2024年中考數(shù)學真題分類匯編(全國版)專題36函數(shù)綜合壓軸題（27題）含答案及解析

專題36函數(shù)綜合壓軸題（27題）一、解答題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．(1)求拋物線的解析式；(2)點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；(3)當時，求點P的坐標；(4)在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與實踐問題情境在一次綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象．紙片和滿足，．下面是創(chuàng)新小組的探究過程．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，取的中點，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點與點重合．當旋轉紙片交邊于點、交邊于點時，設，，請你探究出與的函數(shù)關系式，并寫出解答過程．問題解決（2）如圖2，在（1）的條件下連接，發(fā)現(xiàn)的周長是一個定值．請你寫出這個定值，并說明理由．拓展延伸（3）如圖3，當點在邊上運動（不包括端點、），且始終保持．請你直接寫出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結果保留根號）．

3．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數(shù)學小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點：請將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為C，該數(shù)學興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為．①此時點的坐標為________；②將點坐標代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設C點坐標為①此時點B的坐標為________；②將點B坐標代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【應用】如圖4，已知平面直角坐標系中有A，B兩點，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點，且和的頂點P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于，兩點（點在點左側），頂點為，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖1，若是軸正半軸上一點，連接．當點的坐標為時，求證：；(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點落在第四象限的點處，過點的直線與線段相交于點，與軸負半軸相交于點．當時，與是否相等？請說明理由．5．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當時，y的取值范圍是，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．7．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．8．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．9．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標系中，點在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．(1)求的值；(2)若點在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．10．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點，在第一象限的拋物線上取一點，過點作軸于點，交于點．(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；(2)是否存在點，使得和相似？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；(3)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點重合），過點作軸的垂線交于點，連接，當四邊形為菱形時，求點的橫坐標．11．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．(1)求平移后新拋物線的表達式；(2)直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標．12．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)當兩點關于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；(3)設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．13．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點，與軸相交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線上方拋物線上的一個動點（不與重合），過點作直線軸于點，交直線于點，當時，求點坐標；(3)拋物線上是否存在點使的面積等于面積的一半？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)如圖，當時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接．求證：平分；(3)當，時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點．若的最大值為4，求的值．15．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；(2)如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；(3)如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．16．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設的面積為，點的運動時間為秒．(1)求證：；(2)求與的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；(3)求為何值時，線段的長度最短．17．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．18．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點A．(1)若，求拋物線的頂點坐標；(2)若線段（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過點，頂點為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點為P．(1)直接寫出a的值和點Q的坐標．(2)嘉嘉說：無論t為何值，將的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在上．淇淇說：無論t為何值，總經(jīng)過一個定點．請選擇其中一人的說法進行說理．(3)當時，①求直線PQ的解析式；②作直線，當l與的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標．(4)設與的交點A，B的橫坐標分別為，且．點M在上，橫坐標為．點N在上，橫坐標為．若點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．21．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．(1)求拋物線的對稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點以每秒的速度順時針旋轉秒后得到直線，當時，直線交拋物線于，兩點．①求的值；②設的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．22．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．(1)求的值．(2)為函數(shù)圖象上一點，滿足，求點的橫坐標．(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點，記，記頂點橫坐標為．①求與的函數(shù)解析式．②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點，直接寫出的取值范圍．23．（2024·湖南長沙·中考真題）已知四個不同的點，，，都在關于x的函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象上．(1)當A，B兩點的坐標分別為，時，求代數(shù)式的值；(2)當A，B兩點的坐標滿足時，請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)，并說明理由；(3)當時，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點，且A，B，C，D四點的坐標滿足：，．請問是否存在實數(shù)，使得，，這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由（注：表示一條長度等于的m倍的線段）．24．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，頂點為P．(1)求拋物線的解析式及P點坐標；(2)拋物線交y軸于點C，經(jīng)過點A，B，C的圓與y軸的另一個交點為D，求線段的長；(3)過點P的直線分別與拋物線、直線交于x軸下方的點M，N，直線交拋物線對稱軸于點E，點P關于E的對稱點為Q，軸于點H．請判斷點H與直線的位置關系，并證明你的結論．25．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式；(2)點是直線下方對稱軸右側拋物線上一動點，過點作軸交拋物線于點，作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)將拋物線沿射線方向平移個單位，在取得最大值的條件下，點為點平移后的對應點，連接交軸于點，點為平移后的拋物線上一點，若，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．26．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點坐標為，點坐標為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點是直線上方拋物線上一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為點，請?zhí)骄渴欠裼凶畲笾担咳粲凶畲笾?，求出最大值及此時點的坐標；若沒有最大值，請說明理由．(3)點為該拋物線上的點，當時，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．27．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點，頂點為．點C為的中點．(1)求拋物線的表達式；(2)過點C作，垂足為H，交拋物線于點E．求線段的長．(3)點D為線段上一動點（O點除外），在右側作平行四邊形．①如圖2，當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；②如圖3，連接，，求的最小值．

專題36函數(shù)綜合壓軸題（27題）一、解答題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．(1)求拋物線的解析式；(2)點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；(3)當時，求點P的坐標；(4)在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結合思想成為解題的關鍵．（1）先根據(jù)題意確定點A、C的坐標，然后運用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標與圖形即可解答；（3）先證明可得，設，則,可得，即，求得可得m的值，進而求得點P的坐標；（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關于對稱軸的點,則，由兩點間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關系可得即可解答．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，∴當時，，即；當時，，即；∵，∴設拋物線的解析式為，把代入可得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵，，∴,∴，如圖：當，∴,即；如圖：當，∴,即；如圖：當，∴,即；綜上，點D的坐標為．（3）解：如圖：∵軸，∴，∵軸，∴，∵，∴,∴,∵設，則,∴，∴，解得：（負值舍去），當時，，∴．（4）解：∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對稱軸為：直線，如圖：將線段向右平移單位得到,∴四邊形是平行四邊形，∴,即,作關于對稱軸的點,則∴,∵，∴的最小值為．故答案為．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與實踐問題情境在一次綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象．紙片和滿足，．下面是創(chuàng)新小組的探究過程．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，取的中點，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點與點重合．當旋轉紙片交邊于點、交邊于點時，設，，請你探究出與的函數(shù)關系式，并寫出解答過程．問題解決（2）如圖2，在（1）的條件下連接，發(fā)現(xiàn)的周長是一個定值．請你寫出這個定值，并說明理由．拓展延伸（3）如圖3，當點在邊上運動（不包括端點、），且始終保持．請你直接寫出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結果保留根號）．

【答案】（1），見解析；（2）2，見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意證明，得出關系式，進而求得，代入比例式，即可求解；（2）方法一：勾股定理求得，將將（1）中代入得，進而根據(jù)三角形的周長公式，即可求解；方法二：證明，，過作交于點，作交于點，作交于點．證明，，得出，得出，進而根據(jù)三角形的周長公式可得的周長．方法三：過作交于點，作交于點，在上截取一點，使，連接．得出，，則，同方法二求得，進而即可求解；（3）分兩種情況討論，于的夾角；①過點作于點，作的垂直平分線交于點，連接，在中，設，由勾股定理得，，進而根據(jù)正確的定義，即可求解；②過點作于點，作的垂直平分線交于點，連接，在中，設，同①即可求解．．【詳解】操作發(fā)現(xiàn)解：（1）∵，且．∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中，，∴，∵是的中點，點與點重合，∴，∴，∴．

問題解決（2）方法一：解：的周長定值為2．理由如下：∵，，，∴，，在中，∴．將（1）中代入得：∴．∵，又∵，∴，∴．∵的周長，∴的周長．方法二：解：的周長定值為2．理由如下：∵和是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，，，∵O為AB的中點，∴，∴，又∵，∴，，，∴過作交于點，作交于點，作交于點．∴．又∵，，∴，，∴，，∴．∵的周長．又∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵是的中點，點是的中點，同理點是的中點．∴，∴的周長．

方法三：解：的周長定值為2．理由如下：過作交于點，作交于點，在上截取一點，使，連接．∵是等腰直角三角形，為的中點，∴平分，∴，∴，∴，．∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的周長．又∵，，，∴，∴．∵，，∴．∵是的中點，點是的中點，同理點是的中點．∴，∴的周長．

拓展延伸（3）或

①解：∵，，∴，過點作于點，作的垂直平分線交于點，連接，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，設，∴，由勾股定理得，，∴，∴在中，．

②解：∵，，∴，過點作于點，作的垂直平分線交于點，連接．∵，∴，∴，在中，設，∴，由勾股定理得，，∴，∴在中，．∴或．

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，解直角三角形，旋轉的性質，函數(shù)解析式，熟練掌握相似三角形的性質與判定，解直角三角形是解題的關鍵．3．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數(shù)學小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點：請將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為C，該數(shù)學興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為．①此時點的坐標為________；②將點坐標代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設C點坐標為①此時點B的坐標為________；②將點B坐標代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【應用】如圖4，已知平面直角坐標系中有A，B兩點，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點，且和的頂點P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．【答案】(1)圖見解析，；(2)方案一：①；②；方案二：①；②；(3)a的值為或．【分析】（1）描點，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)圖形寫出點或點B的坐標，再代入求解即可；（3）先求得，，的頂點坐標為，再求得頂點距線段的距離為，得到的頂點距線段的距離為，得到的頂點坐標為或，再分類求解即可．【詳解】（1）解：描點，連線，函數(shù)圖象如圖所示，觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，設拋物線的解析式為，由題意得，解得，∴y與x的關系式為；（2）解：方案一：①∵，，∴，此時點的坐標為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；方案二：①∵C點坐標為，，，∴，此時點B的坐標為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；（3）解：根據(jù)題意和的對稱軸為，則，，的頂點坐標為，∴頂點距線段的距離為，∴的頂點距線段的距離為，∴的頂點坐標為或，當?shù)捻旤c坐標為時，，將代入得，解得；當?shù)捻旤c坐標為時，，將代入得，解得；綜上，a的值為或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于，兩點（點在點左側），頂點為，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖1，若是軸正半軸上一點，連接．當點的坐標為時，求證：；(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點落在第四象限的點處，過點的直線與線段相交于點，與軸負半軸相交于點．當時，與是否相等？請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)相等，理由見解析【分析】（1）根據(jù)頂點為，利用求出，再將代入解析式即可求出，即可得出函數(shù)表達式；（2）延長交x軸于點D，由（1）知拋物線的解析式表達式為，求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，進而求出，則，利用兩點間距離公式求出，易證，得到，由，即可證明；（3）過點作軸，交x軸于點G，利用拋物線解析式求出，求出，根據(jù)，易證，得到，由，即，求出，得到，即點的橫坐標為，由折疊的性質得到，求出直線的解析式為，進而求出，得到，利用三角形面積公式求出，則，即可證明結論．【詳解】（1）解：該拋物線的頂點為，即該拋物線的對稱軸為，，，將代入解析式，則，，拋物線的解析式表達式為；（2）證明：如圖1，延長交x軸于點D，由（1）知拋物線的解析式表達式為，則，，點的坐標為，設直線的解析式為，則，解得：直線的解析式為，則，，，，，，，，，，，，；（3）解：過點作軸，交x軸于點G，令，即，解得：，根據(jù)題意得：，，軸，軸，，，，，即，，，點的橫坐標為，由折疊的性質得到，設直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，，，，，，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，涉及二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊的性質，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，二次函數(shù)與面積綜合問題，正確作出輔助線構造三角形相似是解題的關鍵．5．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進而根據(jù)得出，連接，設交軸于點，則得出是等腰直角三角形，進而得出，則點與點重合時符合題意，，過點作交拋物線于點，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點和點，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當時，，則∵，則，對稱軸為直線設直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當時，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設交軸于點，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點與點重合時符合題意，如圖所示，過點作交拋物線于點，設直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，，∴∵點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，設其中∴，①當時，，解得：或②當時，，解得：③當時，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．6．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當時，y的取值范圍是，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，菱形的性質，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分和，兩種情況，結合二次函數(shù)的增減性進行求解即可．（3）分為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱，∴，解得：，∴；（2）∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴拋物線上點到對稱軸上的距離越遠，函數(shù)值越小，∵時，，①當時，則：當時，函數(shù)有最大值，即：，解得：或，均不符合題意，舍去；②當時，則：當時，函數(shù)有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；當時，解得：，當時，，∴，，設直線的解析式為，把代入，得：，∴，設，則：，∴，，，當B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：①當為邊時，則：，即，解得：（舍去）或，此時菱形的邊長為；②當為對角線時，則：，即：，解得：或（舍去）此時菱形的邊長為：；綜上：存在以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2．7．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設直線為，由得，得，設，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：，，作點關于直線的對稱點，連接，則有，過點作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設直線為，由得，∴，∴，

設，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：，，作點關于直線的對稱點，連接，

由題意得直線，則，∴，過點作于F，則．則，，

在中，，

即當時，，此時，故的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對稱的性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．8．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)拋物線與交于定點【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知則有；（2）由題意得拋物線：，則設，可求得，結合題意可得直線解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，即可求得，進一步解得點，過D作于點H，則，即可求得；（3）設可求得直線解析式為，過點D作，可得，結合題意得設拋物線解析式為，由于過點，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點．【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點，∴，整理得，解得∴則；（2）當時，拋物線：，則設，則，設直線解析式為，∵點D在直線上，∴，解得，則直線解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得，∴點，過點D作于點H，則，則；（3）設直線解析式為，則，解得，那么直線解析式為，過點D作，如圖，則，∵，∴，∵將沿方向平移得到，∴由題意知拋物線平移得到拋物線，設拋物線解析式為，∵點，都落在拋物線上

∴，解得，則拋物線解析式為∵整理得，解得，∴拋物線與交于定點．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質、兩點之間的距離、一次函數(shù)的性質、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質和拋物線過定點，解題的關鍵是熟悉二次函數(shù)的性質和平移過程中數(shù)形結合思想的應用．9．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標系中，點在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．(1)求的值；(2)若點在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；(3)【分析】（1）把點代入可得，再利用拋物線的對稱軸公式可得答案；（2）把點代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質可得答案；（3）由根與系數(shù)的關系可得，，結合，，再建立不等式組求解即可.【詳解】（1）解：∵點在二次函數(shù)的圖像上，∴，解得：，∴拋物線為：，∴拋物線的對稱軸為直線，∴；（2）解：∵點在的圖像上，∴，解得：，∴拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，∵，∴當時，函數(shù)有最小值為，當時，函數(shù)有最大值為∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；（3）∵的圖像與軸交點為，．∴，，∵，∴，∵，∴即，解得：.【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練的利用各知識點建立方程或不等式組解題是關鍵.10．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點，在第一象限的拋物線上取一點，過點作軸于點，交于點．(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；(2)是否存在點，使得和相似？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；(3)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點重合），過點作軸的垂線交于點，連接，當四邊形為菱形時，求點的橫坐標．【答案】(1)(2)點的坐標為或(3)【分析】（1）先求出A、B的坐標，然后代入，求出b、c的值即可；（2）由對頂角的性質性質知，若存在和相似，則有和兩種情況，然后分情況討論，利用相似三角形的性質求解即可；（3）設點，，，，則，，根據(jù)菱形的性質得出，可求出，過點作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根據(jù)菱形的性質得出，解方程求出m的值即可．【詳解】（1）解：令，則，則；令，則∴，把，代入，得：解得：∴這條拋物線所對應的函數(shù)表達式為：；（2）解：存在點，使得和相似．設點，則，，∴，，，，∵和相似，∴或①如圖1，當時，∴∴點縱坐標為6∴，解得：或∴②如圖2，當時，過B作于H∴∴∴∴，解得：（舍去）或∴綜上所述，點的坐標為或．（3）如圖3，∵四邊形為菱形∴，，設點，，，∴，∴，即∵∴，即或∵，∴，∴過點作于∴∴∴，即∴∵∴∴解得：（不合題意，舍去）或故答：點的橫坐標為【點睛】本題是常見的中考數(shù)學壓軸題型，綜合性比較強，涉及到知識點較多；主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質，菱形的性質；解題時要能夠靈活運用所學的數(shù)學知識，要會分類討論．11．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．(1)求平移后新拋物線的表達式；(2)直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標．【答案】(1)或；(2)①；②．【分析】（1）設平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設，則，，結合小于3，可得，結合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當時，可得，結合平移的性質可得答案如圖，當時，則，過作于，證明，可得，設，則，，，再建立方程求解即可.【詳解】（1）解：設平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線為；（2）解：①如圖，設，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當時，∴軸，∴，∴，由平移的性質可得：，即；如圖，當時，則，過作于，∴，∴，∴，設，則，，，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上：；【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質，相似三角形的判定與性質，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵.12．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)當兩點關于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；(3)設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點坐標表示兩點距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）可求，設，由，得，則，解得，（舍去），故；（3）分當點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，當點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，當點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方，得到這個面積是關于m的二次函數(shù)，進而求最值即可．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，∴二次函數(shù)的表達式為；（2）解：如圖：由得拋物線對稱軸為直線，∵兩點關于拋物線對軸對稱，∴，設，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴；（3）存在，理由：當點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，設點，則點，設直線交軸于點，設直線表達式為：，代入，得：，解得：，∴直線的表達式為：，令，得則，則，則，即存在最小值為；當點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，同上可求直線表達式為：，令，得則，則，則即存在最小值為；當點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方同理可求，即存在最小值為，綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．13．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點，與軸相交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線上方拋物線上的一個動點（不與重合），過點作直線軸于點，交直線于點，當時，求點坐標；(3)拋物線上是否存在點使的面積等于面積的一半？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標為(3)的坐標為或或或【分析】（1）把代入求出，再用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；（2）設，則，，由，可得，解出的值可得的坐標為；（3）過作軸交直線于，求出，知，故，設，則，可得，，根據(jù)的面積等于面積的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．【詳解】（1）解：把代入得：，，把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：設，則，，，，解得或（此時不在直線上方，舍去）；的坐標為；（3）解：拋物線上存在點，使的面積等于面積的一半，理由如下：過作軸交直線于，過點B作，延長交x軸于點F，如圖：在中，令得，解得或，，，，，，設，則，，∵，的面積等于面積的一半，，，或，解得或，的坐標為或或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標軸交點問題，解一元二次方程，三角形面積等知識，解題的關鍵是用含字母的式子表示相關點坐標和相關線段的長度．14．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)如圖，當時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接．求證：平分；(3)當，時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點．若的最大值為4，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結合平行線的性質即可證明結論；（3）設，則，，求出當時，，得到點在的上方，設，故，其對稱軸為，分為和兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：分別將，代入，得，解得．函數(shù)表達式為；（2）解：連接，

，．當時，，即點，當時，，即點．，，，，，在中，．，，．，．．平分．（3）解：設，則，．當時，．令，解得，．，，點在的上方（如圖1）．

設，故，其對稱軸為，且．①當時，即．由圖2可知：

當時，取得最大值．解得或（舍去）．②當時，得，由圖3可知：

當時，取得最大值．解得（舍去）．綜上所述，的值為．【點睛】本題考查拋物線與角度的綜合問題，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的解析式及最值等問題，關鍵是利用二次函數(shù)的性質求最值．15．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；(2)如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；(3)如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．【答案】(1)或；(2)；(3)．【分析】（）設，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質得出，則，轉化為，解方程即可；（）設，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質得出，則，轉化為然后由二次函數(shù)的性質求解即可；（）連接，由四邊形是正方形，得，即點對角線所在直線上運動，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當三點共線時，有最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：設，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴,∴，∴，即，則，解得：或，∴或；（2）設，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，當時，有最大，最大值為；（3）連接，∵四邊形是正方形，∴，即點在對角線所在直線上運動，如圖，作關于的對稱點，連接，過作于點，∴，四邊形為矩形，則點三點共線，，∴，∴，∵，點是的中點，∴，∴，∴當三點共線時，有最小值，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點之間線段最短等知識，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．16．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設的面積為，點的運動時間為秒．(1)求證：；(2)求與的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；(3)求為何值時，線段的長度最短．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（）設與相交于點，證明，可得，，利用三角形外角性質可得，即得，即可求證；（）過點作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三線合一可得，即可由三角形面積公式得到與的函數(shù)表達式，最后由，可得自變量的取值范圍；（）證明為等邊三角形，可得，可知線段的長度最短，即的長度最短，當時，取最短，又由菱形的性質可得為等邊三角形，利用三線合一求出即可求解；本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，解直角三角形，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，垂線段最短，掌握菱形的性質及等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：設與相交于點，∵四邊形為菱形，∴，，，∵∴，在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∴；（2）解：過點作于，則，∵，∴，∵四邊形為菱形，，∴，，即，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴線段的長度最短，即的長度最短，當時，取最短，如圖，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴當時，線段的長度最短．17．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．【答案】(1)(2)為定值3，證明見解析(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；（3）設，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長度的最大值．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，∴，∴，∴；（2）當時，，∴，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴，設，則，，∴，．∴，∴的值為定值；（3）設，則，設直線的解析式為，∴，∴，∴，當時，，∴當時，線段長度的最大值．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．18．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點A．(1)若，求拋物線的頂點坐標；(2)若線段（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的特征．數(shù)形結合解題是解題的關鍵．（1）把代入后再將拋物線化成頂點式為，即可求頂點坐標；（2）根據(jù)整點個數(shù)的范圍確定點A縱坐標的范圍；（3）結合圖象確定有4個“完美點”時a的最大和最小值，進而確定a的范圍．【詳解】（1）解：當時，拋物線．∴頂點坐標．（2）令，則，∴，∵線段上的“完美點”的個數(shù)大于3個且小于6個，∴“完美點”的個數(shù)為4個或5個．∵，∴當“完美點”個數(shù)為4個時，分別為，，，；當“完美點”個數(shù)為5個時，分別為，，，，．∴．∴a的取值范圍是．（3）根據(jù)，得拋物線的頂點坐標為，過點，，．∵拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，顯然，“完美點”，，符合題意．下面討論拋物線經(jīng)過，的兩種情況：①當拋物線經(jīng)過時，解得此時，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點”有，，，，共4個．②當拋物線經(jīng)過時，解得此時，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點”有，，，，，，共6個．∴a的取值范圍是．19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標為或(3)的坐標為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；（3）先求出點A，B坐標，再求出直線解析式，過作軸于，過作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時；②當在第一象限，在第四象限時；③當在第四象限，在第三象限時；④當在第四象限，在第一象限時．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：過作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，設，則，，的面積為3，，即，解得或，的坐標為或；（3）解：在直線上存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在中，令得，解得或，，，由，得直線解析式為，設，，過作軸于，過作軸于，①，當與重合，與重合時，是等腰直角三角形，如圖：

此時；②當在第一象限，在第四象限時，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（小于0，舍去）或，，的坐標為；③當在第四象限，在第三象限時，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，同理可得，解得或（大于0，舍去），，的坐標為；④當在第四象限，在第一象限，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（舍去）或，，的坐標為；綜上所述，的坐標為或或或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計算、特殊三角形存在性問題、等腰直角三角形的性質等，難度較大，熟練運用數(shù)形結合及分類討論思想是解題的關鍵．20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過點，頂點為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點為P．(1)直接寫出a的值和點Q的坐標．(2)嘉嘉說：無論t為何值，將的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在上．淇淇說：無論t為何值，總經(jīng)過一個定點．請選擇其中一人的說法進行說理．(3)當時，①求直線PQ的解析式；②作直線，當l與的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標．(4)設與的交點A，B的橫坐標分別為，且．點M在上，橫坐標為．點N在上，橫坐標為．若點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】(1)，(2)兩人說法都正確，理由見解析(3)①；②或(4)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點式即可得到頂點坐標；（2）把向左平移2個單位長度得到對應點的坐標為：，再檢驗即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過定點；（3）①先求解的坐標，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點，交點，再進一步求解即可；（4）如圖，由題意可得是由通過旋轉，再平移得到的，兩個函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與重合，與重合，再進一步利用中點坐標公式解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，頂點為Q．∴，解得：，∴拋物線為：，∴；（2）解：把向左平移2個單位長度得到對應點的坐標為：，當時，∴，∴在上，∴嘉嘉說法正確；∵，當時，，∴過定點；∴淇淇說法正確；（3）解：①當時，，∴頂點，而，設為，∴，解得：，∴為；②如圖，當（等于6兩直線重合不符合題意），∴，∴交點，交點，由直線，設直線為，∴，解得：，∴直線為：，當時，，此時直線與軸交點的橫坐標為，同理當直線過點，直線為：，當時，，此時直線與軸交點的橫坐標為，（4）解：如圖，∵，，∴是由通過旋轉，再平移得到的，兩個函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與重合，與重合，∵，，∴的橫坐標為，∵，，∴的橫坐標為，∴，解得：；【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，一次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的平移與旋轉，以及特殊四邊形的性質，理解題意，利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．21．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．(1)求拋物線的對稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點以每秒的速度順時針旋轉秒后得到直線，當時，直線交拋物線于，兩點．①求的值；②設的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．【答案】(1)對稱軸為直線：；(2)(3)①，②的最大值為，拋物線為；【分析】（1）直接利用對稱軸公式可得答案；（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）①如圖，當時，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計算，當時，可得，則，，可得，可得當時，的最小值為，再進一步求解可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線對稱軸為直線：；（2）解：∵直線過點，∴，如圖，∵直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且，∴在的左邊，，∵在拋物線的對稱軸上，∴，∴，設，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如圖，當時，與拋物線交于，∵直線，∴，∴，解得：，②∵，當時，，∴，∴，，∴，∵，∴當時，的最小值為，∴此時，∵對于任意的，均有成立，∴的最大值為，∴拋物線為；【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質，一次函數(shù)的性質，坐標與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關系，理解題意，利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．22．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．(1)求的值．(2)為函數(shù)圖象上一點，滿足，求點的橫坐標．(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點，記，記頂點橫坐標為．①求與的函數(shù)解析式．②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)①；②的取值范圍為或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得，，作軸于點，設，分當點在軸上方和點在軸下方時，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質，列式求解即可；（3）①利用平移的性質得圖象的解析式為，得到圖象與軸交于點的坐標，據(jù)此列式計算即可求解；②先求得或，中含，，三個整數(shù)點（不含邊界），再分三種情況討論，分別列不等式組，求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)交軸于，∴，解得；（2）解：∵，∴，令，則，解得或，令，則，∴，，，作軸于點，設，當點在軸上方時，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；當點在軸下方時，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；∴或；（3）解：①∵將二次函數(shù)沿水平方向平移，∴縱坐標不變是4，∴圖象的解析式為，∴，∴，由題意知：C、D不重合，則，∴；②由①得，則函數(shù)圖象如圖，∵隨增加而增加，∴或，中含，，三個整數(shù)點（不含邊界），當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，當時，，當時，，∴，∴，或，∴；∵或，∴；當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，當時，，當時，，∴，∴或，，∴；∵或，∴；當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，此情況不存在，舍去，綜上，的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式及二次函數(shù)與線段的交點問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質及數(shù)形結合法是解題的關鍵．23．（2024·湖南長沙·中考真題）已知四個不同的點，，，都在關于x的函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象上．(1)當A，B兩點的坐標分別為，時，求代數(shù)式的值；(2)當A，B兩點的坐標滿足時，請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)，并說明理由；(3)當時，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點，且A，B，C，D四點的坐標滿足：，．請問是否存在實數(shù)，使得，，這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由（注：表示一條長度等于的m倍的線段）．【答案】(1)(2)此函數(shù)圖象與x軸的公共點個數(shù)為兩個，理由見解析(3)存在兩個m的值符合題意；當時，此時該函數(shù)的最小值為；當時，此時該函數(shù)的最小值為【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與一元二次方程的關系、二次函數(shù)與x軸交點問題、直角三角形存在性問題等，熟練掌握相關知識和分類討論是解題關鍵.（1）將代入得到關于、的關系式，再整體代入求解即可;（2）解方程求解，再根據(jù)的正負分類討論即可；（3）由內(nèi)角之比可得出這是一個的直角三角形，再將線段表示出來，利用特殊角的邊角關系建立方程即可.【詳解】（1）將，代入得，②-①得，即．所以．（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點個數(shù)為兩個．方法1：由，得．可得或．當時，，此拋物線開口向上，而A，B兩點之中至少有一個點在x軸的下方，此時該函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點；當時，，此拋物線開口下，而A，B兩點之中至少有一個點在x軸的上方，此時該函數(shù)圖象與x軸也有兩個公共點．綜上所述，此函數(shù)圖象與x軸必有兩個公共點．方法2：由，得．可得或．所以拋物線上存在縱坐標為的點，即一元二次方程有解．所以該方程根的判別式，即．因為，所以．所以原函數(shù)圖象與x軸必有兩個公共點．方法3：由，可得或．當時，有，即，所以．此時該函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點．當時，同理可得，此時該函數(shù)圖象與x軸也有兩個公共點．綜上所述，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個公共點．（3）因為，所以該函數(shù)圖象開口向上．由，得，可得．由，得，可得．所以直線均與x軸平行．由（2）可知該函數(shù)圖象與x軸必有兩個公共點，設，．由圖象可知，即．所以的兩根為，，可得．同理的兩根為，，可得．同理的兩根為，，可得．由于，結合圖象與計算可得，．若存在實數(shù)，使得，這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為1：2：3，則此三角形必定為兩銳角分別為30°，60°的直角三角形，所以線段不可能是該直角三角形的斜邊．①當以線段為斜邊，且兩銳角分別為30°，60°時，因為，所以必須同時滿足：，．將上述各式代入化簡可得，且，聯(lián)立解之得，，解得符合要求．所以，此時該函數(shù)的最小值為．②當以線段為斜邊時，必有，同理代入化簡可得，解得．因為以線段為斜邊，且有一個內(nèi)角為60°，而，所以，即，化簡得符合要求．所以，此時該函數(shù)的最小值為．綜上所述，存在兩個m的值符合題意；當時，此時該函數(shù)的最小值為；當時，此時該函數(shù)的最小值為．24．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，頂點為P．(1)求拋物線的解析式及P點坐標；(2)拋物線交y軸于點C，經(jīng)過點A，B，C的圓與y軸的另一個交點為D，求線段的長；(3)過點P的直線分別與拋物線、直線交于x軸下方的點M，N，直線交拋物線對稱軸于點E，點P關于E的對稱點為Q，軸于點H．請判斷點H與直線的位置關系，并證明你的結論．【答案】(1)，(2)4(3)點H在直線上，見詳解【分析】（1）待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)解析式，再進行配方即可求點P坐標；（2）先由與的正切值相等得到，繼而可證明，再由垂徑定理得到；（3）將點代入得直線表達式為，則，而點E為中點，則，可求，聯(lián)立拋物線與直線表達式，得：，可求，可證明，得到，即可