2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率2.2超幾何分布學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE§2超幾何分布學(xué)問(wèn)點(diǎn)超幾何分布[填一填]一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品，從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品．用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝k)＝(其中k為非負(fù)整數(shù))．假如一個(gè)隨機(jī)變量的分布列由上式確定，則稱X聽(tīng)從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布．[答一答]如何正確理解超幾何分布？提示：(1)超幾何分布是不放回的抽樣；(2)超幾何分布中各參數(shù)k，n，M，N的意義分別為：k是取出的次品件數(shù)，n是取出的產(chǎn)品數(shù)，M是產(chǎn)品中的次品數(shù)，N是產(chǎn)品總數(shù)．1．如何推斷隨機(jī)變量X是否聽(tīng)從超幾何分布？推斷超幾何分布時(shí)必需滿意以下兩條：(1)總數(shù)為N的物品只分為兩類：M(M≤N)件為甲類(或次品)，其余的N－M件為乙類(或正品)．(2)隨機(jī)變量X表示從N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲類物品的件數(shù)．2．通過(guò)實(shí)例說(shuō)明超幾何分布及其推導(dǎo)過(guò)程構(gòu)造以下數(shù)學(xué)模型：一箱內(nèi)有N個(gè)小球，其中有紅球n個(gè)，從箱中全部小球中任取M個(gè)(M≤N)，這M個(gè)小球中所含紅球的個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量．事務(wù){(diào)X＝m}的概率P(X＝m)＝eq\f(C\o\al(m,n)C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M,N))(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個(gè))．則隨機(jī)變量X的分布列即為超幾何分布，推導(dǎo)如下：由于取到每個(gè)小球的概率都是相等的，屬古典概型，故取M個(gè)小球的方法共有Ceq\o\al(M,N)種，其中含有m個(gè)紅球的取法有Ceq\o\al(m,n)·Ceq\o\al(M－m,N－n)種，于是得取m個(gè)紅球的概率為eq\f(C\o\al(m,n)·C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M,N))，令取到紅球的個(gè)數(shù)X＝m即得超幾何分布列．3．方程思想和分類探討思想在超幾何分布中的應(yīng)用超幾何分布是一種離散型隨機(jī)變量的分布，其分布列的性質(zhì)自然也具有一般隨機(jī)變量分布列的兩條性質(zhì)，自然也可用方程思想求解分布列中的某些未知量，而在求解一些隨機(jī)變量的概率時(shí)，有時(shí)須要進(jìn)行分類探討．題型一超幾何分布的概率[例1]在10件產(chǎn)品中有3件次品，7件正品，現(xiàn)從中抽取5件，求抽得的次品件數(shù)X的分布列．[思路探究]明顯X聽(tīng)從超幾何分布．[解]X的可能取值為0,1,2,3.X＝0，表示取出的5件產(chǎn)品全是正品，所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(5,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(21,252)＝eq\f(1,12)；X＝1，表示取出的5件產(chǎn)品中有1件次品，4件正品，所以P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(4,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,12)；X＝2，表示取出的5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品，所以P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(3,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,12)；X＝3，表示取出的5件產(chǎn)品中有3件次品，2件正品，所以P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(2,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,12).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)規(guī)律方法解答本題的關(guān)鍵在于先分析隨機(jī)變量是否滿意超幾何分布，假如滿意超幾何分布的條件，則干脆利用超幾何分布模型解決．假如不滿意，則應(yīng)借助相應(yīng)概率公式求解．袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球.(1)求得分?jǐn)?shù)X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．解：(1)X的取值為8,7,6,5.P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35).∴得分?jǐn)?shù)X的分布列為X8765Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)(2)P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).題型二超幾何分布的應(yīng)用[例2]在一次購(gòu)物活動(dòng)中，假設(shè)在10張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)，某顧客從今10張中任取2張，求：(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率；(2)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X(元)的概率分布列．[思路探究]解答本題可先利用對(duì)立事務(wù)求出顧客中獎(jiǎng)的概率，再分析X的全部可能取值，明確X取各個(gè)值的事務(wù)，利用組合及公式P＝eq\f(m,n)進(jìn)行計(jì)算求解．[解](1)P＝1－eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3)，即顧客中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,3).(2)X的全部可能值為0,10,20,50,60.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，故X的分布列為：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)規(guī)律方法本題以超幾何分布為背景，主要考查了概率的計(jì)算，離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力．生產(chǎn)方供應(yīng)50箱的一批產(chǎn)品，其中有2箱不合格品，選購(gòu) 方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若至多有1箱不合格品，便接收該批產(chǎn)品．問(wèn)該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？解：以50箱為一批產(chǎn)品，從中隨機(jī)抽取5箱，用X表示“5箱中不合格品的箱數(shù)”，則X聽(tīng)從參數(shù)為N＝50，M＝2，n＝5的超幾何分布．這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中沒(méi)有不合格品或只有1箱不合格品，所以被接收的概率為P(X≤1)，即P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(5,48),C\o\al(5,50))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(4,48),C\o\al(5,50))＝eq\f(243,245).即這批產(chǎn)品被接收的概率為eq\f(243,245)(約為0.99184)．[例3]甲、乙等5名大運(yùn)會(huì)志愿者被隨機(jī)分到A，B，C，D4個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少須要1名志愿者．(1)求甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率；(3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為這5名志愿者中參與A崗位服務(wù)的人數(shù)，求ξ的分布列．[思路探究]事務(wù)相當(dāng)于把5名大運(yùn)會(huì)志愿者安排到4個(gè)不同的崗位，針對(duì)不同的事務(wù)求出其包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，再依據(jù)古典概型的概率公式求解即可．[解]把5名大運(yùn)會(huì)志愿者安排到4個(gè)不同的崗位，且每個(gè)崗位至少須要1名志愿者，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240種支配方法，所以基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為240.(1)甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)的安排方案有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)．由古典概型概率的計(jì)算公式可知，甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)的概率為eq\f(6,240)＝eq\f(1,40).(2)甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的安排方案有240－Aeq\o\al(4,4)＝216(種)．由古典概型概率的計(jì)算公式可知，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率為eq\f(216,240)＝eq\f(9,10).(3)隨機(jī)變量ξ的全部可能取值為1和2.“ξ＝1”表示“只有1人參與A崗位服務(wù)”，其安排方案有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(種)，故P(ξ＝1)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4).“ξ＝2”表示“有2人參與A崗位服務(wù)”，其安排方案有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，故P(ξ＝2)＝eq\f(60,240)＝eq\f(1,4).故隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ12Peq\f(3,4)eq\f(1,4)規(guī)律方法解此類題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上正確運(yùn)用排列、組合學(xué)問(wèn)計(jì)算出基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)．在列好分布列后，可依據(jù)分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果是否正確．在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件．求取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列．解：由題意知X的全部可能取值為0,1,2,3，且X聽(tīng)從參數(shù)為N＝10，M＝3，n＝3的超幾何分布，因此P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(35,120)＝eq\f(7,24)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(63,120)＝eq\f(21,40)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,120)＝eq\f(7,40)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120).故X的分布列為：X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)——規(guī)范解答系列——[例4]甲、乙兩人參與一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6道試題，乙能答對(duì)其中的8道試題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題得0分．求：(1)甲答對(duì)試題數(shù)X的分布列；(2)乙所得分?jǐn)?shù)Y的分布列．[解](1)X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).所以甲答對(duì)試題數(shù)X的分布列為X＝k0123P(X＝k)eq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)乙答對(duì)試題數(shù)可能為1,2,3.所以乙所得分?jǐn)?shù)Y＝5,10,15.P(Y＝5)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(Y＝15)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).所以乙所得分?jǐn)?shù)Y的分布列為Y＝ai51015P(Y＝ai)eq\f(1,15)eq\f(7,15)eq\f(7,15)在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，試求：(1)取到的次品數(shù)X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率．解：(1)由于從100件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(3,100)，從100件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(k,5)Ceq\o\al(3－k,95)，那么從100件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件次品的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(3－k,95),C\o\al(3,100))，k＝0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,95),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,95),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,95),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,95),C\o\al(3,100))(2)依據(jù)隨機(jī)變量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率為P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1－P(X＝0)≈0.144.1．一批產(chǎn)品共50件，次品率為4%，從中任取10件，則抽到1件次品的概率約為(A)A．0.327 B．0.0326C．0.326 D．0.0327解析：一批產(chǎn)品共50件，其中有50×4%＝2件次品，48件正品，從中任取10件共有Ceq\o\al(10,50)種選法，其中抽1件次品有Ceq\o\al(9,48)Ceq\o\al(1,2)種方法．所以抽到1件次品的概率是p＝eq\f(C\o\al(9,48)C\o\al(1,2),C\o\al(10,50))≈0.327.2．12人的愛(ài)好小組中有5人是“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中任選6人參與競(jìng)賽，若隨機(jī)變量X表示參與競(jìng)賽的“三好學(xué)生”的人數(shù)，則eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(3,7),C\o\al(6,12))為(C)A．P(X＝6)B．P(X＝5)C．P(X＝3)D．P(X＝7)解析：由題意可知隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為N＝12，M＝5，n＝6的超幾何分布，由公式P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))易知eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(3,7),C\o\al(6,12))表示的是k＝X＝3的取值概率．3．已知某批產(chǎn)品共100件，其中二等品有20件．從中隨意抽取2件，ξ表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，試填寫下列關(guān)于ξ的分布列：ξ＝k012P(ξ＝k)eq\f(316,495)eq\f(32,99)eq\f(19,495)解析：ξ的可能取值為0,1,2，ξ聽(tīng)從參數(shù)為N＝100，M＝20，n＝2的超幾何分布，則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,20)C\o\al(2,80),C\o\al(2,100))＝eq\f(316,495)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,80),C\o\al(2,100))＝eq\f(32,99)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(0,80),C\o\al(2,100))＝eq\f(19,495).4．口袋內(nèi)裝有10個(gè)大小相同的球，其中5個(gè)球標(biāo)有數(shù)