初中數(shù)學變式教學的理論與案例分析-2016

初中數(shù)學變式教學的理論與案例分析華東師范大學數(shù)學系鮑建生jsbao@歡迎投稿編輯部電子信箱：sxjxzz@在線視頻介紹（忻重義）：/magazine/math/1.htm引子1：青浦實驗中的變式教學證明等腰三角形的判定定理：有兩個內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形.ABC第1步：利用情境變式激發(fā)探究興趣A

原題已知：∠B=∠C,求證：AB=AC.情境性變式：小強想證明下面的問題：“有兩個角（圖中的∠B和∠C）相等的三角形是等腰三角形”.但他不小心將圖弄臟了，只能看見圖中的∠C和邊BC.請問：他能夠把圖恢復成原來的樣子嗎？BC第2步:學生獨立探究問題：你能夠證明這樣畫出的三角形是等腰三角形嗎方法1：量出∠C的大小;作∠B＝∠C;則∠B的一條邊和∠C的一條邊的延長線交于點A.方法2：作邊BC的垂直平分線與∠C的另一邊的延長線交于點A.方法3：如圖，將長方形紙片對折使點B和點C重合，找到∠C與折痕的交點A第3步：證明定理學生自己發(fā)現(xiàn)的不同證法：：證法2：過A作AD垂直于BC,

證明△ABD≌△ACD證法5：證明

△ABC≌△ACB證法4：（反證法）：

假設(shè)AB>AC,那么

∠C>∠B.證法1：作∠A的平分線，然后證明：△ABT≌△ACT錯誤!證法3：過A作BC邊上的中線，證明：引子2：鋪墊與腳手架有層次的推進可以保留在頭腦中腳踏實地目標驅(qū)動途徑單一,進度不同跳來跳去臨時的風險大活動驅(qū)使多種途徑，多種進度引子3：數(shù)學思維的特征數(shù)學是一門形式的科學，數(shù)學對象通常都有多種表達形式；基于變式的化歸是數(shù)學問題解決的基本思路；提高練習效率的重要途徑：舉一反三和反三歸一引子4：變式教學存在的問題變式教學在我國具有廣泛的實踐經(jīng)驗，但許多老師都是在不自覺地運用變式教學的思想。需要把變式教學變成一個自覺的行為變式教學的目的是讓學生學得聰明一點，但很多時候變成了單純的變式訓練。應(yīng)該通過變式教學，拓展學生的思維許多老師覺得，變式教學挺好，但不容易設(shè)計有效的變式問題。尋找變式教學設(shè)計的有效工具變式教學的目的是針對最近發(fā)展區(qū)構(gòu)建教學支架，但有的變式活動成為“腳踩西瓜皮，滑到哪里是哪里”應(yīng)該通過變式教學，聚焦核心概念和思想方法一、中國的變式教學與西方的變易理論中國數(shù)學變式教學中的各種變式

概念性變式

過程性變式

概念變式

非概念變式

標準變式

非標準變式

問題解決的變式化歸

解題三部曲

鋪墊教學

精致練習

馬頓的變易理論為了認識某個事物，就必須注意到這個事物與其他事物之間的不同。為了注意這個事物與其他事物在某個屬性上的不同，這個屬性就必須在某個維度上發(fā)生變化。在所有其他屬性都保持不變的情況下，這個差異才可以被識別出來。————F.Marton變式教學與變易理論的聯(lián)系有效教學變式教學變易理論數(shù)學任務(wù)學習空間知識結(jié)構(gòu)思想方法學科能力概念理解技能訓練問題解決靈活性適應(yīng)性創(chuàng)造性整體屬性樣例部分基于關(guān)鍵屬性的教學設(shè)計拓展學習空間例子屬性部分整體關(guān)鍵屬性課堂教學設(shè)計與研究的工具多維度的學習空間確定最近發(fā)展區(qū)擴展思維空間構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)聚焦核心概念加深數(shù)學理解二、變式教學的案例分析案例1：無理數(shù)的學習空間關(guān)鍵屬性2：背景幾何方程函數(shù)小數(shù)極限關(guān)鍵屬性4：應(yīng)用方程問題不等式問題函數(shù)問題關(guān)鍵屬性3：算與證結(jié)構(gòu)：代數(shù)，序，拓撲證明：不能寫成整數(shù)之比性質(zhì)：封閉性，稠密性算法：加減乘除關(guān)鍵屬性1：形式特例：√2，π無限不循環(huán)小數(shù)數(shù)軸上的點變式：2+π教學路徑（1）1.背景：正方形2.形式：數(shù)軸上的點01a23.形式：小數(shù)估計教學路徑（2）4.算與證：可以寫成兩個整數(shù)之比嗎？5.形式：無限不循環(huán)小數(shù)對比：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)6.形式：根號教學路徑（3）7.形式：還有其它這樣的數(shù)碼？教學路徑（4）8.算與證：兩個無理數(shù)的運算結(jié)果一定是無理數(shù)碼？拓展：的表示案例2：等腰三角形屬性1：導入三角形的分類對稱性生活圖案屬性2：性質(zhì)定義邊角關(guān)系三線合一軸對稱屬性3：典型例題作圖與構(gòu)造：鐮刀圖形判定形狀：作業(yè)布置度量計算：屬性4：問題情境折剪問題拼圖問題對稱問題折紙對稱與運動：運動問題案例3：二次函數(shù)屬性1：導入一次函數(shù)拋物線二次方程屬性2：性質(zhì)零點開口方向?qū)ΨQ性單調(diào)性屬性3：典型例題根的分布：解析式：待定系數(shù)法對稱性：數(shù)學變換屬性4：問題情境拋物線問題最值問題幾何問題面積問題因式分解：運動問題頂點案例4：平方差公式屬性1：導入簡化計算面積多項式乘法屬性2：形式字母代數(shù)式抽象符號逆向變形屬性3：典型例題對稱性：算法：幾何：屬性4：問題情境計算問題化簡問題幾何問題添項與減項因式分解：方程問題數(shù)字案例5：不等式性質(zhì)屬性1：導入等式的性質(zhì)天平數(shù)軸屬性2：性質(zhì)乘除正數(shù)乘除負數(shù)乘方不等式的定義屬性3：典型例題非負數(shù)：三角形代換差比較法：商比較法換：屬性4：問題情境解不等式路程問題度量問題數(shù)的大小關(guān)系取值范圍：最值問題加減法案例6：概率的意義屬性1：導入數(shù)學問題實驗操作日常經(jīng)驗屬性2：性質(zhì)規(guī)律預(yù)測量化誤差屬性1：典型問題情境投硬幣與骰子產(chǎn)品檢驗摸球與彩票故事幾何變異案例7：平行線性質(zhì)屬性1：導入數(shù)學問題實際情境討論三線八角屬性2：性質(zhì)內(nèi)錯角同旁內(nèi)角唯一性三角形內(nèi)角和屬性3：基本圖形“F”形“Z”形“E”形屬性4：問題情境幾何問題拼圖問題折紙問題由判定定理導入“Σ”形運動問題調(diào)味醬三、變式教學的理論基礎(chǔ)變式教學是中國數(shù)學教學的特色之一“不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅不以三隅反，則不復也。”（《論語.述而第七》）“君子之教，喻也?！薄暗蓝浚瑥姸ヒ?，開而弗達。道而弗牽則和，強而弗抑則易，開而弗達則思。和易以思，可謂善喻矣。”（《禮記·學記》）中國數(shù)學教育的特色之一是“變式訓練”，（張奠宙、李士锜、李俊，2002）在教學中使學生確切掌握概念的重要方式之一。（《教育大辭典》，顧明遠，1999）變式是教學中使學生確切掌握概念的方法之一，即從不同方面、不同角度和不同情況來說明某一事物，從而概括出事物的一般屬性。（《實用教育大辭典》，王煥勛，1995）1.有助于形成良好的認知結(jié)構(gòu)雙基典型例題數(shù)學思想方法2.在較大的認知單元上工作課例：“二元一次方程組的應(yīng)用”復習課例5例4例6例3例7例2例8例1原設(shè)計新設(shè)計例5例4例6例3例7例2例8例13.設(shè)計奠基性數(shù)學活動（林福來）由圓柱和圓錐的體積推測圓臺的體積公式？4.聚焦本源性問題（化歸思維）烏魯木齊市第十三中學

胡玉社5.舉一反三與一以貫之原始問題變式1變式2變式3關(guān)于變式教學的研究歷程顧泠沅(1977–1990).上海青浦實驗顧泠沅(1991).學會教學.人民教育出版社

鮑建生,黃榮金,易凌峰

&顧泠沅(2003).變式教學研究.數(shù)學教學,1-3

聶必凱(2004).數(shù)學變式教學的探索性研究.華東師大博士論文GuL.,Huang,R.&Marton,F.(2004).BiansheJiaoxue(Teachingwithvariation):Aneffectivewayofmat