數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：周期現(xiàn)象

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章三角函數(shù)§1周期現(xiàn)象5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1。月球圍繞著地球轉(zhuǎn),月球到地球的距離y隨時(shí)間的變化是周期性的嗎?解析：由月球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可知是周期性變化.2。走路時(shí),我們的手臂自然地隨步伐周期性地?cái)[動(dòng)，那么，手臂的周期擺動(dòng)滿足什么規(guī)律呢？解：如圖所示，以O(shè)N代表手臂的垂直位置,當(dāng)手臂擺動(dòng)到OP位置，設(shè)θ=∠PON為擺動(dòng)的幅角,而y為P點(diǎn)離開直線ON的水平距離，r為手臂的長(zhǎng)度，根據(jù)初中平面幾何知識(shí)可知y=rsinθ.3。列舉自然界中存在的周期性現(xiàn)象。答案：自然界中存在的周期現(xiàn)象有：太陽(yáng)的東升西落;月亮的圓缺；春、夏、秋、冬的變化等.10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1。下列函數(shù)中函數(shù)值y隨x的變化而周期性變化的是（）①f(x)=x②f（x)=2x③f(x）=1④f（x)=A。①②B。③C.③④D。①②③④解：①f(x+T）=x+T≠x，T≠0；②f（x+T）=2x+T≠2x=f(x)；③f(x+T）=1=f(x)；④設(shè)T是任意一個(gè)有理數(shù)，那么當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，x+T也是有理數(shù)；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí),x+T也是無理數(shù),就是說f(x)與f(x+T)或者都等于1或者都等于0,因此在兩種情況下，都有f(x+T)=f（x)。答案：C2。今天是星期一，158天后的那一天是星期幾？解:∵158=7×22+4，而今天是星期一,∴158天后的那一天是星期五。3.我們選定風(fēng)車輪邊緣上一點(diǎn)A，點(diǎn)A到地面的距離y隨時(shí)間t的變化是周期性的嗎？答案：是周期性的.4。已知f(x)是奇函數(shù),且滿足f(x+1)=，若f(—1）=1，(1）求證：f（x+4)=f（x）；(2）求f（—3）.（1）證明：∵f(x+2)=，∴f（x+4)==f（x）。（2）解:∵f（x)是奇函數(shù),∴f（-3）=f（-3+4）=f（1）=—f(—1)=—1。5。設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+3)=f(x)，f(1)=—1，求f（11）的值。解:由f(x）為奇函數(shù),得f（—x)=-f(x)，f(-1）=-f（1)。又f(x+3)=f（x)，故f（11）=f（3×4-1)=f（—1)=1.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1。下列現(xiàn)象是周期現(xiàn)象的有（）①太陽(yáng)的東升西落②月亮的圓缺③太陽(yáng)表面的太陽(yáng)黑子活動(dòng)④心臟的收縮與舒張A。1個(gè)B。2個(gè)C.3個(gè)D。4個(gè)答案：D2.有以下現(xiàn)象：①鳥類的遷徙；②單擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)；③交流電的電壓變化規(guī)律;④化學(xué)元素的性質(zhì)。其中是周期現(xiàn)象的有____________.答案:①②③④3。已知f(x+1)=-f(x)，求證:f(x+2）=f（x)。證明：f（x+2）=f［(x+1）+1]=-f（x+1)=—［—f(x）］=f(x)。4。已知f(x+2）=,求證：f（x+4)=f（x).證明：f（x+4）=f［（x+2)+2］==f（x）。5.求證:若函數(shù)y=f（x）（x∈R)的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱,且關(guān)于x=b對(duì)稱,則f[x+2（b-a）］=f（x）.證明:設(shè)x是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，故f（a+x）=f(a-x).同理，f（b+x）=f(b-x）。于是f［x+2(b-a）］=f［b+(b+x—2a)]=f[b—(b+x—2a)］=f（2a-x)=f［a+（a—x）］=f［a-（a—x)］=f(x),即f［x+2(b—a）］=f(x）.6。設(shè)f(x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x+2)=f(x），f（x)為偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3］上，f（x）=—2(x-3）2+4，求x∈［1,2］時(shí)，f（x）的解析式。解：令x∈[-3，-2]，則-x∈［2,3］，從而f(-x)=—2（-x—3)2+4=-2(x+3）2+4。又f(x）為偶函數(shù)，故f（—x)=f(x)，即f(x)=-2（x+3)2+4，x∈［—3,—2］。令x∈[1，2］,則x—4∈[—3,—2]，有f(x—4)=f(x)=-2（x—1）2+4.即當(dāng)x∈［1，2]時(shí)，f(x)=—2（x—1)2+4.7。設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，對(duì)任意的x1，x2∈［0,］，都有f（x1+x2)=f（x1）·f(x2）.（1)設(shè)f（1）=2，求;(2)證明f（x+2）=f（x）.（1)解:由f（x1+x2)=f(x1)·f（x2）,x1,x2∈［0,]知f（x)=f（)·f(）≥0,x∈［0，1]，故f（1)=f(+)=f（)·f（)=[f(）]2=2.∴.f()=f(+)=[f（)]2=，即f（）=。（2）證明:由y=f（x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，得f（x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x）.又f(—x）=f(x），故f(—x)