和．(1)填空：________，________；(2)求，；(3)已知，求的值．31．（2024·廣東廣州·中考真題）關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)化簡：．32．（2024·四川南充·中考真題）已知，是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)若，且，，都是整數(shù)，求的值．33．（2024·四川遂寧·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值．專題09一元二次方程及其應(yīng)用（33題）一、單選題1．（2024·吉林·中考真題）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟練掌握開平方法解方程是解題的關(guān)鍵．分別對每一個選項運用直接開平方法進行解方程即可判斷．【詳解】解：A、，故該方程無實數(shù)解，故本選項不符合題意；B、，解得：，故本選項符合題意；C、，，解得，故本選項不符合題意；D、，，解得，故本選項不符合題意．故選：B．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意得出原方程中，，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是和；∴，又∵小冬寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．∴A.中，，，故該選項不符合題意；B.中，，，故該選項符合題意；C.中，，，故該選項不符合題意；D.中，，，故該選項不符合題意；故選：B．3．（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（

）A．1 B． C． D．1或【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．由題意得方程，利用公式法求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：或（舍）故選：C．4．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到且，即，然后解不等式組即可得到的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且，即，解得：，的取值范圍是且．故選：D．5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一種藥品原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)每次降價的百分率為，根據(jù)原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，列出方程進行求解即可．【詳解】解：設(shè)每次降價的百分率為，由題意，得：，解得：（舍去）；故選C．6．（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數(shù)不為．由一元二次方程的定義，可知；一根是，代入可得，即可求答案．【詳解】解：是關(guān)于的一元二次方程，，即由一個根，代入，可得，解之得；由得；故選A7．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B．8．（2024·北京·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．4 D．16【答案】C【分析】根據(jù)方程的根的判別式即可．本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵方程有兩個相等的實數(shù)根，，∴，∴，解得．故選C．9．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當(dāng)時，方程的兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷．【詳解】解：A．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意；B．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；C．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；D．，該方程有兩個相等實數(shù)根，故D選項不符合題意；故選：D．10．（2024·四川廣安·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根．由關(guān)于的一元二次方程兩個不相等的實數(shù)根，可得且，解此不等式組即可求得答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，，，的取值范圍是：且．故選：A．11．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達(dá)到．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，則符合題意得方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件．設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)2023年底森林覆蓋率2021年底森林覆蓋率，據(jù)此即可列方程求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得即，故選：B．12．（2024·貴州·中考真題）一元二次方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【詳解】解∶，∴，∴或，∴，，故選∶B．13．（2024·四川樂山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩實數(shù)根為，則．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后通分，，從而得到關(guān)于p的方程，解方程即可．【詳解】解：，，而，，，故選：A．14．（2024·云南·中考真題）兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為60元．設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)甲種藥品成本的年平均下降率為，利用現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本年（平均下降率），即可得出關(guān)于的一元二次方程．【詳解】解：甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意可得，故選：B．二、填空題15．（2024·山東·中考真題）若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：．故答案為：．16．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程的一個根為1，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入原方程，列出關(guān)于的方程，然后解方程即可．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一個根為，滿足一元二次方程，，解得，．故答案為：．17．（2024·江蘇連云港·中考真題）關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關(guān)系．根據(jù)題意得，進行計算即可得．【詳解】解：若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，，，故答案為：．18．（2024·四川涼山·中考真題）已知，則的值為．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．將代入，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，，要進行舍解．【詳解】解：∵，∴，將代入得，，即：，，∴或，∵，∴舍，∴，故答案為：3．19．（2024·湖南·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為．【答案】2【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)．一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；有兩個相等的實數(shù)根，則；沒有實數(shù)根，則．據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：故答案為：220．（2024·河南·中考真題）若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為．【答案】/【分析】本題考查一元二次方程根與判別式的關(guān)系．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，該方程沒有實數(shù)根是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根與其判別式的關(guān)系可得：，再求解即可．【詳解】解∶∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，故答案為：．21．（2024·重慶·中考真題）隨著經(jīng)濟復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)平均增長率為x，然后根據(jù)題意可列方程進行求解．【詳解】解：設(shè)平均增長率為x，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）；故答案為：．22．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)m是方程的一個根，可得出，再化簡代數(shù)式，整體代入即可求解．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，故答案為：．23．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：例如：，．若，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確新運算的定義．根據(jù)新定義運算法則列出方程求解即可．【詳解】解：∵，而，∴①當(dāng)時，則有，解得，；②當(dāng)時，，解得，綜上所述，x的值是或，故答案為：或．24．（2024·四川成都·中考真題）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】7【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式和已知式子的值，求代數(shù)式的值．先利用已知條件求出，，從而得到，再將原式利用完全平方公式展開，利用替換項，整理后得到，再將代入即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，則∴故答案為：725．（2024·山東煙臺·中考真題）若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為．【答案】6【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的兩根時，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，∴故答案為：6．26．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程的兩根分別為，，則的值為．【答案】/0.5【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程的兩根分別為，，則，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后把化簡為然后整體代入即可．【詳解】解：方程的兩根分別為，，，，．故答案為：．27．（2024·四川瀘州·中考真題）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形求值．對于一元二次方程，若該方程的兩個實數(shù)根為，，則，．先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再根據(jù)完全平方公式的變形，求出，由此即可得到答案．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，，，，，．故答案為：．三、解答題28．（2024·上海·中考真題）解方程組：．【答案】，或者，．【分析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是利用代入法進行求解．【詳解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴方程組的解為或者．29．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：下圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第行有個點……容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前4行的點數(shù)之和為10．(1)探索：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為_____，前15行的點數(shù)之和為______，那么，前行的點數(shù)之和為______(2)體驗：三角點陣中前行的點數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？【答案】(1)36；120；(2)不能(3)一共能擺放20排．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計算即可求解；（2）根據(jù)前n行的點數(shù)和是500，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可判斷；（2）先得到前n行的點數(shù)和是，再根據(jù)題意得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．【詳解】（1）解：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為，前15行的點數(shù)之和為，那么，前行的點數(shù)之和為；故答案為：36；120；；（2）解：不能，理由如下：由題意得，得，，∴此方程無正整數(shù)解，所以三角點陣中前n行的點數(shù)和不能是500；故答案為：不能；（3）解：同理，前行的點數(shù)之和為，由題意得，得，即，解得或（舍去），∴一共能擺放20排．30．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根和．(1)填空：________，________；(2)求，；(3)已知，求的值．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（）利用根和系數(shù)的關(guān)系即可求解；（）變形為，再把根和系數(shù)的關(guān)系代入計算即可求解，由一元二次方程根的定義可得，即得，進而可得；（）把方程變形為，再把根和系數(shù)的關(guān)系代入得，可得或，再根據(jù)根的判別式進行判斷即可求解．【詳解】（1）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，故答案為：，；（2）解：∵，，∴，∵關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根和，∴，∴，∴；（3）