數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：圓的一般方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3.2圓的一般方程5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1。若方程x2+y2-x+y+m=0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（)A。m<B。m〈10C。m〉D.m≤解析：方程x2+y2-x+y+m=0，變形為(x-)2+(y+）2=—m,方程表示圓，∴—m＞0，即m＜.答案：A2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圓(）A。關(guān)于x軸對(duì)稱B。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C。關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱D。關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱解析：考查方程表示圓的判定、直覺思維能力.圓的方程化為(x+a）2+（y—a）2=2a2，圓心（-a,a)。由圓心坐標(biāo)易知圓心在x+y=0上，∴圓關(guān)于x+y=0對(duì)稱.答案:D3。已知圓x2-4x-4+y2=0的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線x-y-1=0的距離是_____________.解析:本題考查圓的一般方程向標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化和點(diǎn)到直線的距離公式。由x2-4x—4＋y2＝0得(x—2）2+y2=8，即圓心為（2,0），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得。答案：10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.若方程a2x2+(a+2）y2+2ax+a=0表示圓,則a的值是（)A?！?B.2C?！?或2解析：本題考查圓的一般方程，由可得a=—1或a=2（舍）。答案：A2。方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示圓,當(dāng)該圓面積最大時(shí),圓心坐標(biāo)為()A.(0,-1)B。（1,-1)C。（-1,0）D.（—1，1）解析:由半徑最大可求k值為0,進(jìn)而求圓心坐標(biāo)。答案：A3。若直線l將圓x2+y2-4x—2y=0平分,并且l不經(jīng)過(guò)第二象限，則直線l的斜率的取值范圍是()A。［1,2］B。［,+∞)C.[2,+∞)D。（—∞,]解析：由已知，l過(guò)圓的圓心C（2,1),又l不過(guò)第二象限,畫圖分析,知直線l的斜率k≥kOC=.答案：B4.試判斷A（1，2)，B（0，1），C（1，—6),D(4，3）四點(diǎn)是否在同一圓上。解：因?yàn)榫€段AB、BC的斜率分別為kAB=1，kBC=-7，kAB≠kBC，所以A、B、C三點(diǎn)不共線。過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2-8x+4y—5=0。因?yàn)?2+32-8×4+4×3—5=0，所以點(diǎn)D在此圓上.故A、B、C、D四點(diǎn)共圓.5.已知方程x2+y2—2(t+3)x+2（1-4t2）y+16t4+9=0.(1）t為何值時(shí)，方程表示圓？（2）t為何值時(shí)，方程表示的圓半徑最大?請(qǐng)求出半徑最大時(shí)圓的方程。解:(1）方程表示圓的條件是［-2（t+3）］2+[2(1—4t2）]2—4(16t4+9)＞0,即7t2-6t-1＜0.解得＜t＜1。∴當(dāng)＜t＜1時(shí),方程表示圓.(2)當(dāng)＜t＜1時(shí)，方程表示圓，其半徑為r==.當(dāng)t=時(shí)，半徑有最大值,rmax=,此時(shí)圓心坐標(biāo)為（t+3，4t2-1），即（）。故半徑最大時(shí)，圓的方程為(）2+（）2=.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a—1=0表示圓，則a的取值范圍是(）A。a<—2B。<a〈0C.—2<a<0解析:由D2+E2-4F＞0可得。答案:D2。曲線x2+y2+22x—22y=0關(guān)于()A。直線x=2軸對(duì)稱B.直線y=-x軸對(duì)稱C。點(diǎn)（-2,2）中心對(duì)稱D。點(diǎn)(-2,0)中心對(duì)稱解析：將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+）2+（y—)2=4.圓心()在直線y=-x上，故圓關(guān)于y=—x軸對(duì)稱.故選B。答案：B3。設(shè)A、B是直線3x+4y+2=0與圓x2+y2+4y=0的兩個(gè)交點(diǎn),則線段AB的垂直平分線的方程是（)A。4x—3y—2=0B.4x-3y-6=0C。3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0解析：即求過(guò)圓心(0，-2)且與直線3x+4y+2=0垂直的直線方程，即y+2=x,整理，得4x—3y—6=0.答案：B4。圓x2+y2-4x-4y—10=0上的點(diǎn)到直線x+y—14=0的最大距離與最小距離的差是（）A.36B。18C。解析：x2+y2-4x-4y—10=0(x—2)2+（y-2)2=18，即圓心為（2,2),半徑為.由點(diǎn)到直線的距離公式得，由數(shù)形結(jié)合思想可得：該圓上點(diǎn)到已知直線的距離的最小值為,最大值為，故所求距離之差為。答案：C5。過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是（)A.y=B.y=C.y=D.y=解析：設(shè)直線方程為y=kx,由圓心(-2，0)到直線kx-y=0(k＞0)的距離等于圓的半徑1，得=1，解得k=,所以所求直線方程為y=。答案：C6。已知A（—2，0)、B(0,2）,點(diǎn)C是圓x2+y2-2x=0上任意一點(diǎn)，則△ABC的面積的最大值為()A.B。C。D。解：要使△ABC的面積最大，即要求點(diǎn)C到AB的距離最大,亦即求圓上點(diǎn)中到直線AB距離的最大值，應(yīng)為圓心到直線AB距離d與半徑r之和。由于圓心C(1,0)到直線AB：x—y+2=0的距離d為,即C到AB的距離的最大值為+1,故△ABC面積的最大值為×|AB｜×(+1）=.答案:D7。直線x-y+4=0被圓(x+2）2+（y—2)2=2截得的弦長(zhǎng)為（）A.B.C.D。解析：利用圓半徑r、弦心距d、弦的關(guān)系：弦長(zhǎng)為。答案：B8.設(shè)圓x2+y2—4x—5=0的弦AB的中點(diǎn)為P（3，1)，則直線AB的方程是_______________。解析:直線AB的方程與點(diǎn)P和圓心所確定的直線垂直，由點(diǎn)斜式可得。答案：x+y-5=09.已知3x+4y—10=0與圓x2+y2-5y+F=0相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB(O是原點(diǎn)），則F=_______________.解析：易得圓x2+y2—5y+F=0的圓心坐標(biāo)為（0,），它在3x+4y—10=0上，再由OA⊥OB,可知圓x2+y2-5y+F=0過(guò)原點(diǎn)O，將O（0，0）代入圓方程可求得F=0.答案：010。已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA、PB是圓x2+y2—2x—2y+1=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為___________。解析：將圓的一般方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y—1）2=1,圓心C(1，1），r=1，如圖所示。方法一：從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)看問(wèn)題：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x+4y+8=0向左上方或向右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，Rt△PAC的面積SRt△PAC=d（P，A)·d（A，C)=d（P，A）越來(lái)越大，從而S四邊形PACB也越來(lái)越大；當(dāng)P點(diǎn)從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小.顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直于直線時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)d（P，C）==3，從而d（P,A)=.∴S四邊形PACB的最小值=2··d（P,A)·d(A，C)=。方法二：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y），則d(P，C)=,由勾股定理及|AC｜=1，得d(P，A)=.從而S四邊形PACB=2S△PAC=2·d(P，A）·d（A,C）=d(P,A)=,從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求｜PA｜的最小值，即定點(diǎn)C(1,1）與直線上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的距離的平方的最小值，它也就是點(diǎn)C（1，1）到直線3x+4y+8=0距離的平方，即d2=(）2=9?！郤四邊形PACB最小值=。方法三:利用函數(shù)的思想.將方法二中S四邊形PACB=中的y,從3x+4y+8=0中解出,代入關(guān)于x的一元函數(shù)，進(jìn)而用配方法求最值,也可得S四邊形PACB的最小值=。答案：11.已知實(shí)數(shù)x、y滿足關(guān)系式：x2+y2-6x-4y+12=0,點(diǎn)P(x,y)，A(-1,0),B(1,0)。（1）求的最大值與最小值；(2）求x2+y2的最大值與最小值；（3）求x—y的最大值與最小值。解：(1）設(shè)=k，則y=kx，當(dāng)直線y=kx與圓x2+y2—6x—4y+12=0，