云南省開遠市第二中學2025屆高考適應性考試數(shù)學試卷含解析

云南省開遠市第二中學2025屆高考適應性考試數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)若關于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．設，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直4．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．5．某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢6．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B．C． D．7．如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點O的位置有關8．正項等比數(shù)列中，，且與的等差中項為4，則的公比是()A．1 B．2 C． D．9．設遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．11．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．12．關于函數(shù)，有下列三個結論:①是的一個周期；②在上單調遞增；③的值域為.則上述結論中，正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為__14．已知角的終邊過點，則______.15．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為________．16．三棱錐中，點是斜邊上一點.給出下列四個命題：①若平面，則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若，，，平面，則三棱錐的外接球體積為；③若，，，在平面上的射影是內心，則三棱錐的體積為2；④若，，，平面，則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確命題的序號都填上）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，并證明；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，，證明：19．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）當時，證明：.21．（12分）已知數(shù)列中，，前項和為，若對任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.22．（10分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.2、B【解析】

令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點，要使關于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則有兩個不同的根，設由根的分布可知，，解得.故選：B.【點睛】本題考查復合方程根的個數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學生轉化與化歸和數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.3、C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點：直線與直線的位置關系4、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，函數(shù)的奇偶性的應用，屬于基礎題.5、D【解析】

根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.6、B【解析】

判斷函數(shù)的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，可排除A、C；又當，，可排除D；故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)表達式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵，屬于基礎題.8、D【解析】

設等比數(shù)列的公比為q，，運用等比數(shù)列的性質和通項公式，以及等差數(shù)列的中項性質，解方程可得公比q．【詳解】由題意，正項等比數(shù)列中，，可得，即，與的等差中項為4，即，設公比為q，則，則負的舍去，故選D．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項性質和等比數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項公式，合理利用等比數(shù)列的性質是解答的關鍵，著重考查了方程思想和運算能力，屬于基礎題．9、A【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，，因為，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【點睛】本題考查了對數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡單應用，屬于基礎題.11、A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當時，，，所以，故可排除B，C；當時，，故可排除D．故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎題．12、B【解析】

利用三角函數(shù)的性質，逐個判斷即可求出．【詳解】①因為，所以是的一個周期，①正確；②因為，，所以在上不單調遞增，②錯誤；③因為，所以是偶函數(shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域．當時，，在上單調遞增，所以，的值域為，③錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質應用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經過圓心，將圓心坐標代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因為直線被圓截得的弦長為2，

所以直線經過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質，屬基礎題．14、【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【詳解】解：∵角的終邊過點，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎題．15、1【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉化目標函數(shù)為，當目標函數(shù)經過點時，直線的截距最大，取得最大值，即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內部，轉化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經過點時，直線的截距最大此時取得最大值1．故答案為：1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學生轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.16、①②③【解析】

對①，由線面平行的性質可判斷正確；對②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結合外接球半徑公式即可求解；對③，結合題意作出圖形，由勾股定理和內接圓對應面積公式求出錐體的高，則可求解；對④，由動點分析可知，當點與點重合時，直線與平面所成的角最大，結合幾何關系可判斷錯誤；【詳解】對于①，因為平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四個面都是直角三角形，∴①正確；對于②，若，，，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，∴②正確；對于③，設內心是，則平面，連接，則有，又內切圓半徑，所以，，故，∴三棱錐的體積為，∴③正確；對于④，∵若，平面，則直線與平面所成的角最大時，點與點重合，在中，，∴，即直線與平面所成的最大角為，∴④不正確，故答案為：①②③.【點睛】本題考查立體幾何基本關系的應用，線面垂直的性質及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設恰好獲得60元為事件A，因為60＝20×3＝40＋10＋10，所以．【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應的概率，側重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).18、（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性，分類討論在區(qū)間的單調區(qū)間和極值，進而研究零點個數(shù)問題；（Ⅱ）求導，，由于在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，，求出，利用導數(shù)結合單調性和極值點，即可證明出.【詳解】解：（Ⅰ），，當時，，，在區(qū)間上單調遞減，，在區(qū)間上無零點；當時，，在區(qū)間上單調遞增，，在區(qū)間上唯一零點；當時，，，在區(qū)間上單調遞減，，；在區(qū)間上唯一零點；綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.（Ⅱ），，由（Ⅰ）知在無極值點；在有極小值點，即為；在有極大值點，即為，由，即，，2…，，，，，，以及的單調性，，，，，由函數(shù)在單調遞增，得，，由在單調遞減，得，即，故.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，通過導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)問題和證明不等式，考查轉化思想和計算能力.19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】

（1）將等式變形為，進而可證明出是等差數(shù)列，確定數(shù)列的首項和公差，可求得的表達式，進而可得出數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法可求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為，所以，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，其首項所以，解得；（2），①，②①②，得，所以.【點睛】本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）求導得，分類討論和，利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調性；（2）根據(jù)（1）中求得的的單調性，得出在處取得最大值為，構造函數(shù)，利用導數(shù)，推出，即可證明不等式.【詳解】解：（1）由于，得，當時，，此時在上遞增；當時，由，解得，若，則，若，，此時在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設，則，令，則，則在單調遞減，∴，即，則在單調遞減∴，∴，∴.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，涉及分類討論和構造新函數(shù)，通過導數(shù)證明不等式，考查轉化思想和計算能力.21、（1）（2）存在，【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數(shù)列通項公式即可求出,進而求出;由題意得，，，兩式相減得，，據(jù)此可得,當時,,進而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進而可得,結合，得到關于的不等式,再由時，且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因為數(shù)列為“數(shù)列”，所以，故，兩式相減得，在中令，則可得，故所以，所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列，所以，因為，所以.（2）由題意得，故，兩式相減得