專題05 六大?？既饶Ｐ停ㄔ戆妫?/h1>

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專題05六大?？既饶Ｐ鸵弧ⅰ局R(shí)回顧】①模型一：平移模型②模型二：軸對(duì)稱（翻折）模型③模型三：一線三等角模型（K字型）直角一線三等角④模型四：不共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型⑤模型五：共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型（手拉手模型）⑥模型六：半角模型（特殊的旋轉(zhuǎn)模型）二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：平移模型典例1：（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個(gè)條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫(xiě)序號(hào)）______（只需選一個(gè)條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【變式1】（2023秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，，．求證：．考點(diǎn)2：軸對(duì)稱（翻折）模型典例2：（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為(1)求證：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四邊形【變式1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點(diǎn)O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．考點(diǎn)3：一線三等角模型（K字型）典例3：（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，且點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線與線段相交于點(diǎn)，射線與射線相交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①求證：∽；②線段，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．【變式1】（2022秋·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)．①請(qǐng)說(shuō)明的理由；②請(qǐng)說(shuō)明的理由；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，、、具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出等量關(guān)系，并予以證明．(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，、、具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接在橫線上寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系：________．【變式2】（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當(dāng)時(shí)，_______，_______，_______；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變_______（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)，若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．∴，【變式3】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______．考點(diǎn)4：不共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型典例4：（2023秋·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在一條直線上，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)度．【變式1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，是的對(duì)角線上兩點(diǎn)，且，求證：．【變式2】（2022·福建泉州·校考三模）在平行四邊形中，、分別是、上的點(diǎn)，且．求證：．考點(diǎn)5：共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型（手拉手模型）典例5：（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．【變式1】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）【變式2】（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【變式3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在、中，，，設(shè)．連接，以、為鄰邊作，連接．(1)若，當(dāng)、分別與、重合時(shí)（圖1），易得．當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段、的數(shù)量關(guān)系________；(2)若，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時(shí)，試判斷線段、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若為任意角度，，，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（圖4），當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．考點(diǎn)6：半角模型典例6：（2019·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長(zhǎng).【變式1】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點(diǎn)，連接，，．（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，求的度數(shù)；（3）如圖③，若四邊形為正方形，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若，，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)度．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【變式3】．（2020·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)______．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，下列條件中不能判定的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示的是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，則圖中陰影部分面積為（

）A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm23．（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，要使，再添加一個(gè)條件（）A． B． C．D．4．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，下列條件中不能證明的是（）A． B． C． D．5．（2023春·四川成都·九年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，四邊形是菱形，M，N分別是，兩邊上的點(diǎn)，不能保證和一定全等的條件是（）A． B． C． D．6．（2023秋·湖北隨州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，分別在線段，上，已知，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定（

）A． B．C．， D．線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．8．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．229.（2022春·湖北宜昌·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點(diǎn)，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP11.（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B． C．D．12．（2019·浙江杭州·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（

）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm213．（2022秋·福建寧德·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OG、ON分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于點(diǎn)P．則下列結(jié)論中：（1）圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；（2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE2+CF2＝2OP?OB．正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．414.（2022春·廣東江門(mén)·九年級(jí)江門(mén)市怡福中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形和正方形的頂點(diǎn)，，在同一條直線上，頂點(diǎn)，，在同一條直線上，是的中點(diǎn)，的平分線過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．415.（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論：①M(fèi)N＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題16．（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，，且，，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算的長(zhǎng)為_(kāi)_____．17.（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，D，E，F(xiàn)分別為邊，，上的點(diǎn)，.若，則______.18．（2023秋·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的面積為_(kāi)_______．19.（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)在邊上，．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．20.（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在y軸上，若反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)C，則k的值為_(kāi)______．21．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為AD上的中點(diǎn)，則BE＝______．22.（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是在等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．下列結(jié)論：①可以看作由繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；②線段；③四邊形的面積為；④．正確的是______（只填序號(hào)）．三、解答題23．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是線段AC的中點(diǎn)，，求證：．24．（2023秋·云南楚雄·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在四邊形中，，，連接．求證：．25．（2022秋·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，連接DE、DF、EF，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．26．（2023秋·四川廣安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接，作，與相交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)．27.（2022秋·廣東汕尾·八年級(jí)華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，在上，且，，，與交于點(diǎn)．求證：．28．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：(1)如圖2，中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作于點(diǎn)D，過(guò)B作于點(diǎn)E．求證：．(2)如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，，求點(diǎn)C到邊的距離．(3)如圖4，在中，E為邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一點(diǎn)．若，求的值．29．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一點(diǎn)，且BP＝2，將一個(gè)大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角