數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.3.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類(lèi)訓(xùn)練，可用于課前）1.在［0，2π]上畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：（1）y=sinx—1；(2）y=2cosx.解：畫(huà)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，可以采用“五點(diǎn)法”，關(guān)鍵是找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，所以,最好利用列表整理數(shù)據(jù)，使問(wèn)題既清晰又準(zhǔn)確。（1)第一步:按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表；x0π2πsinx010-10sinx—1-10-1—2—1第二步：描點(diǎn)；第三步：畫(huà)圖，即用光滑的曲線將五個(gè)點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。（2)第一步:按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表；x0π2πcosx10—1012cosx20-202第二步:描點(diǎn);第三步：畫(huà)圖，即用光滑的曲線將五個(gè)點(diǎn)連結(jié)起來(lái).2.利用五點(diǎn)法作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：(1）畫(huà)出y=sinx的圖象;（2）畫(huà)出y=sinx，x∈[0，2π］的圖象.請(qǐng)比較（1）和(2）兩個(gè)小題的圖象有什么區(qū)別？解：這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同。第(1）題定義域?yàn)镽,第（2)題的定義域?yàn)椋?，2π]。［0，2π]是R的真子集，所以第(2）題當(dāng)x∈［0，2π］時(shí)的函數(shù)圖象就是第(1）題圖象的一部分.10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類(lèi)訓(xùn)練，可用于課中）1.(2000上海）函數(shù)y=sin(x+)(x∈［—，]）是（)A。增函數(shù)B。減函數(shù)C。偶函數(shù)D。奇函數(shù)思路解析：y=sin(x+)=cosx(x∈［-,］)，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，y=cosx為偶函數(shù).答案:C2。設(shè)M和m分別表示函數(shù)y=cosx—1的最大值和最小值,則M+m等于（）A。B.-C。-D。—2思路解析：因?yàn)楹瘮?shù)g(x）=cosx的最大值、最小值分別為1和—1，所以y=cosx—1的最大值、最小值為-和—.因此M+m=—2。答案：D3。下列函數(shù)中,既為偶函數(shù)又在（0，π）上單調(diào)遞增的是（）A.y=tan|x｜B.y=cos(-x）C。y=sin(x-)D.y=|cot|思路解析:都為偶函數(shù)，但y＝tan|x|,y＝cos（—x),y＝|cot|在（0，π）上不是增函數(shù)，y＝sin(x-）＝—cosx在（0,π）上是增函數(shù)．答案：C4。求函數(shù)y=的值域．思路解析：此類(lèi)題型可轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)的值域的求法，即分離常數(shù)法，或通過(guò)反解sinx法,利用sinx的值域確定函數(shù)的值域．解法一：由y==3—．當(dāng)sinx=1時(shí)，ymax=；當(dāng)sinx=—1時(shí),ymin=—2．∴函數(shù)的值域?yàn)閇—2,］．解法二：由y=，得sinx=．∵|sinx｜≤1,∴｜|≤1。解得—2≤y≤．∴ymax=，此時(shí)sinx=1；ymin=-2，此時(shí)sinx=—1．∴函數(shù)的值域?yàn)椋?2，］．5.方程sinx=的根的個(gè)數(shù)為_(kāi)______________．思路解析:這是一個(gè)超越方程，無(wú)法直接求解,考慮數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，借助圖形直觀求解．當(dāng)x≥4π時(shí)，≥〉1≥sinx；當(dāng)0<x<4π時(shí)，sin=1>=。從而x〉0時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性x〈0時(shí)，也有3個(gè)交點(diǎn)，加上原點(diǎn)，一共有7個(gè)交點(diǎn)．答案：76.畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：(1）y=3+sinx,x∈[0，2π]；（2)y=2-sinx，x∈［0,2π］；(3)y=—cosx+3，x∈［-π，π］.思路解析：可以采用“五點(diǎn)法”，關(guān)鍵是找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，整理數(shù)據(jù)，描點(diǎn)畫(huà)圖．答案：志鴻教育樂(lè)園遲了在地鐵里，一位男子發(fā)現(xiàn)扒手正在掏他的錢(qián)包，便幽默地說(shuō)：“老兄，你來(lái)晚了！我今天雖然領(lǐng)了薪水，但我太太下手比你快多了!”30分鐘訓(xùn)練（鞏固類(lèi)訓(xùn)練，可用于課后）1.（2005全國(guó)卷Ⅱ）已知函數(shù)y=tanωx在(—，)內(nèi)是減函數(shù)，則（)A。0<ω≤1B.-1≤ω〈0C。ω≥1D。ω≤-1思路解析:由≥π，∴|ω|≤1.若ω>0,其圖象與y=tanx在(-，）上有相同的增減性,∴ω＜0?！鄖=tanωx是減函數(shù).答案:B2.(2005北京春季)如果函數(shù)f（x)=sin（πx+θ)（0〈θ<2π）的最小正周期是T，且當(dāng)x=2時(shí)取得最大值,那么(）A．T=2,θ=B。T=1,θ=πC.T=2,θ=πD。T=1,θ=思路解析：本題考查正弦函數(shù)的周期和最值問(wèn)題.Y=sin(ωx+θ）,其周期T=，當(dāng)ωx+θ＝2kπ+時(shí)取得最大值。由題知T==2，又當(dāng)x=2時(shí)，有2π+θ＝2kπ+.所以θ＝2(k-1)π+。又0＜θ＜2π,則k=1,θ=.A正確.答案：A3。若f（x）=tan（x+)，則(）A。f(0）>f(-1)〉f(1)B。f(0)〉f（1)〉f(—1)C。f（1)〉f(0)>f(—1）D。f(-1)〉f（0）>f（1）思路解析：在(—，）上,y=tanx為增函數(shù).根據(jù)誘導(dǎo)公式把x+轉(zhuǎn)化到（—,）上再比較大小.f（1)=tan(1+)=tan(1—）。又-＜1-<—1<,所以f(0）>f（—1)>f(1）.A正確.答案:A4。函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是（)A.[2kπ—，2kπ+](k∈Z)B.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z)C。［2kπ-π,2kπ］(k∈Z）D.［2kπ，2kπ+π］（k∈Z)思路解析：函數(shù)y=2x為增函數(shù),因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間.答案：A5.函數(shù)y=x+sin｜x｜,x∈［-π，π］的大致圖象是（)圖1-3思路解析:由奇偶性定義,可知函數(shù)y=x+sin|x｜，x∈［—π,π］為非奇非偶函數(shù),選項(xiàng)A、D為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為非奇偶函數(shù)。答案:C6。函數(shù)y=tan(x—)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是（）圖1思路解析：本題主要考查正切函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換，抓住周期和特值點(diǎn)是快速解題的關(guān)鍵。y=tan(x—）=tan(x—),顯然函數(shù)周期為T(mén)=2π,且x=時(shí)，y=0。答案:A7。在下列各區(qū)間中,函數(shù)y＝sin(x+）的單調(diào)遞增區(qū)間是（)A。[，π]B.［0，]C。[—π,0］D。[，］思路解析：y=sin(x+)的遞增區(qū)間是2kπ—≤x+≤2kπ+，k∈Z，即-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z。當(dāng)k=0時(shí)，區(qū)間是[—，]，已知區(qū)間［0，］是它的子區(qū)間，故應(yīng)選B.注意這里給出的區(qū)間不是某整個(gè)遞增區(qū)間，而是它的一個(gè)子區(qū)間，要善于鑒別.答案：B8.求函數(shù)y=3tan（—）的周期和單調(diào)區(qū)間.思路解析:把原函數(shù)用誘導(dǎo)公式化為y=—3tan（-）的形式，使x的系數(shù)ω〉0，有利于利用復(fù)合函數(shù)判斷單調(diào)性.解：y=3tan（-）=-3tan（—），∴T===4π.由kπ-〈—〈kπ+（k∈Z），得4kπ—<x<4kπ+（k∈Z).∵3tan(-）在（4kπ—，4kπ+）(k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞增,∴y=—3tan（-）在（4kπ—，4kπ+)（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞減.故原函數(shù)周期為4π,遞減區(qū)間為(4kπ-，4kπ+）(k∈Z）。9.有兩個(gè)函數(shù)f（x）=asin（ωx+），g(x）=btan（ωx-）（其中ω〉0）。已知它們的周期之和為，且f（）=g（),f（）=-g（）+1，你能確定a、b、ω的值嗎？思路解析：y=Asin（ωx+φ)的周期是,y=Atan（ωx+φ）的周期是.另外，待定系數(shù)法、方程的思想是解決本題的關(guān)鍵.解：∵f(x）的周期為，g（x）的周期為，由已知+=，得ω=2，∴函數(shù)式為f（x）=asin（2x+），g（x）=btan（2x-）.由已知，得方程組即解得∴a=1,b=，ω=2。10。求函數(shù)y=—2tan(3x+）的定義域、值域，