2022年人教A版高中數(shù)學必修第一冊第4章同步知識點指導與訓練

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

4.1指數(shù)

【素養(yǎng)目標】

i.弄清(%)”與海的區(qū)別，掌握〃次方根的運算.(數(shù)學抽象)

2.能夠利用3=幅進行根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化.(數(shù)學運算)

3.通過對根指數(shù)〃的討論學會運用分類討論的思想方法.(邏輯推理)

【學法解讀】

本節(jié)的重點是根式與分數(shù)指數(shù)暴的概念及性質(zhì)和分數(shù)指數(shù)幕的運算法則，以及法則的推廣，這同時也

是簡億計算的一個方面.在學習中應(yīng)采用類比的方法經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)塞到有理數(shù)指數(shù)累、再到實數(shù)指數(shù)累

的拓展過程，掌握指數(shù)基的運算性質(zhì).

4.1.1〃次方根與分數(shù)指數(shù)基

必備知識?探新知

基礎(chǔ)知識

■知識點1〃次方根

定義--般地，如果亡=小那么x叫做a的〃次方根,其中〃>1,且〃七N*

a>0x>0

〃是奇數(shù)X僅有一個值，記為缶

a<0x<0

個數(shù)

a>0x有兩個值，且互為相反數(shù)，記為土缶

〃是偶數(shù)

a<0X不存在

思考1：正數(shù)。的〃次方根一定有兩個嗎？

提示：不一定.當〃為偶數(shù)時，正數(shù)。的〃次方根有兩個，且互為相反數(shù)，當〃為奇數(shù)時，正數(shù)。的〃

次方根只有一個且仍為正數(shù).

知識點2根式

(1)定義：式子缶叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，

。叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì)：(〃>1,且〃￡N*)

?(y[a)n=a.

〃為奇數(shù)，

②叫:1同:〃為偶數(shù).

思考2：(彷)”與胞中的字母〃的取值范圍是否一樣？

提示：取值范圍不同.式子(%)”中隱含。是有意義的，若〃為偶數(shù)，則。20,若〃為奇數(shù)，〃￡R；

式子切中，a￡R.

知識點3分數(shù)指數(shù)塞的意義30,m,〃￡N:且〃>1)

m

正分數(shù)指數(shù)幕7=版

311

a-,—

負分數(shù)指數(shù)塞n

0的分數(shù)指數(shù)第0的正分數(shù)指數(shù)鼎等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義

思考3：為什么分數(shù)指數(shù)恭的底數(shù)規(guī)定。>0?

提示：(1)當。<0時，若〃為偶數(shù)，機為奇數(shù)，則j,a7無意義；

(2)當。=0時，無意義.

知識點4有理數(shù)指數(shù)鬲的運算性質(zhì)(GO,A>0,r,sWQ)

⑴*=/s.

(2)(0=酒

O)(ab)r=arbr.

思考4：同底數(shù)基相除/小〃，同次的指數(shù)相除票分別等于什么？

提示：(l)a，+if=。L'；

(謗=(/

基礎(chǔ)自測

L4百等于(B)

A.2B.-2

C.±2D.-8

［解析］g=［(-2)3=-2.

2.下列各式正確的是(A)

A.（編）3=B.(能了=一7

C.(yfa)5=\a\D.y［^=a

［解析I(赤)3=。，(4?=7,

(\［a)5=a,名示=|a|="'"I。；、，故選A.

—a(〃<0)

3.41可化為(c)

4

A.8B.25

12

C.不D.24

o

21iii

［解析］42=-j=3=93=O-

47(22/

4.若公>0,〃，切為實數(shù)，則下列各式中正確的是(D)

絲

A.4'+/=/B.4〃?""=。加"

C.D.1

［解析I由指數(shù)嘉的運算法則知1：/=。。+/=。°—〃正確，故選D.

5.若折弓有意義，則實數(shù)x的取值范圍為(-8,61.

［解析I要使式子般不有意義，應(yīng)滿足6—x20,

關(guān)鍵能力?攻重難

題型探究

題型一〃次方根的概念

?■例1(1)16的平方根為坦，一27的5次方根為如三五；

(2)已知丁=6,則］=/；

(3)若需二i有意義，則實數(shù)x的取值范圍是［2,+8).

［分析］解答此類問題應(yīng)明確n次方根中根指數(shù)對被開方數(shù)的要求及〃次方根的個數(shù)要求.

［解析］(1)???(±4)2=16,???16的平方根為±4.—27的5次方根為田二方.

(2)Vx7=6,.”=依

41------

(3)要使正工有意義，則需“一220,即x22.因此實數(shù)x的取值范圍是［2,+-).

［歸納提升］(1)任意實數(shù)的奇次方根只有一個，正數(shù)的偶次方根有兩個￡互為相反數(shù)；

(2)(%)〃是實數(shù)a的〃次方根的n次寐，其中實數(shù)。的取值由n的奇偶性決定.

【對點練習】?計算下列各值：

(1)27的立方根是』

(2)256的4次算術(shù)方根是4；

(3)32的5次方根是2.

［解析］(1)??*=27,

，27的立方根是3.

(2)V(±4)4=256,

J256的4次算術(shù)方根為4.

(3)V25=32,

???32的5次方根為2.

題型二利用根式的性質(zhì)化簡或求值

??例2化簡：

(1啟(3-二)4

(2)xJ(〃—()2(a>b)；

(3)(〉〃-1A+N(1-a)2+守(1—。)3.

［解析］(1).(3-n)4=0―n|=I—3.

(a-()2=\a-b\=a-b.

(3)由題意知。一120,即。21.

原式=a—1+|1—〃|+1—a

=a—1+a-1+1—a=a—\.

［歸納提升］〃為赤數(shù)時，(%)"=加=出。為任意實數(shù)均可；〃為偶數(shù)時，。20,(%)”才有意義,

且(缶)〃=a;而。為任意實數(shù)超均有意義，且汩=同.

【對點練習】?求下列各式的值：

(1)7(-2)7；

A.-----------------

(2)V(3a-3)1(a<l)；

(3)+yj(1—a)4.

［解析］(1)7(-2)7=-2.

(2)。(3〃—3)4=|3〃—3|=3|a—1|=3—3a.

(3)^/?+M(1—a)4=a+|l—a\=1,aWl,

2a-1,a>\.

題型三根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化

??例3（1）用根式的形式表示下列各式（%＞0）.

①j;@x-\

⑵把下列根式化成分數(shù)指數(shù)轅的形式，其中。乂），比＞0.

［解析］（口①/二知？；

②/=心

⑵①舊=7.

?^-=4=/.

叫§=身=貳。V.

________6

?yj（_q）6=迎＞=”=卓

［歸納提升1根式與分數(shù)指數(shù)球互化的規(guī)律

化為

（1）根指數(shù)-------??分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)

（式）的指數(shù)一分數(shù)指數(shù)的分子.

⑵在具體計算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)藤的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)寐的運算性質(zhì)解題.

【對點練習】?（1）化簡（學125）一-3的結(jié)果是（A）

A3c5

A-5B-3

C.3D.5

⑵用分數(shù)指數(shù)累表示下列各式：

題型四利用分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡求值

“■例4⑴計算：（21）。+2-2?（2；尸一（0.01）。.5=1|；

(2)化簡：4-'\/4-.

［分析］將根式化為分數(shù)指數(shù)察的形二3利用分數(shù)指數(shù)鬲的運算性質(zhì)計算.

1411

解

桐?式+XG+-16

1-----

-4y6

1015

30~3/~8~J53/~31

（2）原式=7/小鼠萬?7尸不

—-?y］a2

2222

=/+3平"29

2

_2_7_I_-14-1

_6ZT_6:a_a_ci.

［歸納提升］1.球的運算的常規(guī)方法

C）化負指數(shù)簇為正指數(shù)寐或化分母為負指數(shù)：

（2）化根式為分數(shù)指數(shù)寐；

（3）化小數(shù)為分數(shù).

2.分數(shù)指數(shù)寐及根式化簡結(jié)果的具體要求

利用分數(shù)指數(shù)寐進行根式計算時，結(jié)果可化為根式形式或保留分數(shù)指數(shù)寐的形式，不強求統(tǒng)一用什么

形式，但結(jié)果不能既有根式又有分數(shù)指數(shù)冢，也不能同時含有分母和負指數(shù).

【對點練習】?計算下列各式（式中字母均為正數(shù)）.

?（5x-y）?（y）?（~^y~6）；

17-

?(0.064)-3-(-O)0+[(-2)3]-3+16-0-75：

o

^|+，0.0625+[(0.06宿2牙一"。.

15-1ill

[解析1①原式=[5X(-w)X(-7)ky?Xy?46

21|—

25-

-一-

-3？2

-273

_25_y|

-24x戶

②原式=0.4_,-1+(-2尸+2-3

5,?1?1

=2-1+16+8

_27

二7?

75i771AOS1Ad1254],

③原式=(/一卬+而俞“(兩5心2減一1=]-尹/@「1=3.

課堂檢測?固雙基

1.化簡［（一書）2］』的結(jié)果是（C）

_亞

A.B.小

3

C.坐D.一小

［解析］［（一?。?］*=3

2.已知機v|,則化簡/（3加一2）2的結(jié)果為（c）

A.、3〃1—2B.-yl3m~2

C.^2~3mD.—\l2—3m

2

[解析IA3m-2<o,排除A,B,

又（3加-2）2>0,所以，（3〃?一2）2為正,所以選C.

3.若2V“V3,化簡N（2-〃）2+中（3—。）4的結(jié)果是（c）

A.5~2aB.2a-5

C.1D.-1

［解析］由于2VaV3,所以2—。<0,3一心0,所以原式="-2+3—4=1,故選C.

4.以下說法正確的是（C）

A.正數(shù)的〃次方根是正數(shù)

B.負數(shù)的〃次方根是負數(shù)

C.0的〃次方根是0（其中〃>1且〃WN?）

D.負數(shù)沒有〃次方根

［解析］對于A,正數(shù)的偶次方根中有負數(shù)，???A錯誤；

對于B,負數(shù)的奇次方根是負數(shù)，偶次方根不存在，

JB錯誤;

卻于C,當〃>1且〃WN*時，0的〃次方根是0,

.'.C正確；

對于D,〃為奇數(shù)時，負數(shù)的奇次方艱是負數(shù)，???D錯誤.

44

5.（2021?江蘇、蘇州市高一期中測試）求值：yp-1

33

一

［解析］

素養(yǎng)作業(yè)提技能

請同學們認真完成練案［25］

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

4—

1.一句f證的結(jié)果是（B）

A.2B.-2

C.±2D.以上都不對

［解析1—§TB=—勺方=—2.故選B.

2.下列各式正確的是（C）

A.%（-3）2=寺（-3）B.

C.影=能D.a°=\

［解析］§（-3）』褥=折,勺7=同，〃。=1條件為aRO,故A,B,D錯.

3,若2019vm〈2020,則(?！?一2O19>+4(m-2020)，等于(A)

A.1B.4031-2加

C.4031D.2/W-4031

［解析］因為2019Vm<2020,所以加一2020<0.

故原式=m—2019+|w-2020|

=/n-2019+2020-m

=1.

故選A.

4.若甑寺?行G有意義，則x的取值范圍是(C)

A.x22B.xW3

C.2?D.x￡R

［解析］由題意，知工一220,且3—工20,所以2WxW3.

二、填空題

5.64的6次方根是拉，計算64一3的值是古.

2==

［解析］???(±2)6=64,，64的6次方根是±2；64"=」一=----!----=----!----^~k'

礪.⑷)2.3)3

6.已知a￡R,給出四個式子：①［(-2)叫②需；③3(-3)2；④，二7,其中沒

有意義的是③.(只填式子的序號即可)

［解析］③中被開方數(shù)為負數(shù)，且開偶次方，無意義，其余都有意義.

三、解答題

7.寫出使下列各式成立的實數(shù)%的取值范圍：

(1%芬士：

QN(x-5)~~(X2-25)=(5-xyyjx-^5.

［解析］(1)由于根指數(shù)是3,故x只需使占有意義即可，此時x—3W0,即x￥3.故實數(shù)x的取值范圍

是彳#3.

(2),?W(彳一5)(/—25)=7讓-5)2a+5)=(5一分正名,

x+520,

，一5WxW5.

%—5W0,

，實數(shù)x的取值范圍是一5《x《5.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.化簡（一勸勺一:的結(jié)果是（B）

A.y[xB.—x\[—x

C.x\{xD.x\j—x

[解析]由知％<o,又當x〈o時，d?=H=-x,因此（一幻、^^=』J―

2.（多選題）下列根式、分數(shù)指數(shù)基的互化中，正確的是（CD）

,故CD正確.

二、填空題

3.若10°=2,100"=3,則10002

［解析］V100=2,100^=10^=3,

???10'=小.

.10002。-鼻=心」=等第=邛.

31。43

211Q2

4.273+1—2一（；）-2一（合）-3=3.

212-Q

［解析］原式=（33）3+（42）*22一◎廠3=32+4-4—;=3.

三、解答題

5.計算：

2.______

+水）.125；

（2）寸（一8）3+。（小一2）4一寸（2一?。?；

⑵原式=-8+h/§—2|—（2一?。?/p>

=-8+2-V3-2+V3=-8.

（3）原式=（,

=（坐-：）.（/+D+1

斗5-1）.（小+1）+1

=2（3-1）+1=14-1=2.

4.1.2無理數(shù)指數(shù)率及其運算性質(zhì)

必備知識?探新知

基礎(chǔ)知識

知識點1無理數(shù)指數(shù)鬲

無理數(shù)指數(shù)鼎a\a>0,a是無理數(shù))是二個確定的實數(shù).

思考1：2也一定是實數(shù)嗎？

提示：根據(jù)無理指數(shù)暴的定理2正是實數(shù).

知識點2實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)(a>0,b>0,r,5ER)

(lXav=^2.(2)(°了=貯.(3)(abY=arbr.

思考2：指數(shù)基是怎樣從正整數(shù)指數(shù)幕推廣到實數(shù)指數(shù)累的？

提示:

?黑髻｝自然數(shù)指數(shù)均鉉批招宴

。次指數(shù)幕負整數(shù)指數(shù)森魏慧力黑舞w｝曹嘉

基礎(chǔ)自測

1.下列說法正確的個數(shù)是(B)

⑴無理數(shù)指數(shù)塞有的不是實數(shù).

⑵指數(shù)鬲明辦0)中的X只能是有理數(shù).

(3)(3/)啦=9.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］(1)無理數(shù)指數(shù)累對應(yīng)一個確定的實數(shù)，不正確;

⑵指數(shù)嘉爐3>0)中的x是任意實數(shù)，不正確；

(3)(36)^2=3由=32=9,正確，故選B.

X1

2.43a6=42

3.0)小=7/Va.

關(guān)鍵能力?攻重難

題型探究

題型一無理數(shù)指數(shù)得的運算

?■例1計算下列各式：

⑴(3幻笆產(chǎn)；

jr

⑵石.

正

［解析］(1)原式=(3/X23)30=36X22=2916.

n27Cn

⑵原式=7+于r=a一不.

［歸納提升J關(guān)于無理數(shù)指數(shù)器的運算

⑴底數(shù)相同時直接對指數(shù)上的無理數(shù)進行加減運算.

(2)若式子中含有根式，則先化為指數(shù)式再進行運算，一般指數(shù)中的根式可以保留.

【對點練習】?計算下列各式：

(2)(m手m-&)I2.

［解析］⑴原式=(“小-2)砧=(兀2)寸=n3.

nn

⑵原式=(不一卬2=(〃產(chǎn))12=62;

題型二指數(shù)幕運算的綜合應(yīng)用

11

?■例2已知/+a與=3,求下列各式的值.

(l)a+H(2)屋+。一2；(3片

-方

［分析］利用完全平方差公式求(1)(2),利用立方差公式求(3).

?1

［解析］(1)將7+。$=3兩邊平方，得〃+/1+2=9,即a+/i=7.

(2)將a+ai=7兩邊平方，有4+加2+2=49,：.a2+a2=47.

33，.2_

2323

(3)由于/一a~=(cr)-(a~)f所以有—-

II1

(滔一a

-----i----i-----------=a-\-a[+]=7+]=8.

［歸納提升］(1)條件求值是代數(shù)式求值中的常見題型，一般要結(jié)合已知條件先化簡再求值，另外要特別

11

注意條件的應(yīng)用，如條件中的隱含條件，整體代入等，可以簡化解題過程.在題若通過/+/3=3解出〃

的值代入求值，則非常復雜.

(2)解決此類問題的一般步驟是

從整體上把握已知條件

和所求代數(shù)式的特點

H化簡已知條件I

化筒

q化簡所求代數(shù)下］

求侑把條件代入求值］

孫=16,求壬乜的值.

【對點練習】?已知x-y=6,

A2—/

［解析?.出=高力(”

-y(JC2—y2)

______x-y

x+y-2(孫)7

又％—y=6,xy=16,

.,.(x+y)2=(x-j)2+4xy=624-4X16=100.

.'.x+y=10或x+y=—10.

當x+y=10時，原式值為10—擻乂4=3,

6

當x+y=-10時，原式值為一in0V/1=—4

誤區(qū)警示

因忽略幕底數(shù)的范圍而導致錯誤

3化簡(1—a)［(a—1)一2(—，)2平=(一不

［錯解］(1一初(°一1)-2?(一。)蘋

xX

=(1一-(一。)*=一(一4)1.

［錯因分析］忽略了題中有(一次即相當于告知一心0,故后0,這樣，［3—1)一2］必伍一1尸.實際上

在解答本類題時除了靈活運用運算法則外還要關(guān)注條件中的字母是否有隱含的條件.

［正解］由(一招知一心0,故4一1<0.

JLJL11

.,.(1—〃)［(〃-I)2(—〃)孑=(［—〃)(1—。尸?(一〃)，=(—〃)*.

［方法點撥］在利用指數(shù)繇的運算性質(zhì)時，要關(guān)注條件中有無隱含條件，在出現(xiàn)根式時要注意是否是偶

次方根，被開方數(shù)是否符合要求.

學科素養(yǎng)

用換元法處理指數(shù)幕中的化簡與證明問題

7OI

?1?J4設(shè)4,b,c都是正數(shù)，且3"="=6。，求證：冷+卡.

［分析］根據(jù)已知條件3“="=6M設(shè)一個參數(shù)f,用含f的式子表示出b,c,從而找到a,Ac之間

的關(guān)系.

xxx

［解析］令3"="=6。=?。0),則3=八2=產(chǎn)，6=￡

I1

因為3X2=6,所以/?尹=5,

J.11的2,1

即P一+五=一，所以一=一+工.

a2bccab

［歸納提升1對于指數(shù)賽等式的證明問題常常是將指數(shù)球化為同底，利用指數(shù)版相等的規(guī)律進行證

明.解決此類問題的關(guān)鍵是通過指數(shù)運算進行等價代換，以及利用參數(shù)找到已知與結(jié)論的聯(lián)系，這樣才能

使問題迅速得到解決.

課堂檢測?固雙基

1.下列能正確反映指數(shù)易的推廣過程的是(A)

A.整數(shù)指數(shù)塞一有理數(shù)指數(shù)塞一無理數(shù)指數(shù)昂

B.有理數(shù)指數(shù)基一整數(shù)指數(shù)基一無理數(shù)指數(shù)基

C.整數(shù)指數(shù)累一無理數(shù)指數(shù)某一有理數(shù)指數(shù)累

D.無理數(shù)指數(shù)某一有理數(shù)指數(shù)塞一整數(shù)指數(shù)累

廠應(yīng)

2.計算（26廠2的結(jié)果是（D）

A.y［2B.一班

C.2D.1

廠近1

［解析］（氈廣=2-1=*故選D.

A）

197

C.刁D.廬

［解析］原式?。4=/+4=°20,故選A.

4.設(shè)x￡R且xWO,若x+Xr=3,則r十68的個位數(shù)字是（D）

A.2B.5

C.6D.7

［解析］x+x-1=3^x2+x-2=7=>x4-|-x-4=47=>x8+x_8=472—2,故選D.

素養(yǎng)作業(yè)提技能

請同學們認真完成練案［26］

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.化簡自（-5）2『的結(jié)果為（B）

A.5B.小

C.一小D.-5

［解析］原式=（褥）彳=（57=5?4=宇=木.

2.卷化成分數(shù)指數(shù)轅為（B）

￡土

A.x-5B.戶

C.x~^

D./

3.若31一2)，=2,則薩=(B)

11

A-5B-25

C.5D.25

v

［解析］*25=52廠”=5-2==1.

25

4.計算(2a%-5).(—3a歷)網(wǎng)4a4戶)的結(jié)果為(A)

A.一金B(yǎng).”2

C.一泰，D.射

［解析I原式=(-6刈-3-1尸+|)汽4加夕力

=一方一4+4?，+5=一去2

二、填空題

5.計算：(0.027戶一(6()'+2563+(2小戶一3一1+五°=照看.

［解析］原式=(0.33)，一｝+(44)4+(2即一g+1=0.3—1+43+2—1+1=64-^.

6.化簡/?7a3.W?訶(〃>0)的結(jié)果是1.

［解析］\laz,+7赤^?=7示?7)+7L際=a-ra=1.

三、解答題

7.計算下列各式：

(?)(6^)-5+5-：2X253-4yX；

⑵(2/'+(0.1)-2+(堞)T-3it。+養(yǎng)

［解析］(1)原式=(竽盧+5X(52)L(22菽1

⑵原式=管戶焉戶+(招)3—3+1

5937

=幣+100+而-3+麗=100.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.如果x=l+2〃，），=1+2",那么用x表示了為（D）

x+1x+1

A.y="=-

'x—1B-yr-

X—1

D.y—

JX—1

［解析］由x=l+2",得2。=工-1,y=1+2-6=11

2.（多選題）卜夕U結(jié)論中不止確的是（ABC）

3

A.當4<0時（層）2=/

B.甯=13

2

C.函數(shù)丁=。一2日一（31一7）。的定義域是［2,+8）

D.若100a=5,10*=2,則2a+b=l

1

［解析］取a=—2,可驗證A不正確；當a<0,〃為奇數(shù)時，B不正確；y=（x—2）’—（3x—7）。的定義域

77

應(yīng)是［2,辛ug,+8）,C不正確；D.由10"=5,得10加=5,又W=2,兩式相乘得也小=10,即2a

+b=l正確.

二、填空題

3.設(shè)a,"為方程”+3x+l=0的兩個根，則（；）"+夕='

31］士』

［解析］由根與系數(shù)的關(guān)系，得。+片一本所以（；嚴修（/2=（2-2）"=23=8.

33

a177-12=

23</7=2

4.(2021.江西南昌高一聯(lián)考)計算：d)+(-9.6)°-(y)-X\^-

［解析］（影+（—9.6）。—（第K&=（赳+1—（獷］裝崩=扛i-l=1.

三、解答題

5.已知x+y=10,xy=9f且％<y，求［’；的值.

J+y2

［解析I因為11=工工」工工

/+/（/+，）（/-），）

_a+y）-2（町，）*

x—y

又因為x+y=10,封=9,②

所以（x—y）2=（x+y）2—4xy=IO2—4X9=64.

因為x<y,所以x—y=-8,③

將②③式代入①式得士二苫=吐彳城=-

-8

4.2指數(shù)函數(shù)

【素養(yǎng)目標】

i.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法.（數(shù)學抽象）

2.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，并能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象說出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).（直觀想象）

3.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并會應(yīng)用，能利用函數(shù)的單調(diào)性比較累的大小.（邏輯推理）

4.通過本節(jié)學習，進一步體會圖象是研究函數(shù)的重要工具，能運用指數(shù)函數(shù)的圖象研究一些實際問

題.（數(shù)學運算）

【學法解讀】

指數(shù)函數(shù)的學習，學生應(yīng)掌握指數(shù)函數(shù)的運算法則和變化規(guī)律，運用信息技術(shù)學習、探索和解決問題.例

如，利用計算器、計算機畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，探索、比較它的變化規(guī)律，并研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

4.2.1指教法教的概念

必備知識?探新知

基礎(chǔ)知識

知識點1指數(shù)函數(shù)

函數(shù)、，=力（。>0,且aWD叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

思考1：（1）為什么指數(shù)函數(shù)的底數(shù)。>0,且

⑵指數(shù)函數(shù)的解析式有什么特征？

提示：（1）①如果。=0,當x>0時，爐恒等于0,沒有研究的必要；當xWO時，爐無意義.

②如果〃<0,例如y=（一4>，這時對于尸今；該函數(shù)無意義.

③如果。=1,則y=l*是一個常量，沒有研究的價值.

為了避免上述各種情況，所以規(guī)定。>0,且々W1.

(2)①a>0,且々K1；②爐的系數(shù)為1;③自變量x的系數(shù)為1.

知識點2指數(shù)型函數(shù)模型

形如v=3"￡R,且kWO；?0且aRl)的函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)模型.

思考2：設(shè)原有量為N,每次的增長量為p,經(jīng)過4次增長，該量增長到)，，則x,y之間滿足的關(guān)系式

是什么？

提示：y=Ml+pF(x￡N).

基礎(chǔ)自測

1.下列函數(shù)中一定是指數(shù)函數(shù)的是(C)

A.曠=2eB.y=f

C.y=3~xD.y=-2-3x

［解析］只有丁=3一'=《)'符合指數(shù)函數(shù)的概念，A,B,D選項中函數(shù)都不符合)，=爐(公>0,且

的形式.

2.按復利計算利率的儲蓄，存入銀行2萬元，如果年息3%,5年后支取，本利和為人民幣(B)

A.2(1+03)5萬元B.2(1+0.03)5萬元

C.2(1+0.3)4萬元D.2(1+0.03尸萬元

3.若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且式2)=2,則式x)=h②S

［解析］設(shè)｛r)=〃(a>0且aH1),

由42)=2得次=2,?,?〃=&或一正(舍去).

?g)=(回

關(guān)鍵能力?攻重難

題型探究

題型一指數(shù)函數(shù)的概念

??例1(1)下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是(B)

A.y=(-4尸B.y=nx

C.y=-4vD.y=aK+2(a>0,a#l)

(2)若y=Q2—3a+3)"是指數(shù)函數(shù)，則有(C)

A.a=1或2B.a=1

C.a=2D.a>0且。六1

［分析］利用指數(shù)函數(shù)的定義進行判斷.

［解析］(1)函數(shù)丫=(一4＞的底數(shù)一4＜0,故A中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)的系數(shù)為1,底數(shù)冗＞1,

故B中函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；

函數(shù)),=一羋的系數(shù)為-1,故C中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；

函數(shù)),=爐+2=〃.爐的系數(shù)為。2,故D中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)，故選B.

〃2—3〃+3=1

(2)由題意，得，。＞0,

"I

解得。=2,故選C.

［歸納提升］1.指數(shù)晶數(shù)的解析式必須具有三個特征：

(1)底數(shù)〃為大于。且不等于1的常數(shù)；

(2)指數(shù)位置是自變量x;

(3)戶的系數(shù)是1.

2.求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù)a,并注意a的限制條件.

【對點練習】?(1)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是(D)

A.y=2-(y［2YB.y=x￥

x

C.y=3*D.y=(小廠

(2)若函數(shù)尸〃(2—。尸是指數(shù)函數(shù)，則(C)

A.a=1或-1B.a=l

C.a=~\D.a＞0且aRl

［解析］(1)由指數(shù)函數(shù)定義可知，函數(shù)y=(小廠是指數(shù)函數(shù)，故選D.

(2)由條件知，2—公＞0,解得々=-1.

12-

題型二指數(shù)函數(shù)解析式

?■例2(1)指數(shù)函數(shù))=?r)的圖象經(jīng)過點(無，＜2),則/一/)=坐

(2)指數(shù)函數(shù)'=段)的圖象經(jīng)過點(一2,；),那么心)?貝2)=處

［解析］⑴設(shè)段)="3＞0且aKl),則。'=也，

,小―”)="_7一/=2.

⑵設(shè)義幻=爐(〃＞0且aHl),則。-2=不;.a=2.

x

：.J(x)=2f??瓜4)逃2)=24?22=26=64.

【歸納提升I求指數(shù)函數(shù)解析式的步璨

⑴設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為Kt）="（a>0且。工1）.

（2）利用已知條件求底數(shù)a.

（3）寫出指數(shù)函數(shù)的解析式.

【對點練習】?（1）若點（。，27）在函數(shù)y=（小尸的圖象上，則/的值為（A）

A.,B.1

C.2V5D.0

⑵若指數(shù)函數(shù)），=?的圖象經(jīng)過點（一2,9，

31

則，一引=］

題型三指數(shù)型函數(shù)的實際應(yīng)用

角度1增長型指數(shù)函數(shù)模型

?■例3隨著我國經(jīng)濟的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計該地

區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的平均增長率增長，那么2021年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為

（B）

A.3000X1.06X77EB.3000X1.067TG

C.3000X1.06X8元D.3000X1.068元

［解析I由題意知，2021年底該地區(qū)農(nóng)民人均收入為3000X（l+6%）7=3000X1.067,故選B.

角度2衰減型指數(shù)函數(shù)模型

?■例4調(diào)查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機動車時

血液中酒精含量不得超過0.2mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到0.8mg/ml,在

停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時50%的速度減少，則他至少要經(jīng)過小時后才可以駕駛

機動車.（B）

A.1B.2

C.3D.4

［解析］設(shè)〃小時后才可以駕車，據(jù)題意得

0.8（l-50%）”W0.2,???0.5〃W（,

即至少要經(jīng)過2小時后才可以駕駛機動車，故選B.

［歸納提升］關(guān)于指數(shù)型函數(shù)模型

談原有量為M每次的增長（衰減）率為p,經(jīng)過彳次增長（衰減），該量增長到y(tǒng),則y=Ml切TOWN）.

【對點練習】?已知某種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本每年降低25%.若該產(chǎn)品2017年底的生產(chǎn)成本為6400元/件,

那么2020年底的生產(chǎn)成本為2_700元/件.

［解析］2020年底生產(chǎn)成本6400X（1—25%>=2700元.

課堂檢測?固雙基

1.下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（D）

A.y=（-8r

B.^=2^-1

C.y=ax

D.y=（2a-iy（a>^t且。#1）

2.若指數(shù)函數(shù)￡x）的圖象過點（3,8）.則的解析式為（B）

A.於）=3B.凡0=2》

11

C.Av）=（2>rD.段）=f

3.（2020.吉林乾安七中高一期中測試）指數(shù)函數(shù)人工）的圖象經(jīng)過點（2,4）,則43）=1

［解析］設(shè)大防="3>0且。燈），

由題意，得■4一々2,：.a—2.

.??段）=2",?M3）=23=8.

4.若函數(shù)丁=伏+2）0r+2-b（a>0,且。#1）是指數(shù)函數(shù)，則a=二1，b=2.

k+2=14=—1

［解析1根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，得L,八，解得，-.

2~b=（j［b=2

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

請同學們認真完成練案［27］

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（D）

A.y=x5B.y=~

C.y=5'D.卜=5級

［解析］根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義：形如y