初中中考數(shù)學(xué)函數(shù)專題專題28二次函數(shù)中的三角形問題含答案及解析

試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁專題28二次函數(shù)中的三角形問題知識(shí)對(duì)接考點(diǎn)一、二次函數(shù)中的三角形問題考點(diǎn)分析：二次函數(shù)與三角形的綜合解答題一般涉及到這樣幾個(gè)方面：1.三角形面積最值問題2.特殊三角形的存在問題包括等腰等邊和直角三角形。這類題目一般出現(xiàn)在壓軸題最后兩道上，對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用要求比較高。考點(diǎn)二、解決此類題目的基本步驟與思路1.抓住目標(biāo)三角形，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)2.根據(jù)所設(shè)未知數(shù)去表示三角形的底和高，一般常用割補(bǔ)法去求解三角形的面積從而得出面積的關(guān)系式3.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值.4.特殊三角形問題首先要畫出三角形的大概形狀，分類討論的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪兩條邊為要，直角三角形需要搞清楚哪個(gè)角作為直角都需要我們?nèi)シ诸愑懻摗Ｒc(diǎn)補(bǔ)充：1.簡單的直角三角形可以直接利用底乘高進(jìn)行面積的表示2.復(fù)雜的利用“補(bǔ)”的方法構(gòu)造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想3.利用“割”的方法時(shí)，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標(biāo)軸的垂線。4.利用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長度時(shí)注意要用大的減去小的。5.圍繞不同的直角進(jìn)行分類討論，注意檢驗(yàn)答案是否符合要求。6.在勾股定理計(jì)算復(fù)雜的情況下，靈活的構(gòu)造K字形相似去處理。要點(diǎn)補(bǔ)充：專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．如圖，直角邊長為1的等腰直角三角形與邊長為2的正方形在同一水平線上，三角形沿水平線從左向右勻速穿過正方形．設(shè)穿過時(shí)間為t，正方形與三角形不重合部分的面積為s（陰影部分），則s與t的大致圖象為（）試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁A． B．C． D．2.定義：若拋物線的頂點(diǎn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為“美麗拋物線”．如圖，直線：經(jīng)過點(diǎn)一組拋物線的頂點(diǎn)，，，…（為正整數(shù)），依次是直線上的點(diǎn)，這組拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)依次是：，，，…（為正整數(shù)）．若，當(dāng)為（）時(shí)，這組拋物線中存在美麗拋物線A．或 B．或 C．或 D．3．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若拋物線經(jīng)過圖中的三個(gè)格點(diǎn)，則以這三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對(duì)角線OB的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且這兩個(gè)交點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)是拋物線的內(nèi)接格點(diǎn)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則滿足上述條件且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是A．16 B．15 C．14 D．134．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如果試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁拋物線經(jīng)過圖中的三個(gè)格點(diǎn)，那么以這三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為該拋物線的“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”．設(shè)對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線與網(wǎng)格對(duì)角線OM的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，其頂點(diǎn)為C，如果△ABC是該拋物線的內(nèi)接格點(diǎn)三角形，AB=3，且點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)xA，xB，xC滿足xA＜xC＜xB，那么符合上述條件的拋物線條數(shù)是（）A．7 B．8 C．14 D．165．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿對(duì)角線AC剪開（如圖①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖②），當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積最大時(shí)，移動(dòng)的距離AA′等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.26．如圖，邊長分別為1和2的兩個(gè)等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動(dòng)，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．設(shè)小三角形移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）A． B．試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁C． D．7．如圖，正三角形和正三角形的邊，在同一條直線上，將向右平移，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止，設(shè)點(diǎn)平移的距離為，，．兩個(gè)三角形重合部分的面積為，現(xiàn)有一個(gè)正方形的面積為，已知，則S關(guān)于的函數(shù)圖像大致為（） B．C． D．8．以下說法正確的是（）A．三角形的外心到三角形三邊的距離相等B．順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形C．分式方程的解為x＝2D．將拋物線y＝2x2－2向右平移1個(gè)單位后得到的拋物線是y＝2x2－39．二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，下列說法：①該函數(shù)圖象過點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所圍成的三角形面積是；③若該函數(shù)的圖象開口向下，則m的取值范圍為；④當(dāng)，且時(shí)，y的最大值為．正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④10．以下四個(gè)命題：①如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，那么這個(gè)三角形是直角三角形；②在實(shí)數(shù)-7.5，，4，，-π，()2中，有4個(gè)有理數(shù)，2個(gè)無理數(shù)；試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁③有一個(gè)圓錐，與底面圓直徑是且體積為的圓柱等高，如果這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么它的母線長為；④二次函數(shù)，自變量的兩個(gè)值x1，x2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，若|x1-1|>|x2-1|，則a(y1-y2)>0．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．定義[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1－m，－1－m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m≠0時(shí)，點(diǎn)(1，0)一定在函數(shù)的圖象上；②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在時(shí)，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)m＞0，若拋物線的頂點(diǎn)與拋物線與x軸兩交點(diǎn)組成的三角形為等腰直角三角形，則，正確的結(jié)論是________．（填寫序號(hào)）12．如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，在拋物線y＝x2（x＞0）上取一點(diǎn)P，在y軸上取一點(diǎn)Q，使得以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A有____個(gè)．13．如圖，直線l：經(jīng)過點(diǎn)M(0，)，一組拋物線的頂點(diǎn)B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n為正整數(shù)），設(shè)x1＝d（0＜d＜1）若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則我們把這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．則當(dāng)d（0＜d＜1）的大小變化時(shí)美麗拋物線相應(yīng)的d的值是__．試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁14．如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．坐標(biāo)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與相似．則點(diǎn)P的坐標(biāo)______．

15．如圖，要在夾角為30°的兩條小路與形成的角狀空地上建一個(gè)三角形花壇，分別在邊和上取點(diǎn)和點(diǎn)，并扎起籬笆將花壇保護(hù)起來（籬笆的厚度忽略不計(jì)）．若和兩段籬笆的總長為8米，則當(dāng)______米時(shí)，該花壇的面積最大．三、解答題16．如圖，二次函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左邊，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁（1）直接寫出的面積=______；（2）若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，延長交于點(diǎn)，過作//軸交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出能夠使面積的值為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)______．17．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長度；（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x＋2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的對(duì)稱軸是直線x＝與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|BM﹣CM|的值最小時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁（3）拋物線上是否存在點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，使得以點(diǎn)B、N、H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求和的值；（2）是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的和等于？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．20．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，判斷是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，連接，，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁21．定義：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做余等三角形．如圖1，在和中，若，且，則和是余等三角形．（1）如圖2，等腰直角，其中，，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），則圖中______和______是余等三角形，并求證：．（2）如圖3，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為5，且，①求證：和是余等三角形．②圖4，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，為上一點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，若，，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x＋c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線AC與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)D，OA＝OC．（1）求該拋物線與直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)E是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、CE．求△ACE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）將原拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位長度，得到新拋物線：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)F，在直線AD上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、D、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

23．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（，0），C（0，4），點(diǎn)為二次函數(shù)第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，以為直徑的圓⊙M與交于點(diǎn)．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)三角形周長最大時(shí)．求此時(shí)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)及三角形的周長；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)N為⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，連接BN，點(diǎn)Q為BN的中點(diǎn)，連接HQ，求HQ的取值范圍．

專題28二次函數(shù)中的三角形問題知識(shí)對(duì)接考點(diǎn)一、二次函數(shù)中的三角形問題考點(diǎn)分析：二次函數(shù)與三角形的綜合解答題一般涉及到這樣幾個(gè)方面：1.三角形面積最值問題2.特殊三角形的存在問題包括等腰等邊和直角三角形。這類題目一般出現(xiàn)在壓軸題最后兩道上，對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用要求比較高?？键c(diǎn)二、解決此類題目的基本步驟與思路1.抓住目標(biāo)三角形，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)2.根據(jù)所設(shè)未知數(shù)去表示三角形的底和高，一般常用割補(bǔ)法去求解三角形的面積從而得出面積的關(guān)系式3.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值.4.特殊三角形問題首先要畫出三角形的大概形狀，分類討論的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪兩條邊為要，直角三角形需要搞清楚哪個(gè)角作為直角都需要我們?nèi)シ诸愑懻?。要點(diǎn)補(bǔ)充：1.簡單的直角三角形可以直接利用底乘高進(jìn)行面積的表示2.復(fù)雜的利用“補(bǔ)”的方法構(gòu)造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想3.利用“割”的方法時(shí)，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標(biāo)軸的垂線。4.利用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長度時(shí)注意要用大的減去小的。5.圍繞不同的直角進(jìn)行分類討論，注意檢驗(yàn)答案是否符合要求。6.在勾股定理計(jì)算復(fù)雜的情況下，靈活的構(gòu)造K字形相似去處理。要點(diǎn)補(bǔ)充：專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．如圖，直角邊長為1的等腰直角三角形與邊長為2的正方形在同一水平線上，三角形沿水平線從左向右勻速穿過正方形．設(shè)穿過時(shí)間為t，正方形與三角形不重合部分的面積為s（陰影部分），則s與t的大致圖象為（）更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacherA． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)三角形運(yùn)動(dòng)速度為1，根據(jù)勾股定理可求出等腰直角三角形的斜邊長為，分0≤t≤時(shí)，＜t≤時(shí)，＜t≤2時(shí)，2＜t≤2+時(shí)，2+＜t≤2+時(shí)五種情況，可知等腰直角三角形與正方形的不重疊部分面積變化過程是變小--不變--變大，分別求出函數(shù)關(guān)系式，即可得出答案．【詳解】∵等腰直角三角形的直角邊長為1，∴等腰直角三角形的斜邊長為=，當(dāng)0≤t≤時(shí)，s＝×1×1+2×2﹣＝﹣t2；當(dāng)＜t≤時(shí)，s＝22-+2×(-t)2=t2﹣2t+；當(dāng)＜t≤2時(shí)，s＝×1×1＝；當(dāng)2＜t≤2+時(shí)，s＝22-2×(t-2)2=t2﹣4t+；當(dāng)2+＜t≤2+時(shí)，s＝22+-2×（﹣t+2）2=﹣（﹣t+2）2，∴等腰直角三角形與正方形的不重疊部分面積變化過程是變小--不變--變大，且變小、變大時(shí)的圖象為拋物線，不變時(shí)的圖象為直線，∴A符合要求，故選：A．【點(diǎn)睛】考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論，熟練掌握二次函數(shù)的圖象是解題關(guān)鍵．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher2.定義：若拋物線的頂點(diǎn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為“美麗拋物線”．如圖，直線：經(jīng)過點(diǎn)一組拋物線的頂點(diǎn)，，，…（為正整數(shù)），依次是直線上的點(diǎn)，這組拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)依次是：，，，…（為正整數(shù)）．若，當(dāng)為（）時(shí)，這組拋物線中存在美麗拋物線更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacherA．或 B．或 C．或 D．【答案】B【分析】由拋物線的對(duì)稱性可知，所有構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)必定小于1，據(jù)此對(duì)上一步結(jié)論分析可得滿足美麗拋物線對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，再確定拋物線與x軸的交點(diǎn)值與對(duì)稱軸的距離，從而可求得d的值【詳解】解：直線l：經(jīng)過點(diǎn)M（0，）則b=，∴直線l：由拋物線的對(duì)稱性知：拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角三角形；∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半∵0＜d＜1∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于1）∵當(dāng)x=1時(shí)，＜1；當(dāng)x=2時(shí)，＜1；當(dāng)x=3時(shí)，＞1；∴美麗拋物線的頂點(diǎn)只有①若為頂點(diǎn)，由，則，②若為頂點(diǎn)，由，則綜上所述，d的值為或時(shí)，存在美麗拋物線．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher3．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若拋物線經(jīng)過圖中的三個(gè)格點(diǎn)，則以這三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對(duì)角線OB的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且這兩個(gè)交點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)是拋物線的內(nèi)接格點(diǎn)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則滿足上述條件且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是A．16 B．15 C．14 D．13【答案】C【詳解】根據(jù)在OB上的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，根據(jù)勾股定理可知兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差為3，然后作出最左邊開口向下的拋物線，再向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到開口向下的拋物線的條數(shù)，同理可得開口向上的拋物線的條數(shù)，然后相加即可得解：如圖，開口向下，經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=﹣x2+4x，然后向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位一次得到一條拋物線，可平移6次，∴一共有7條拋物線．同理可得開口向上的拋物線也有7條．∴滿足上述條件且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．故選C．4．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如果更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher拋物線經(jīng)過圖中的三個(gè)格點(diǎn)，那么以這三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為該拋物線的“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”．設(shè)對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線與網(wǎng)格對(duì)角線OM的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，其頂點(diǎn)為C，如果△ABC是該拋物線的內(nèi)接格點(diǎn)三角形，AB=3，且點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)xA，xB，xC滿足xA＜xC＜xB，那么符合上述條件的拋物線條數(shù)是（）A．7 B．8 C．14 D．16【答案】C【分析】根據(jù)在OB上的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為3，可知兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差為3，然后作出最左邊開口向下的拋物線，再向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到開口向下的拋物線的條數(shù)，同理可得開口向上的拋物線的條數(shù)，然后相加即可得解．【詳解】解：如圖，開口向下，經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=﹣x2+4x，然后向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位一次得到一條拋物線，可平移6次，所以，一共有7條拋物線，同理可得開口向上的拋物線也有7條，所以，滿足上述條件且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．故選C．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題．主要考查了網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識(shí)與二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，作出更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher圖形更形象直觀．5．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿對(duì)角線AC剪開（如圖①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖②），當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積最大時(shí)，移動(dòng)的距離AA′等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2【答案】A【分析】設(shè)AA′=x，先證△AA'E∽△ADC，利用相似的性質(zhì)用含x代數(shù)式表示出A′E，再根據(jù)陰影部分為平行四邊形利用面積建立二次函數(shù)解析式，通過最值即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，設(shè)AA′=x，則DA′=2-x，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=2，∵EA′∥CD，∴△AA'E∽△ADC，∴，即，∴A′E=x，∵EA′∥CD，CA′∥CA，∴陰影部分為平行四邊形，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴陰影部分的面積：S=EA′·DA′=，即當(dāng)，陰影部分的面積最大為，∴當(dāng)平移的距離AA′=1時(shí)，兩個(gè)三角形重疊部分的面積最大.故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、相似的判定及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值.根據(jù)相似的性質(zhì)得出比例線段，并利用面積建立二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.6．如圖，邊長分別為1和2的兩個(gè)等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動(dòng)，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．設(shè)小三角形移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：①x≤1時(shí)，兩個(gè)三角形重疊面積為小三角形的面積，∴y==；②當(dāng)1＜x≤2時(shí)，重疊三角形的邊長為2﹣x，高為，y==；③當(dāng)x=2時(shí)，兩個(gè)三角形沒有重疊的部分，即重疊面積為0，故選B．考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象；動(dòng)點(diǎn)型；分類討論．7．如圖，正三角形和正三角形的邊，在同一條直線上，將向右平移，直到點(diǎn)與更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher點(diǎn)重合為止，設(shè)點(diǎn)平移的距離為，，．兩個(gè)三角形重合部分的面積為，現(xiàn)有一個(gè)正方形的面積為，已知，則S關(guān)于的函數(shù)圖像大致為（） B．C． D．【答案】A【分析】分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6三種情況，分別求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，則兩個(gè)三角形重合部分為邊長x的正三角形，則：，故，為二次函數(shù)，圖象開口向上，當(dāng)x=2時(shí)，S=2；②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，兩個(gè)三角形重合部分為邊長為2的正三角形，故S=2；③當(dāng)4≤x≤6時(shí)，同理可得：，圖象開口向上，當(dāng)x=4時(shí)，S=2；當(dāng)x=6時(shí)，S=0；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，分類求出函數(shù)表達(dá)式，是解決本題的關(guān)鍵．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher8．以下說法正確的是（）A．三角形的外心到三角形三邊的距離相等B．順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形C．分式方程的解為x＝2D．將拋物線y＝2x2－2向右平移1個(gè)單位后得到的拋物線是y＝2x2－3【答案】B【分析】利用三角形的外心的性質(zhì)、中點(diǎn)四邊形、解分式方程以及拋物線的平移規(guī)律分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，故選項(xiàng)B說法正確，符合題意；C、去分母得，解這個(gè)整式方程得，x＝2經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原方程的增根，∴原方程無解，故選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、將拋物線y=2x2-2向右平移1個(gè)單位后得到的拋物線是y=2（x-1）2-2，故選項(xiàng)D說法錯(cuò)誤，不符合題意；；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，三角形的外心的性質(zhì)、中點(diǎn)四邊形、解分式方程及拋物線的平移等知識(shí)，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．9．二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，下列說法：①該函數(shù)圖象過點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所圍成的三角形面積是；③若該函數(shù)的圖象開口向下，則m的取值范圍為；④當(dāng)，且時(shí)，y的最大值為．正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①當(dāng)x=1時(shí)，y=（m+1）x2-2mx+m-2=-1，正確；②當(dāng)m=0時(shí)，y=x2-2，與x軸的交點(diǎn)為，則，與y軸的交點(diǎn)y值為：y=-2，∴，故②正確；③該函數(shù)圖象開口向下，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故m+1＜0，△=（-2m）2-4（m+1）（m-2）＞0，解得：-2＜m＜-1，故③正確；④函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)m>0時(shí)，，故函數(shù)在x=-2時(shí)，取得最大值，當(dāng)x=-2時(shí)，y=(m+1)x2-2mx+m-2=9m+2，故④正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．10．以下四個(gè)命題：①如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，那么這個(gè)三角形是直角三角形；②在實(shí)數(shù)-7.5，，4，，-π，()2中，有4個(gè)有理數(shù)，2個(gè)無理數(shù)；③有一個(gè)圓錐，與底面圓直徑是且體積為的圓柱等高，如果這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么它的母線長為；④二次函數(shù)，自變量的兩個(gè)值x1，x2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，若|x1-1|>|x2-1|，則a(y1-y2)>0．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，分別求出這三個(gè)角，即可判斷．②根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義即可判斷．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher③設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線長為R，根據(jù)題意可推出R:r=2:1，即可求出，得出結(jié)論，從而求出R=，即可判斷．④該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，分情況討論當(dāng)a<0時(shí)和a>0時(shí)，y1和y2的大小，即可判斷a(y1-y2)是否大于0．【詳解】①如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，則這個(gè)三角形的三個(gè)角分別為、、，所以這個(gè)三角形不是直角三角形，故原命題是假命題；②在實(shí)數(shù)-7.5，，4，，-π，=2中，-7.5，，4，=2為有理數(shù)共4個(gè)，，-π為無理數(shù)共2個(gè)，故原命題是真命題；③設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線長為R，根據(jù)題意得，則R:r=2:1．由得．因?yàn)?，即，則R=(負(fù)值舍去)，即它的母線長是，故原命題是真命題；④二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1，若a<0時(shí)，如圖：∵|x1-1|>|x2-1|，∴y1<y2，∴y1-y2<0，∴a(y1-y2)>0．當(dāng)a>0時(shí)，同理可證a(y1-y2)>0，故原命題是真命題．綜上所述，正確的命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher本題考查了命題與定理．掌握三角形內(nèi)角和定理，有理數(shù)和無理數(shù)的定義，弧長的計(jì)算，勾股定理以及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題11．定義[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1－m，－1－m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m≠0時(shí)，點(diǎn)(1，0)一定在函數(shù)的圖象上；②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)m＞0，若拋物線的頂點(diǎn)與拋物線與x軸兩交點(diǎn)組成的三角形為等腰直角三角形，則，正確的結(jié)論是________．（填寫序號(hào)）【答案】①②④【分析】根據(jù)函數(shù)特征數(shù)確定二次函數(shù)解析式為，當(dāng)m≠0時(shí)，把=1代入函數(shù)，求得可判斷①，當(dāng)m＞0時(shí)，,求出作差可判斷②；當(dāng)m＜0時(shí)，，拋物線開口向下，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，對(duì)稱軸為可判斷③；當(dāng)m＞0，若拋物線的頂點(diǎn)與拋物線與x軸兩交點(diǎn)組成的三角形為等腰直角三角形，根據(jù)兩交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱構(gòu)造方程，解得，可判斷④．【詳解】解：由題意得：二次函數(shù)解析式為當(dāng)m≠0時(shí)，=1，∴點(diǎn)(1，0)一定在函數(shù)的圖象上；故①正確；當(dāng)m＞0時(shí)，,因式分解得解得函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度=1+故②正確；當(dāng)m＜0時(shí)，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴，拋物線開口向下，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher對(duì)稱軸為函數(shù)在時(shí)，可能x在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；故③不正確；④當(dāng)m＞0，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由②知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為解得，∴兩交點(diǎn)的距離為∵拋物線的頂點(diǎn)與拋物線與x軸兩交點(diǎn)組成的三角形為等腰直角三角形，列方程得解得，∵m＞0，則，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，是原方程的根，故④正確；∴正確的結(jié)論是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的特征數(shù)，利用特征數(shù)研究拋物線的性質(zhì)過定點(diǎn)，交點(diǎn)間弦長，增減性，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，掌握以上知識(shí)，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．12．如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，在拋物線y＝x2（x＞0）上取一點(diǎn)P，在y軸上取一點(diǎn)Q，使得以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A有____個(gè)．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher【答案】4【分析】此題應(yīng)分四種情況考慮：①∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點(diǎn)坐標(biāo)；②∠POQ=∠AOH=30°，此時(shí)∠POH=60°，即直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH，由此求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)△OQP≌△AOH，由此求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；【詳解】解：①當(dāng)∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；由于∠AOH=30°，設(shè)A坐標(biāo)為（a，b），在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°==，設(shè)直線OA的方程為y=kx，把A的坐標(biāo)代入得k==，∴直線OA的解析式：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得，；∴A（，）；②當(dāng)∠POQ=∠AOH=30°，此時(shí)△POQ≌△AOH；更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得，；∴P（，3），即可得A（3，）；③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH；易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得，；∴P（，3），∴OP=2，QP=2，∴OH=OP=2，AH=QP=2，∴A（2，2）；④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)△OQP≌△AOH；此時(shí)直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得，；∴P（，），∴QP=，OP=，∴OH=QP=，AH=OP=，∴A（，）．綜上可知：符合條件的點(diǎn)A有四個(gè)，且坐標(biāo)為：（，），（3，），（，2），（，）．故答案為：4．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法；由于全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不明確，因此要注意分類討論思想的運(yùn)用．13．如圖，直線l：經(jīng)過點(diǎn)M(0，)，一組拋物線的頂點(diǎn)B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n為正整數(shù)），設(shè)x1＝d（0＜d＜1）若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則我們把這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．則當(dāng)d（0＜d＜1）的大小變化時(shí)美麗拋物線相應(yīng)的d的值是__．【答案】或【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐標(biāo)，若B1為直角頂點(diǎn)，則A1A2的中點(diǎn)（1，0）到B1的距離與到A1和A2的距離相等，求出d的值；同理：若B2為直角頂點(diǎn)，求出d的值；若B3為直角頂點(diǎn)，求出的d值是負(fù)數(shù)（舍去）；總結(jié)上述結(jié)果即可得出答案．【詳解】解：直線l：，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，即：B1（1，），當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，即：B2（2，），∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），若B1為直角頂點(diǎn)，則A1A2的中點(diǎn)（1，0）到B1的距離與到A1和A2的距離相等，即：1﹣d＝，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher解得：d＝；同理：若B2為直角頂點(diǎn)，則A2A3的中點(diǎn)（2，0）到B2的距離與到A3和A2的距離相等，即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；若B3為直角頂點(diǎn)，求出的d為負(fù)數(shù)，并且從B3之后的B點(diǎn)，求出的d都為負(fù)數(shù)；所以d的值是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討．14．如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．坐標(biāo)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與相似．則點(diǎn)P的坐標(biāo)______．

【答案】或或【分析】利用勾股定理求得的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷，再分在軸和軸兩種情況討論，舍出的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher

在中，，，，在中，，，，，，為直角三角形．①利用的三邊，，又，故當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，；②當(dāng)是直角邊時(shí)，若與是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)的坐標(biāo)是，則，，即，解得：，則的坐標(biāo)是，三角形不是直角三角形，則不成立；③當(dāng)是直角邊，若與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，設(shè)的坐標(biāo)是，則，則，即，解得：，故是時(shí)，則一定成立；④當(dāng)在軸上時(shí)，是直角邊，一定在的左側(cè)，設(shè)的坐標(biāo)是．則，當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；⑤當(dāng)在軸上時(shí)，是直角邊，一定在的左側(cè)，設(shè)的坐標(biāo)是．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher則，當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：，符合條件．總之，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)以及勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．15．如圖，要在夾角為30°的兩條小路與形成的角狀空地上建一個(gè)三角形花壇，分別在邊和上取點(diǎn)和點(diǎn)，并扎起籬笆將花壇保護(hù)起來（籬笆的厚度忽略不計(jì)）．若和兩段籬笆的總長為8米，則當(dāng)______米時(shí)，該花壇的面積最大．【答案】4【分析】設(shè)OP=x，則OQ=8-x，過點(diǎn)P作PM⊥OQ,，由30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得PM=，根據(jù)三角形面積公式可得面積關(guān)于OQ的二次函數(shù)，配方后即可求解．【詳解】解：設(shè)OP=x，則OQ=8-x，過點(diǎn)P作PM⊥OQ,交OQ于點(diǎn)M，如圖，∵∴更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴∵∴函數(shù)圖象開口向下，有最大值，為4，故當(dāng)OP=4時(shí)，花壇的面積最大．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用面積法求出二次函數(shù)關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題16．如圖，二次函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左邊，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，（1）直接寫出的面積=______；（2）若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，延長交于點(diǎn)，過作//軸交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出能夠使面積的值為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)______．【答案】（1）3；（2）(0，1)，(0，-6)；（3）6【分析】（1）先求出A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，即可求解；（2）分兩種情況：①若，②若，分別列出比例式，進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)M(a，3-a)，則N(a，)，根據(jù)待定系數(shù)法得，直線MD的解析式為：y=x+更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher，從而得P(0，)，進(jìn)而得，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∴的面積=，故答案是：3；（2）∵OC=OB=3，∠COB=90°，∴∠ABC=45°，BC=，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴D(-3，0)，同理：∠DCO=45°，CD=，①若，設(shè)P(0，a)，則CP=3-a，∴，即：，解得：a=1，∴P(0，1)，②若，，即：，解得：a=-6，∴P(0，-6)，綜上所述：P的坐標(biāo)為：(0，1)，(0，-6)；（3）∵B(3，0)，C(0，3)，∴直線BC的解析式為：y=-x+3，∴設(shè)M(a，3-a)，則N(a，)，設(shè)直線MD的解析式為：y=kx+b，∴，解得：，∴直線MD的解析式為：y=x+，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴P(0，)，∴=，∵要使面積的值為整數(shù)，∴的值為或或，∵0≤≤3，∴0≤a≤3，∴當(dāng)=時(shí)，解得：a=1或2，符合題意；當(dāng)=時(shí)，解得：a=或，符合題意；當(dāng)=時(shí)，解得：a=或，符合題意；∴能夠使面積的值為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有6個(gè)，故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵．17．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長度；（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四邊形NCFE是平行四邊形，再推出FE=FC，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，從而得CN=EF=，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，∴B(3，0)，C(0，3)，∵二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為：；（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，∴OB=OC，∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，∴EF=-(-m+3)=，CF=，∴或，∴或（舍去）或或（舍去），∴EF==或；（3）∵l∥y軸，點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，∴∠EFC=∠NCG，∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，∴∠CNE=∠EFC，∴∠CNE=∠NCG，∴NE∥FC，∴四邊形NCFE是平行四邊形，∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，∴∠NCE=∠FCE，∵l∥y軸，∴∠NCE=∠FEC，∴∠FCE=∠FEC，∴FE=FC，∴=，解得：或（舍去），∴CN=EF=，∴ON=+3=，∴N(0，)．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合，相似三角形的判定，掌握函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出相關(guān)線段的長，是解題的關(guān)鍵．18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x＋2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的對(duì)稱軸是直線x＝與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|BM﹣CM|的值最小時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，使得以點(diǎn)B、N、H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）M（，0）；（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接得出結(jié)論；（2）先判斷出|BM﹣CM|最小時(shí)，BM＝CM，建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠ACB＝∠BHN＝90°，分兩種情況，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）針對(duì)于y＝﹣x+2，令x＝0，則y＝2，∴C（0，2），令y＝0，則0＝﹣x+2，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴x＝4，∴B（4，0），∵點(diǎn)C在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴c＝2，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+bx+2，∵點(diǎn)B（4，0）在拋物線上，∴﹣8+4b+2＝0，∴b＝，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，設(shè)M（，m），∵B（4，0），C（0，2），∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，∴m＝0，∴M（，0）；（3）存在，理由：由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，令y＝0，則0＝﹣x2+x+2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴CB2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x軸，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，設(shè)N（n，﹣n2+n+2），∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，∵以點(diǎn)B、N、H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴，∴＝，∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），②△BHN∽△BCA，∴，∴＝，∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），即滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．19．拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher（1）求和的值；（2）是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的和等于？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1），；（2）P（1，2）或（1，-6）【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法得出a、b的值；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分∠DPB=135°，∠DBP=135°，∠BDP=135°三種情況討論即可；【詳解】解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)，∴，解得：；（2）由（1）得拋物線的解析式為：，當(dāng)y=0時(shí)，；∴，∴A（-1，0）和B（3，0），∵，∴∵以、、為頂點(diǎn)的三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的和等于∴以P，D，B為頂點(diǎn)的三角形必有一個(gè)135°的鈍角，①當(dāng)∠DPB=135°時(shí)，則∠MPB=45°，∵∠PMB=90°，∴△MPB為等腰直角三角形，∠MBP=45°，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴MP=BM=3-1=2，∴P（1，2）；②當(dāng)∠DBP=135°時(shí)，∵∠MBP=45°，∴∠DBP+∠MBP2=90°，∵∠MP2B+∠MBP2=90°，∴∠MP2B=∠DBP∴△PDB∽△BDP2，∴∴∴∴∴∴P2（1，-6）；③當(dāng)∠BDP=135°時(shí)，則∠MDB=45°，∵∠DMB=90°，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴△DMB為等腰直角三角形，∴DM=BM，而DM=4，BM=2∴此種情況不存在∴P（1，2）或（1，-6）【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用特殊角45°構(gòu)造特殊形狀的三角形．20．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，判斷是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，連接，，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）面積的最大值是8，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法直接求解即可；（2）分兩種情況討論：①時(shí)，列方程求解即可；②，過點(diǎn)作軸，垂足為，證明即可得解；（3）根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)，，求出PN的長，運(yùn)用面積法得到n的二次函數(shù)關(guān)系式，配方求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴把點(diǎn)，代入解析式得：解得，所以，二次函數(shù)的解析式為：（2）設(shè)∵△BPQ是直角三角形，，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，則有軸，如圖①∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2∴解得：，（舍）或，∴．②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸，垂足為，如圖②，則∠PBM+∠BPM=90?，PM=m，BM=∵∠PBQ=90?∴∠PBM+∠OBA=90?更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴∠OBA=∠BPM∴，∴即，解得：（舍）或∴，綜上所述，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或（3）設(shè)的延長線交與點(diǎn)∵，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴設(shè)直線的表達(dá)式為：，把A，代入得：解得，∴直線的表達(dá)式為：設(shè)點(diǎn)，則，∴更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴∵，有最大值，且，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積是8．此時(shí)，．綜上所述，面積的最大值是8，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，利用面積公式得出二次函數(shù)是解（3）的關(guān)鍵．21．定義：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做余等三角形．如圖1，在和中，若，且，則和是余等三角形．（1）如圖2，等腰直角，其中，，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），則圖中______和______是余等三角形，并求證：．（2）如圖3，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為5，且，①求證：和是余等三角形．②圖4，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，為上一點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，若，，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）和是余等三角形，見解析；（2）①見解析，②【分析】【詳解】（1）∵為等腰直角三角形，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher∴，，，∴和是余等三角形，作交于點(diǎn)，設(shè)，，則，∴，∴，∴；（2）①連結(jié)并延長交于點(diǎn)，連結(jié)、，在中，，根據(jù)已知，可得：，所以，又∵，，∴，∴，由，可得，同理可得，，∴和是余等三角形．②連結(jié)，，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher由①得，而，∴，即，∵，∴為等腰直角三角形，易得，∵，∴，∴，，∴在和中，，∴()，設(shè)，，則，，在中，，化簡得，在中，，化簡得，∴，∴可以表示為：∴．【點(diǎn)睛】更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher本題考查了圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，勾股定理，二次函數(shù)，新定義等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，綜合運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)解答．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x＋c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線AC與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)D，OA＝OC．（1）求該拋物線與直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)E是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、CE．求△