2024-2025學年新教材高中數(shù)學第5章函數(shù)應用2實際問題中的函數(shù)模型2.1實際問題的函數(shù)刻畫學案含解析北師大版必修第一冊

PAGE2-§2實際問題中的函數(shù)模型2.1實際問題的函數(shù)刻畫學習目標核心素養(yǎng)1.會用函數(shù)圖象的改變刻畫改變過程．(重點，難點)2．能夠用已知的函數(shù)模型刻畫實際問題．(難點)1.在利用函數(shù)刻畫實際問題的過程中，培育數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．在把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的過程中，提升數(shù)學建模素養(yǎng)．實際問題的函數(shù)刻畫(1)用函數(shù)刻畫實際問題的條件：在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，當面對的實際問題中存在幾個變量，并且它們之間具有依靠關(guān)系時，我們往往用函數(shù)對其進行刻畫．(2)用函數(shù)刻畫實際問題的方法：函數(shù)刻畫的方法可以運用圖象，但最多的還是運用解析式．思索：世界上很多事物間的聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫，在試圖用函數(shù)刻畫兩個變量的聯(lián)系時，須要關(guān)注哪些要點？提示：先確定兩個變量是誰；再看兩個變量之間的對應關(guān)系是否滿意函數(shù)定義；假如滿意，就要考慮建立函數(shù)關(guān)系式．1．下表是函數(shù)值y隨自變量x改變的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A.一次函數(shù)模型 B．冪函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型A[依據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1，函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是勻稱的，故為一次函數(shù)模型．]2．某同學最近5年內(nèi)的學習費用y(千元)與時間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是()A.y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC.y＝aex＋b D．y＝alnx＋bB[因為圖中的點基本分布在一條拋物線上，所以可選擇的函數(shù)模型應為二次函數(shù)，故選B.]3．某同學從家里到學校，為了不遲到，先跑，跑累了再走余下的路，設(shè)在途中花的時間為t，離開家里的路程為d，下面圖形中，能反映該同學的行程的是()ABCDC[因為離開家里的路程為d越來越遠，所以解除B和D，又該同學先跑后走，所以一起先速度大，離開家的距離d隨著時間的增加增長的較快，所以選C.]利用圖象刻畫實際問題【例1】(1)“龜兔賽跑”是一則經(jīng)典故事：兔子與烏龜在賽道上賽跑，跑了一段后，兔子領(lǐng)先太多就躺在道邊睡著了，當它醒來后看到烏龜已經(jīng)領(lǐng)先了，因此它用更快地速度去追，結(jié)果還是烏龜先到了終點，請依據(jù)故事選出符合的路程—時間圖象()ABCD(2)如圖，是三個底面半徑均為1，高分別為1，2，3的圓錐、圓柱形容器，現(xiàn)同時分別向三個容器中注水，直到注滿為止，在注水的過程中，保證水面高度平齊，且勻速上升，記三個容器中水的體積之和為V＝V(h)，h為水面的高，則函數(shù)V＝V(h)的大致圖象為()(1)C(2)B[(1)由故事內(nèi)容知烏龜先達到終點，兔子醒來烏龜未達到終點，且兔子后來的速度更快，故選C.(2)由題得，三個容器同時注水時，由于圓錐同樣高度注水體積越來越大，即此過程體積V(h)增加速度越來越快，由導數(shù)幾何意義知，曲線切線斜率越來越大，解除C，D，圓錐注滿水后，體積勻速增加，在矮圓柱注滿水以前體積V(h)增加速度要大于矮圓柱注滿水以后的速度，即矮圓柱注滿水以前的所在直線斜率大，故選B.]當依據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則依據(jù)實際問題中兩變量的改變快慢等特點，結(jié)合圖象的改變趨勢，驗證是否吻合，從中解除不符合實際的狀況，選擇出符合實際狀況的答案.eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．某城市為了解游客人數(shù)的改變規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2024年1月至2024年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，改變比較平穩(wěn)A[通過題圖可知A不正確，并不是逐月增加，但是每一年是遞增的，所以B正確．從圖視察C是正確的，D也正確，1～6月比較平穩(wěn)，7～12月波動比較大．故選A.]已知函數(shù)模型解決實際問題[探究問題]1．如何求形如y＝x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)的函數(shù)的最小值？提示：利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab).2．如何求形如y＝x＋eq\f(a,x＋m)(x＋m＞0，a＞0)的函數(shù)的最小值？提示：利用換元法轉(zhuǎn)化后用基本不等式求解．【例2】為了降低能源損耗，某體育館的外墻須要建立隔熱層，體育館要建立可運用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10，k為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建立費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最?。坎⑶笞钚≈担甗思路點撥]eq\x(把x＝0代入C（x）)→eq\x(求k的值)→eq\x(函數(shù)f（x）的表達式)→eq\x(f（x）的最小值)[解](1)當x＝0時，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝eq\f(40,3x＋5)(0≤x≤10)，∴f(x)＝6x＋eq\f(20×40,3x＋5)＝6x＋eq\f(800,3x＋5)(0≤x≤10).(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋eq\f(800,3x＋5)－10.令3x＋5＝t，t∈[5，35]，則y＝2t＋eq\f(800,t)－10≥2eq\r(2t·\f(800,t))－10＝70(當且僅當2t＝eq\f(800,t)，即t＝20時等號成立)，此時x＝5，因此f(x)的最小值為70.∴隔熱層修建5cm厚時，總費用f(x)達到最小，在例2(2)中，總費用f(x)有最大值嗎？假如有，求出這個最大值；假如沒有，說明理由．[解]由例2可知，f(x)＝2(3x＋5)＋eq\f(800,3x＋5)－10.令3x＋5＝t，t∈[5，35]，設(shè)g(t)＝2t＋eq\f(800,t)－10，設(shè)t1，t2∈[5，35](t1＞t2)，則g(t1)－g(t2)＝2t1＋eq\f(800,t1)－2t2－eq\f(800,t2)＝2(t1－t2)×eq\f(t1t2－400,t1t2)，所以當t1，t2∈[5，20)時，g(t1)－g(t2)＜0；當t1，t2∈(20，35]時，g(t1)－g(t2)＞0，所以g(t)在[5，20)上單調(diào)遞減，在(20，35]上單調(diào)遞增，又g(5)＝160，g(35)＝eq\f(580,7)，且160＞eq\f(580,7)，所以當t＝5時，g(t)的最大值為160，即隔熱層厚度為0cm時，總費用f(x求解已給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)依據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實際問題．1．解應用題思路的關(guān)鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特殊留意一些關(guān)鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”，學生經(jīng)常由于讀題不謹慎而漏讀和錯讀，導致題目不會做或函數(shù)解析式寫錯，故建議復習時務(wù)必養(yǎng)成良好的審題習慣．2．在解應用題建模后肯定要留意定義域，建模的關(guān)鍵是留意找尋量與量之間的相互依靠關(guān)系．3．解決完數(shù)學模型后，留意轉(zhuǎn)化為實際問題寫出總結(jié)答案．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)先有實際問題，后有模型． ()(2)一個好的函數(shù)模型，既能與現(xiàn)有數(shù)據(jù)高度符合，又能很好地推演和預料． ()(3)當自變量改變時，函數(shù)值的增長速度越來越快，那么該函數(shù)關(guān)系肯定用指數(shù)函數(shù)模型來刻畫． ()[提示](1)正確．(2)正確．(3)錯誤．也可能是用函數(shù)y＝x2(x＞0)，y＝x3等其它函數(shù)來刻畫．[答案](1)√(2)√(3)×2．如圖是張大爺晨練時離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象．若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺漫步行走的路途可能是()ABCDD[由y與x的關(guān)系知，在中間時間段y值不變，只有D符合題意．]3．“好酒也怕巷子深”，很多聞名品牌是通過廣告宣揚進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿意關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入的廣告費應為________．(用常數(shù)a表示)eq\f(1,4)a2[令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))eq\s\up8(2)＋eq\f(1,4)a2.所以當t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值．]4．某列火車從A地開往B地，全程277km.火車動身10min開出13km后，以120km/h的速度勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系，并求火車離開A地2h[解]因為火車勻速行駛的時間為(277－13)÷120＝eq\f(11