5.1.3基本計數(shù)原理的簡單應用課件高二上學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

第五章

基本計數(shù)原理

5.1.3基本計數(shù)原理的簡單應用

1.進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應用這兩個計數(shù)原理計數(shù)解決問題.組數(shù)問題一例1用0，1，2，3，4五個數(shù)字，(1)可以組成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以組成多少個三位數(shù)？(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝125(種)，即可以排成125個三位數(shù)字的電話號碼.(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個三位數(shù).(3)可以組成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而共有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù).常見組數(shù)問題及解題原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字是我們采用分類還是分步的關鍵.一般按特殊位置(通常是末位和首位)由誰占領分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成.如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解.(2)要特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的(如數(shù)字“0”不能排在首位)，要善于挖掘，排數(shù)時，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則.思維升華(1)用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為______，有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________.訓練1648252用0，1，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個)，所以有重復數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個).(2)有6張卡片分別寫有數(shù)字1，1，1，2，2，2，從中任取4張，可排出的四位數(shù)有________個.14根據(jù)題意，分三類：①取出3張1，1張2，可組成的四位數(shù)是1112，1121，1211，2111；②取出2張1，2張2，可組成的四位數(shù)是1122，1212，2211，2121，2112，1221;③取出1張1，3張2，可組成的四位數(shù)是2221，2212，2122，1222.所以可排出的四位數(shù)共有4＋6＋4＝14個.抽取與分配問題二例2(1)甲、乙、丙三人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)有________.不妨由甲先來取，共2種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，剩余一人只有一種選擇，所以不同取法共有2×1×1＝2(種).2√(2)高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有A.360種

B.420種

C.369種

D.396種法一

(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種).法二

(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案.思維升華選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用列舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.(2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行.②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.(1)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有A.208種

B.240種

C.180種

D.96種訓練2√由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法，后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案.(2)一個盒子里有4個分別標有號碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是4的取法有________種.37所有可能的情況有43＝64種，其中最大值不是4的情況有33＝27種，所以取得小球標號最大值是4的取法有64－27＝37種.涂色與種植問題三例3如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設”、“計”四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？創(chuàng)、新、設、計四個區(qū)域依次涂色，分四步.第1步，涂“創(chuàng)”區(qū)域，有3種選擇.第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇.第3步，涂“設”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選擇.第4步，涂“計”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”“設”區(qū)域顏色不同而可與“新”區(qū)域顏色相同，有1種選擇.所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種).思維升華涂色與種植問題的四個解答策略(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，并用分步乘法計數(shù)原理計算.(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理計算.(3)將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域的涂色問題.(4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類.訓練3(1)(鏈接教材P181復習題五B組T4)如圖所示，一圓形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為依次種A，B，C，D4塊，當C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36(種)種法；當C與A所種的花不同時，有4×3×2×2＝48(種)種法.由分類加法計數(shù)原理知，不同的種法種數(shù)為36＋48＝84.A.96 B.84

C.60 D.48√(2)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為________.420按照S→A→B→C→D的順序進行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法.第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有180＋240＝420(種)不同的染色方法.1、背誦記憶常見組數(shù)問題及解題原則2、背誦記憶選（抽）取與分配問題的常見類型及其解法3、背誦記憶涂色與種植問題的四個解答戰(zhàn)略1.某班有3名學生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽，如果每班每項限報1人，則這3名學生參賽的不同方法有 A.24種

B.48種

C.64種

D.81種√由于每班每項限報1人，故當前面的學生選了某項之后，后面的學生不能再報，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法.√先排十位，十位不能為0，有4種選法，個位有4種選法，故有4×4＝16(種)選法.2.由數(shù)字0，1，2，3，4可組成無重復數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是 A.25 B.20

C.16 D.123.某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人分別參加相應語種的活動，則不同的選法種數(shù)為________.20由題意9人中既會英語又會日語的“多面手”有1人，只會英語的有6人，只會日語的有2人.則可分三類：第一類：“多面手”去參加英語活動時，選出只會日語的1人即可，有2種選法.第二類：“多面手”去參加日語活動時，選出只會英語的1人即可，有6種選法.第三類：“多面手”既不參加英語活動又不參加日語活動，則需從只會日語和只會英語的人中各選1人參加活動，有2×6＝12(種)選法.故共有2＋6＋12＝20(種)不同的選法.先涂三棱錐P－ABC的三個側面，有3×2×1種情況，然后涂三棱柱的三個側面，有2×1×1種情況，由分步乘法計數(shù)原理，共有3×2×1×2×1×1＝12(種)不同的涂法.4.如圖所示的幾何體由三棱錐P－ABC與三