黑龍江省牡丹江市海林市朝鮮族中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

黑龍江省牡丹江市海林市朝鮮族中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D．2．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．4．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的-一個(gè)公共點(diǎn)，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關(guān)系為（）A． B．C． D．5．已知雙曲線（，），以點(diǎn)（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題7．已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或8．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．11．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．12．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年，小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì)，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”，為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰(shuí)制作的，村支書對(duì)三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國(guó)之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn)，的面積為3，則的值是______.14．正方體的棱長(zhǎng)為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí),的取值范圍是______.15．函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.16．（5分）如圖是一個(gè)算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）超級(jí)病菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次，假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p（）.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.（i）試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（ii）若，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，18．（12分）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若，求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線，交于點(diǎn)，且的最大值為，求的值.20．（12分）設(shè)函數(shù)，，其中，為正實(shí)數(shù).（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，證明：對(duì)任意，都有.21．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”為假命題，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為利用模長(zhǎng)公式即得解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，模長(zhǎng)公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

取中點(diǎn)，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時(shí)，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，過作面，如圖：則，故，而對(duì)固定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最?。藭r(shí)由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.3、A【解析】

觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個(gè)半球體，半徑為1，按公式計(jì)算可得體積?！驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A?！军c(diǎn)睛】本題通過三視圖考察空間識(shí)圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。4、A【解析】

設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設(shè)，在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.5、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于，因?yàn)?，所以圓心到的距離為：，即，因?yàn)?，所以解得．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．對(duì)于離心率求解問題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程，主要有兩個(gè)思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.6、D【解析】選項(xiàng)A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項(xiàng)B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項(xiàng)C，由題意知對(duì)，都有，故C不正確．選項(xiàng)D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．7、D【解析】

先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時(shí)為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題目.8、C【解析】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-1，-2）位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.10、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得，即可得到，代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

由已知向量的坐標(biāo)，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，設(shè)與的夾角為，，由于向量夾角范圍為：，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.12、B【解析】

將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對(duì)求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程，令，可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，由的面積為3，求解即得.【詳解】由題，，切線斜率，則切線方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線，難度不大.14、【解析】

由弦的長(zhǎng)度最大可知為球的直徑.由向量的線性運(yùn)用表示出，即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接，如下圖所示：設(shè)球心為,則當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，為球的直徑，由向量線性運(yùn)算可知正方體的棱長(zhǎng)為2，則球的半徑為1，，所以，而所以，即故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算，正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.15、【解析】

直接計(jì)算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，故，當(dāng)時(shí)，，故，解得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.16、或【解析】

依題意，當(dāng)時(shí)，由，即，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得或(舍去)．綜上，得或．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值為4.【解析】

（1）設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃?yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來為事件A,利用古典概型、排列組合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,,則可求得,,即可得到,進(jìn)而由可得到p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（ii）由可得,推導(dǎo)出,設(shè)（）,利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性,由單調(diào)性可求出的最大值【詳解】（1）設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃?yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來為事件A,則,∴恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,,,,,若,則,則,,,∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為（,且）（ii）由題意知,得,,,,設(shè)（）,則,令,則,∴當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)增減,又,,,又,,,∴k的最大值為4【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,考查隨機(jī)變量及其分布,考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可以確定點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合垂線段的性質(zhì)可以確定點(diǎn)到平面的距離最大，最大值為1.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量夾角公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑吻?所以，因?yàn)椋?，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?同理可證，因?yàn)?，所以平?（2）解：由（1）得平面，所以平面平面，平面平面.所以點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離.過作的垂線段，在所有的垂線段中長(zhǎng)度最大的為，此時(shí)必過的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以此時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，最大值為1.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，所以，所以面與面所成二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了二面角的向量求法，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、（1），；（2）或【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，即可求得曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由直線的普通方程為，故上任意一點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，即可求得答案.【詳解】（1），.由，得，曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）由題意知直線的普通方程為，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）故上任意一點(diǎn)到的距離為則.當(dāng)時(shí)，的最大值為所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以.綜上所述，或【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，和點(diǎn)到直線距離公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足不等式的的取值范圍；(2)不等式整理為，由(1)可知當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而證明在區(qū)間上成立，從而證明對(duì)任意，都有.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒在的圖象的下方，所以在區(qū)間上恒成立.設(shè)，其中，所以，其中，.①當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故成立，滿足題意.②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，則圖象的對(duì)稱軸，，，所以在上存在唯一實(shí)根，設(shè)為，則，，，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）