專題05 線段的數(shù)量和位置關系的探究題(原卷版)-2023屆中考數(shù)學壓軸大題專項突破_第1頁
專題05 線段的數(shù)量和位置關系的探究題(原卷版)-2023屆中考數(shù)學壓軸大題專項突破_第2頁
專題05 線段的數(shù)量和位置關系的探究題(原卷版)-2023屆中考數(shù)學壓軸大題專項突破_第3頁
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專題05線段的數(shù)量和位置關系的探究題線段的數(shù)量關系一般是指線段的相等、和差關系、乘積關系和比例關系,線段的位置關系一般是指平行關系、垂直關系和夾角問題。線段的數(shù)量關系和位置關系的探究題,一般通過以下方式求解:(1)通過證明三角形全等或者三角形相似,再根據(jù)全等三角形或相似三角形的性質,得到線段的數(shù)量關系,通過轉化可以求解。(2)通過利用勾股定理和直角三角形的性質,得到線段的數(shù)量與位置關系。(3)通過證明或者構造等腰三角形,利用等腰三角形的性質和三線合一的性質,得到線段的數(shù)量與位置關系。(4)通過證明或構造平行四邊形或特殊的平行四邊形,利用平行四邊形或特殊的平行四邊形的性質,得到線段的數(shù)量與位置關系。 (2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題)【思維探究】如圖1,在四邊形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=120°,AB=AD,連接AC.求證:BC+CD=AC.(1)小明的思路是:延長CD到點E,使DE=BC,連接AE.根據(jù)∠BAD+∠BCD=180°,推得∠B+∠ADC=180°,從而得到∠B=∠ADE,然后證明ADE≌ABC,從而可證BC+CD=AC,請你幫助小明寫出完整的證明過程.(2)【思維延伸】如圖2,四邊形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,連接AC,猜想BC,CD,AC之間的數(shù)量關系,并說明理由.(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD=,AC與BD相交于點O.若四邊形ABCD中有一個內角是75°,請直接寫出線段OD的長.(1)如圖1中,延長CD到點E,使DE=BC,連接AE.證明△ADE≌△ABC(SAS),推出∠DAE=∠BAC,AE=AC,推出△ACE的等邊三角形,可得結論;(2)結論:CB+CD=AC.如圖2中,過點A作AM⊥CD于點M,AN⊥CB交CB的延長線于點N.證明△AMD≌△ANB(AAS),推出DM=BN,AM=AN,證明Rt△ACM≌Rt△ACN(HL),推出CM=CN,可得結論;(3)分兩種情形:如圖3-1中,當∠CDA=75°時,過點O作OP⊥CB于點P,CQ⊥CD于點Q.如圖3-2中,當∠CBD=75°時,分別求解即可.【答案】(1)AC=BC+CD;理由見詳解;(2)CB+CD=AC;理由見詳解;(3)或【詳解】(1)證明:如圖1中,延長CD到點E,使DE=BC,連接AE.∵∠BAD+∠BCD=180°,∴∠B+∠ADC=180°,∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE,在△ADE和△ABC中,,∴△ADE≌△ABC(SAS),∴∠DAE=∠BAC,AE=AC,∴∠CAE=∠BAD=60°,∴△ACE的等邊三角形,∴CE=AC,∵CE=DE+CD,∴AC=BC+CD;(2)解:結論:CB+CD=AC.理由:如圖2中,過點A作AM⊥CD于點M,AN⊥CB交CB的延長線于點N.∵∠DAB=∠DCB=90°,∴∠CDA+∠CBA=180°,∵∠ABN+∠ABC=180°,∴∠D=∠ABN,∵∠AMD=∠N=90°,AD=AB,∴△AMD≌△ANB(AAS),∴DM=BN,AM=AN,∵AM⊥CD,AN⊥CN,∴∠ACD=∠ACB=45°,∴AC=CM,∵AC=AC.AM=AN,∴Rt△ACM≌Rt△ACN(HL),∴CM=CN,∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC;(3)解:如圖3-1中,當∠CDA=75°時,過點O作OP⊥CB于點P,CQ⊥CD于點Q.∵∠CDA=75°,∠ADB=45°,∴∠CDB=30°,∵∠DCB=90°,∴CD=CB,∵∠DCO=∠BCO=45°,OP⊥CB,OQ⊥CD,∴OP=OQ,∴,∴,∵AB=AD=,∠DAB=90°,∴BD=AD=2,∴OD=.如圖3-2中,當∠CBD=75°時,同法可證,,綜上所述,滿足條件的OD的長為或.本題屬于四邊形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質,解直角三角形,等邊三角形的判定和性質,角平分線的性質定理等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,屬于中考壓軸題.(2022·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC的角平分線.(1)如圖1,點E、F分別是線段BD、AD上的點,且DE=DF,AE與CF的延長線交于點M,則AE與CF的數(shù)量關系是,位置關系是;(2)如圖2,點E、F分別在DB和DA的延長線上,且DE=DF,EA的延長線交CF于點M.①(1)中的結論還成立嗎?如果成立,請給出證明;如果不成立,請說明理由;②連接DM,求∠EMD的度數(shù);③若DM=6,ED=12,求EM的長.(1)證明△ADE≌△CDF(SAS),由全等三角形的性質得出AE=CF,∠DAE=∠DCF,由直角三角形的性質證出∠EMC=90°,則可得出結論;(2)①同(1)可證△ADE≌△CDF(SAS),由全等三角形的性質得出AE=CF,∠E=∠F,則可得出結論;②過點D作DG⊥AE于點G,DH⊥CF于點H,證明△DEG≌△DFH(AAS),由全等三角形的性質得出DG=DH,由角平分線的性質可得出答案;③由等腰直角三角形的性質求出GM的長,由勾股定理求出EG的長,則可得出答案.【答案】(1)AE=CF,AE⊥CF(2)①成立,理由見解析;②45°;③6+6【詳解】(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC的角平分線,∴AD=BD=CD,AD⊥BC,∴∠ADE=∠CDF=90°,又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF(SAS),∴AE=CF,∠DAE=∠DCF,∵∠DAE+∠DEA=90°,∴∠DCF+∠DEA=90°,∴∠EMC=90°,∴AE⊥CF.故答案為:AE=CF,AE⊥CF;(2)①(1)中的結論還成立,理由:同(1)可證△ADE≌△CDF(SAS),∴AE=CF,∠E=∠F,∵∠F+∠ECF=90°,∴∠E+∠ECF=90°,∴∠EMC=90°,∴AE⊥CF;②過點D作DG⊥AE于點G,DH⊥CF于點H,∵∠E=∠F,∠DGE=∠DHF=90°,DE=DF,∴△DEG≌△DFH(AAS),∴DG=DH,又∵DG⊥AE,DH⊥CF,∴DM平分∠EMC,又∵∠EMC=90°,∴∠EMD=∠EMC=45°;③∵∠EMD=45°,∠DGM=90°,∴∠DMG=∠GDM,∴DG=GM,又∵DM∴DG=GM=6,∵DE=12,∴EG=∴EM=GM+EG=6+6.本題是三角形綜合題,考查了等腰直角三角形的性質,角平分線的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理,熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.(2022·遼寧錦州·中考真題)在中,,點D在線段上,連接并延長至點E,使,過點E作,交直線于點F.(1)如圖1,若,請用等式表示與的數(shù)量關系:____________.(2)如圖2.若,完成以下問題:①當點D,點F位于點A的異側時,請用等式表示之間的數(shù)量關系,并說明理由;②當點D,點F位于點A的同側時,若,請直接寫出的長.(1)過點C作CG⊥AB于G,先證明△EDF≌△CDG,得到,然后等腰三角形的性質和含30度直角三角形的性質,即可求出答案;(2)①過點C作CH⊥AB于H,與(1)同理,證明△EDF≌△CDH,然后證明是等腰直角三角形,即可得到結論;②過點C作CG⊥AB于G,與(1)同理,得△EDF≌△CDG,然后得到是等腰直角三角形,利用勾股定理解直角三角形,即可求出答案.【答案】(1)(2)①;②或;【詳解】(1)解:過點C作CG⊥AB于G,如圖,∵,∴,∵,,∴△EDF≌△CDG,∴;∵在中,,,∴,∴,∴;故答案為:;(2)解:①過點C作CH⊥AB于H,如圖,與(1)同理,可證△EDF≌△CDH,∴,∴,在中,,,∴是等腰直角三角形,∴,∴是等腰直角三角形,∴,∴;②如圖,過點C作CG⊥AB于G,與(1)同理可證,△EDF≌△CDG,∴,∵,當點F在點A、D之間時,有∴,與①同理,可證是等腰直角三角形,∴;當點D在點A、F之間時,如圖:∴,與①同理,可證是等腰直角三角形,∴;綜合上述,線段的長為或.本題考查了等腰直角三角形的判定和性質,全等三角形的判定和性質,勾股定理解直角三角形,三角形的內角和定理,解題的關鍵是熟練掌握所學的知識,正確的作出輔助線,正確得到三角形全等.1.(2022·遼寧大連·??寄M)在中,在上,且.(1)如圖,若,,求的長度.(2)如圖,作于,過點作交于點,作于,探究與的關系,并證明你的結論.(3)如圖,作于,,,探究與的數(shù)量關系,并證明.2.(2022·四川南充·南充市實驗中學??寄M)如圖,已知點E是射線上的一點,以、為邊作正方形和正方形,連接,取的中點M,連接、.(1)如圖1,判斷線段和的數(shù)量關系是______,位置關系是______;(2)如圖2,在圖中的正方形繞點C逆時針旋轉的過程中,其他條件不變,(1)中的結論是否成立?說明理由;(3)已知,正方形繞點C旋轉的過程中,當A、F、E共線時,直接寫出的面積.3.(2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模)在中,點G是射線CB上一個動點,延長CA到D,使得,過點D作,交BA的延長線于點E,連接交CD于點F.(1)①如圖1,當時,EF與FG之間的數(shù)量關系是___________;②如圖2,當,,點G在射線CB上移動時,EF與FG之間的數(shù)量關系是否與①中的數(shù)量關系相同,若相同,請說明理由;若不相同,請求出新的數(shù)量關系;(2)設三邊的長分別為,,,其中,當點G在射線CB上移動時,請直接寫出EF與FG之間的數(shù)量關系.4.(2022·浙江嘉興·一模)如圖1,已知正方形和正方形,點B、C、E在同一直線上,,.連接.(1)求圖1中、的長(用含m的代數(shù)式表示).(2)如圖2,正方形固定不動,將圖1中的正方形繞點C逆時針旋轉度(),試探究、之間的數(shù)量關系,并說明理由.(3)如圖3,在(2)條件下,當點A,F(xiàn),E在同一直線上時,連接并延長交于點H,若,求m的值.5.(2022·北京海淀·??既#┤鐖D,在中,,,是的中點,是延長線上一點,平移到,線段的中垂線與線段的延長線

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