數(shù)學微專題27之17-雙變量的“任意性”與“存在性”五種題型的解題方法

第第頁雙變量的“任意性”與“存在性”五種題型的解題方法1.“存在=存在”型?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等價于函數(shù)f(x)在D1上的值域A與函數(shù)g(x)在D2上的值域B的交集不為空集,即A∩B≠?.其等價轉化的基本思想:兩個函數(shù)有相等的函數(shù)值,即它們的值域有公共部分.典例1已知函數(shù)f(x)=x2-23ax3,a>0,x∈R.g(x)=1x2(1-x).若?x1∈(-∞,-1],?x解析∵f(x)=x2-23ax3,∴f'(x)=2x-2ax2令f'(x)=0,得x=0或x=1a.∵a>0,∴1a>0,∴當x∈(-∞,0)時,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1]上單調遞減,f(x)在(-∞,-1]上的值域為1+2a3,+∵當x<-12時,g'(x)>0,∴g(x)在-∞,-12上單調遞增,∴g(x)<g-∴g(x)在-∞,-12上的值域為若?x1∈(-∞,-1],?x2∈-∞,-12,使得f(x1)=g(x2),則1+2a3<故實數(shù)a的取值范圍是0,已知函數(shù)f(x)=-16x+112,0≤x≤12,xA.12,32B.[1,2)解析：選C設函數(shù)f(x),g(x)在[0,1]上的值域分別為A,B,則“存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立”等價于“A∩B≠?”.當0≤x≤12時,f(x)=-16x+112當12<x≤1時,f'(x)=x2(2x+3)(x故f(x)在[0,1]上的值域A=0,當x∈[0,1]時,π6x∈0,π6,y=sinπ6由A∩B≠?,得0≤1-a≤12或0≤1-a2≤122.“任意=存在”型?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等價于函數(shù)f(x)在D1上的值域A是函數(shù)g(x)在D2上的值域B的子集,即A?B.其等價轉化的基本思想:函數(shù)f(x)的任意一個函數(shù)值都與函數(shù)g(x)的某一個函數(shù)值相等,即f(x)的函數(shù)值都在g(x)的值域之中.典例2已知函數(shù)f(x)=4x(1)求f(x)的單調區(qū)間和值域;(2)設a≥1,函數(shù)g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若對于任意的x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍.解析(1)f'(x)=-4x2令f'(x)=0,解得x=12或x=7x00111f'(x)-0+f(x)-7↘-4↗-3所以f(x)的遞減區(qū)間是0,12f(x)min=f12=-4,又f(0)=-72,f(1)=-3,所以f(x)(2)“對于任意的x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立”等價于“在x∈[0,1]上,函數(shù)f(x)的值域B是函數(shù)g(x)的值域A的子集,即B?A”.因為a≥1,且g'(x)=3(x2-a2)<0,所以當x∈[0,1]時,g(x)為減函數(shù),所以g(x)的值域A=[1-2a-3a2,-2a].由B?A,得1-2a-3a2≤-4且-2a≥-3,又a≥1,故1≤a≤32已知函數(shù)f(x)=x2-23ax3(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值;(2)若對于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范圍.解析(1)由已知,有f'(x)=2x-2ax2(a>0).令f'(x)=0,解得x=0或x=1a當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,0)0011f'(x)-0+0-f(x)↘0↗1↘所以,f(x)的單調遞增區(qū)間是0,1a當x=0時,f(x)有極小值,且極小值f(0)=0;當x=1a時,f(x)有極大值,且極大值f1a=(2)由f(0)=f32a=0及(1)知,當x∈0,設集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B=1f(x)|x∈(1,+∞),f(x下面分三種情況討論:①當32a>2,即0<a<34時,由f3②當1≤32a≤2,即34≤a≤32時,有f(2)≤0,且此時f(x)在(2,+∞)上單調遞減,故A=(-∞,f(2)),因而A?(-∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范圍包含(-∞,0),即(-∞,0)③當32a<1,即a>32綜上,a的取值范圍是343.“任意≥(≤、>、<)任意”型?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,等價于f(x)min>g(x)max,或等價于f(x)>g(x)max恒成立,或等價于f(x)min>g(x)恒成立.其等價轉化的基本思想是函數(shù)f(x)的任何一個函數(shù)值均大于函數(shù)g(x)的任何一個函數(shù)值.?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)<g(x2)恒成立,等價于f(x)max<g(x)min,或等價于f(x)<g(x)min恒成立,或等價于f(x)max<g(x)恒成立.其等價轉化的基本思想是函數(shù)f(x)的任何一個函數(shù)值均小于函數(shù)g(x)的任何一個函數(shù)值.?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)-g(x2)>k恒成立,等價于[f(x1)-g(x2)]min>k恒成立,也等價于f(x)min-g(x)max>k.?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)-g(x2)<k恒成立,等價于[f(x1)-g(x2)]max<k恒成立,也等價于f(x)max-g(x)min<k.典例3設函數(shù)f(x)=x3-x2-3.(1)求f(x)的單調區(qū)間;(2)設函數(shù)g(x)=ax+xlnx,如果對任意的x1,x2∈12,2,都有f(x解析(1)f'(x)=3x2-2x.f'(x)>0時,x<0或x>23,f'(x)<0時,0<x<2所以,f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,0),23,+(2)由(1)知,函數(shù)f(x)在12,2而f12=-258,f(2)=1,故f(x)在區(qū)間12“對任意的x1,x2∈12,2,都有f(x1)≤g(x2)成立”等價于“對任意的x∈12,2,g(x)≥f(x)max恒成立”,即當x∈12,2時,g(x)=au'(x)=1-x-2xlnx,可知u'(1)=0.當x∈12所以u(x)在12當x∈(1,2)時,1-x<0,2xlnx>0,則u'(x)<0,所以u(x)在(1,2)上遞減.故u(x)在區(qū)間12,2點撥(1)?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,通常等價轉化為f(x)min>g(x)max.這是兩個獨立變量——雙變量問題,不等式兩邊f(xié)(x1),g(x2)中自變量x1,x2可能相等,也可能不相等;(2)對任意的x∈[m,n],不等式f(x)>g(x)恒成立,通常等價轉化為[f(x)-g(x)]min>0.這是單變量問題,不等式兩邊f(xié)(x),g(x)的自變量x相等.函數(shù)f(x)=mxx2+1+1(m≠0),g(x)=x2(1)直接寫出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)當m>0時,若對于任意的x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范圍.解析(1)當m>0時,f(x)的遞增區(qū)間是(-1,1);遞減區(qū)間是(-∞,-1),(1,+∞).當m<0時,f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-1),(1,+∞);遞減區(qū)間是(-1,1).(2)當m>0時,“對于任意的x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立”等價于“對于任意的x∈[0,2],f(x)min≥g(x)max成立”.當m>0時,由(1)知,函數(shù)f(x)在[0,1]上單調遞增,在[1,2]上單調遞減,因為f(0)=1,f(2)=2m5+1>1,所以f(x)min=f(0)=1,故應滿足1≥g(x)因為g(x)=x2eax,所以g'(x)=(ax2+2x)eax.①當a=0時,g(x)=x2,此時g(x)max=g(2)=4,不滿足1≥g(x)max.②當a≠0時,令g'(x)=0,得x=0或x=-2a(i)當-2a≥2,即-1≤a<0時,在[0,2]上,g'(x)≥0,g(x)在[0,2]上單調遞增,g(x)max=g(2)=4e2a.由1≥4e2a(ii)當0<-2a<2,即a<-1時,在0在-2g(x)max=g-2a=4a2e(iii)當-2a<0,即a>0時,顯然在[0,2]上,g'(x)≥0,g(x)單調遞增,于是g(x)max=g(2)=4e2a>4,此時不滿足1≥g(x)max綜上,a的取值范圍是(-∞,-ln2].4.“任意≥(≤、>、<)存在”型?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)>g(x2)成立,等價于f(x)min>g(x)min.其等價轉化的基本思想是函數(shù)f(x)的任意一個函數(shù)值大于函數(shù)g(x)的某一個函數(shù)值,但并不要求大于函數(shù)g(x)的所有函數(shù)值.?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)<g(x2)成立,等價于f(x)max<g(x)max.其等價轉化的基本思想是函數(shù)f(x)的任意一個函數(shù)值小于函數(shù)g(x)的某一個函數(shù)值,但并不要求小于函數(shù)g(x)的所有函數(shù)值.?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)>k成立,等價于f(x)min-g(x)min>k.?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)<k成立,等價于f(x)max-g(x)max<k.典例4函數(shù)f(x)=lnx-14x+34x-1,g(x)=x2-2bx+4,若對任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1解析“對任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立”等價于“f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在[1,2]上的最小值,即f(x)min≥g(x)min(*)”.f'(x)=1x-14-34當x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(1,2)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.故當x∈(0,2)時,f(x)min=f(1)=-12.又g(x)=(x-b)2+4-b2①當b<1時,g(x)min=g(1)=5-2b>3,此時與(*)矛盾;②當b∈[1,2]時,g(x)min=g(b)=4-b2≥0,同樣與(*)矛盾;③當b∈(2,+∞)時,g(x)min=g(2)=8-4b,由8-4b≤-12,得b≥17綜上,實數(shù)b的取值范圍是178已知函數(shù)f(x)=13x3+x2(1)若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調遞增,求a的最小值;(2)若g(x)=xex,?x1∈12,2,?x2∈1解析(1)由題設知f'(x)=x2+2x+a≥0,即a≥-(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立,而y=-(x+1)2+1在[1,+∞)上單調遞減,則ymax=-3,∴a≥-3,∴amin=-3.(2)“?x1∈12,2,?x2∈12,2,使f'(x1)≤g(x2)成立”等價于“x∈∵f'(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在12∴f'(x)max=f'(2)=8+a,又g'(x)=ex-x∴g(x)在(-∞,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減.∴當x∈12,2時,g(x)max=g(1)=1e,由8+a≤1e5.“存在≥(≤、>、<)存在”型若?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)>g(x2)成立,等價于f(x)max≥g(x)min.其等價轉化的基本思想是函數(shù)f(x)的某一個函數(shù)值大于函數(shù)g(x)的某一個函數(shù)值,即只要有這樣的函數(shù)值即可.若?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)<g(x2)成立,等價于f(x)min<g(x)max.其等價轉化的基本思想是函數(shù)f(x)的某一個函數(shù)值小于函數(shù)g(x)的某一個函數(shù)值,即只要有這樣的函數(shù)值即可.若?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)>k成立,等價于[f(x1)-g(x2)]max>k,也等價于f(x)max-g(x)min>k.若?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)<k成立,等價于[f(x1)-g(x2)]min<k,也等價于f(x)min-g(x)max<k.典例5已知函數(shù)f(x)=4lnx-ax+a+3(1)直接寫出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)當a≥1時,設g(x)=2ex-4x+2a,若存在x1,x2∈12,2,使f(x1解析(1)當a=0時,函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為0,34當0<a<1時,函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為0,2--(a當a≥1時,f(x)的遞減區(qū)間為(0,+∞).(2)“存在x1,x2∈12,2,使f(x1)>g(x2)”等價于“當x∈12,由(1)知,當x∈12f(x)max=f12=-4ln2+3由g'(x)=2ex-4>0,得x>ln2,所以g(x)在(0,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增,故當x∈12g(x)min=g(ln2)=4-4ln2+2a,由f(x)max>g(x)min,得-4ln2+32又a≥1,所以1≤a<4.設函數(shù)f(x)=xln(1)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a成立,求實數(shù)a的取值范圍.