多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則科學(xué)出版社一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則科學(xué)出版社定理1.

在對應(yīng)點(diǎn)（u,v）可微,在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:則相應(yīng)中間變量且有鏈法則（見右邊的樹圖）有增量△u,△v,由于f

可微，所以上式兩端同時除以△t，得到一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t若函數(shù)設(shè)△t

為t

的增量,科學(xué)出版社導(dǎo)數(shù)，(△t＜0時,根式前加“–”號)為了與偏導(dǎo)數(shù)區(qū)別,稱為全全導(dǎo)數(shù)還可以寫成:科學(xué)出版社若定理中注:如:易知:但不可微（驗證），此時復(fù)合函數(shù)可微減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.科學(xué)出版社推廣:1)中間變量多于兩個的情形.設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.例如,定理2.

設(shè)則偏導(dǎo)數(shù)都存在，科學(xué)出版社例1.設(shè)其中求解:代入解法二，所以先代入，變成一元函數(shù)的求導(dǎo).因為解法一，科學(xué)出版社例2.解設(shè)科學(xué)出版社例3.

的偏導(dǎo)數(shù).解:有了多元函數(shù)的鏈法則，就不需要用對數(shù)求導(dǎo)法了.由復(fù)合而成，于是同理可得求這是一個冪指函數(shù)，科學(xué)出版社例4.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：驗證解的問題中經(jīng)常遇到,下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加.多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與科學(xué)出版社求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).例5.

都具備可微條件，解:注：有時會出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)的某些中間變量本身又是復(fù)合函數(shù)的自變量的情況，這時要注意防止記號的混淆.如左圖，有在應(yīng)用鏈法則時，設(shè)科學(xué)出版社如,當(dāng)它們都具有可微條件時,有注意:這里表示復(fù)合函數(shù)f(x,

(x,t))固定t

對x

求導(dǎo)表示f(x,y)固定y

對x

求導(dǎo)與不同,科學(xué)出版社例6.

設(shè)都有一階求連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，解:代入中間變量，得到復(fù)合函數(shù)科學(xué)出版社為簡便起見,引入記號例7.f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則

設(shè)科學(xué)出版社二、一階全微分形式不變性設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做一階全微分形式不變性.科學(xué)出版社利用這個性質(zhì)，容易證明，無論u,v是自變量還是中間變量，用鏈法則求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時，和中間變量.有了一階全微分形式不變性，考慮這種區(qū)別，使計算變得方便?？梢圆辉偈紫纫智遄宰兞慷加邢旅娴奈⒎址▌t：科學(xué)出版社例8.的全微分和偏導(dǎo)數(shù).解:求則所以設(shè)科學(xué)出版社例9.都可微,求d