2022-2023學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等三角形證明方法之倍長(zhǎng)中線(xiàn)（解析版）

專(zhuān)題05全等三角形證明方法一一倍長(zhǎng)中線(xiàn)

基本模型:

(1)條件：如圖，在中，為的中線(xiàn)，

作法：延長(zhǎng)4D至點(diǎn)區(qū)使得。￡=40,連接5E,

結(jié)論：①AADCAEDB；②AC=EB；?AC//EB.

E

(2)條件：如圖，在A4BC中，4F為A48C的中線(xiàn)，

作法：過(guò)點(diǎn)C作CELNE于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)8作尸交//的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。,

結(jié)論：①ACEFWBDF；②BD=CE；③BD〃CE.

(3)條件：如圖，在A4BC中，。為BC的中點(diǎn)，M為48邊上任意一點(diǎn),

作法：延長(zhǎng)"。至點(diǎn)N,使得MD=DN,連接CN,

結(jié)論：①ABMD咨ACND；②BM=CN；③BM〃CN.

N

例題精講：

例1.如圖，A4BC中，AB=6,ZC=4,。是8C的中點(diǎn)，幺。的取值范圍為

【詳解】解：延長(zhǎng)2。到￡,使DE=4D,連接BE,

在AEBD與AACD中,

BD=CD

<ZBDE=NADC,

DE=AD

：.AEBD%4CD(SAS),

/.BE=AC,

?：AB=6,AC=4,

：.2<AE<10,

：.1<AD<5.

故答案為：1<幺。<5.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，理解倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，證明△EBOgAZCD

是解題的關(guān)鍵.

例2.證明：直角三角形斜邊中線(xiàn)的長(zhǎng)度等于斜邊的一半.

如圖，。是4B的中點(diǎn)，ZACB=90°,求證：2c0=48.

A

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】解：延長(zhǎng)CD到￡,使DE=CD,連接BE,

?..。是4g的中點(diǎn)，

BD=AD,

在力即與ANC。中，

BD=AD

<NBDE=NADC,

DE=CD

：.&BEDaACD（SAS）,

ED=CD,NA=NDBE,AC=BE,

：.AC//BE,

:NACB=90°,

ZCBE=90°,

在A4CB與AEBC中,

AC=BE

<NACB=NEBC,

BC=BC

.?.△NCB%￡BC(SAS),

AB=CE=2CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，理解倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，證明

△BED%ACD

是解題的關(guān)鍵.

例3.已知CD=48,NBDA=NBAD,ZE是△48。的中線(xiàn)，求證：NC=NBAE.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：延長(zhǎng)AE到F,使EF=AE,連接DF,

???AE是AABD的中線(xiàn)，

BE—ED,

在"BE與AFDE中

BE=ED

<ZAEB=NDEF,

AE=EF

：."BE咨AFDE(SAS),

:.AB=DF,NBAE=NEFD,

?.?/2。8是4幺。。的外角，

ADAC+NACD=NADB=/BAD,

/.NBAE+ZEAD=ZBAD,NBAE=ZEFD,

ZEFD+ZEAD=ADAC+NACD,

/.NADF=ZADC,

?：CD=AB,：.CD=DF,

在△40b與AADC中

AD=AD

<NADF=ZADC,

FD=DC

△ADE&△ADC(SAS),

ZC=NAFD=ZBAE.

，■

A

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明兩個(gè)三角形全等.

例4.如圖，4。是ANBC的中線(xiàn)，E、尸分別在48、AC±,且/求證：BE+CF>EF.

A

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：延長(zhǎng)7^。至G,使得GD=￡D,連接BG,EG,

?.?在△。尸。和ADGB中，

DF=DG

<ZCDF=ZBDG,

DC=DB

/.ADFC^ADGB(SAS),

：,BG=CF,

?.?在△￡￡(廠(chǎng)和AEDG中

DF=DG

<NFDE=NGDE=90°,

DE=DE

：.AEDF%EDG(SAS),

EF=EG,

在ABEG中，兩邊之和大于第三邊,

BG+BE>EG,

又；EF=EG,BG=CF,

：.BE+CF>EF.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知正確作出輔助線(xiàn)延長(zhǎng)廠(chǎng)。至G,使得G￡>=￡D

是解題關(guān)鍵.

例5.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁(yè)的部分內(nèi)容:

例4嶙13213,在△ABC中，D是邊BC的中

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線(xiàn)CE,使CE/AB,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)

于點(diǎn)E,求證：AD=ED

證明；CE/AB（已知）

.,.NABD=/ECD./BAD=NCED（兩直線(xiàn)平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

在AABD與AECD中，

，

?/Z.ABD=ZECD5ZBAD=ZCED（已證）

BD=CD（已知：），圖13213

.,.A.4BD^AECD（A.A.S）,

...AD=ED（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

y

（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在A4BC中，48=8,AC=5,則8c邊上的中線(xiàn)ND長(zhǎng)度的取值范圍

是.

（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形4BCD中，4S〃CD,點(diǎn)￡是8C的中點(diǎn)，若ZE是NA4D的平分

線(xiàn)，試猜想線(xiàn)段48、40、0c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如圖③，己知48〃CE,點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線(xiàn)段ZE上，NEDF=NBAE,

若48=5,CF=2,直接寫(xiě)出線(xiàn)段。咒的長(zhǎng).

A

cA

313

【答案】(1)-<AD<—；(2)AD=AB+DC,理由見(jiàn)解析；(3)3

22

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)40到￡,使￡>￡=40,連接BE,

圖①

???/￡>是邊上的中線(xiàn),

BD=CD,

在AEAD與中,

BD=CD

<ZBDE=NADC,

DE=AD

：.AEBD^AACD(SAS),

：.BE=AC=5,

在ANBE中，AB-BE<AE<AB+BE,

；.8—5〈幺￡<8+5,

313

：.-<AD<—,

22

313

故答案為：-<AD<—.

22

(2)結(jié)論：AD=AB+DC.

理由：如圖②中，延長(zhǎng)4E,DC交于點(diǎn)、F,

???AB//CD,

：.ZBAF=ZF,

在AABE與AFCE中，

ZEB=NFEC

<ABAE=NF,

BE=CE

AABE&FCE(AAS),

：.CF=AB,

'：AE^ZBAD的平分線(xiàn)，

ZBAF=ZFAD,

?.ZFAD=ZF,

AD=DF,

?：DC+CF=DF,

：.AB+DC=AD.

(3)如圖③，延長(zhǎng)ZE交C尸的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,

圖③

???￡是BC的中點(diǎn),

/.CE=BE,

,/AB//CF,

ZBAE=NG,

在ANEB與AGEC中，

ABAE=NG

<ZAEB=ZGEC,

BE=CE

：.AAEB%GEC（AAS）,

/.AB=GC,

???NEDF=NBAE,

NFDG=NG,

Z.FD=FG,

：.AB=DF+CF,

?：AB=5,CF=2,

：.DF=AB-CF=3.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分

線(xiàn)的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

例6.中，AB=AC,以BC為邊,在右側(cè)作等邊△8。.如圖，￡為。。延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連

接NE、BE,G為NC的中點(diǎn)，連接BG、EG,AE=DE,證明：BGLEG.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：連接Z。，延長(zhǎng)8G至點(diǎn)F，使EG=8G,連接/R,FE,

VAB=AC,BD=DC,

：.AD是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn).

/.DHLBC.

???ABCD是等邊三角形，

ZCDA=-ZBDC=-x60°=30°.

22

*.*AE=DE,

NEAD=ZCDA=30°.

在ABGC和AEGZ中,

CG=AG

<ZCGB=ZAGF,

BG=FG

：.A￡GC^AFGA(SAS).

：.BC=AF,NCBG=NAFG.

：.AF//CB.

?/ADLBC,

：.FALAD.

：.NFAD=90°.

/.ZFAE=NFAD-ZEAD=60°.

,/BC=AF,BD=BC,

：.AF=BD.

在AAFE和ADBE中，

AF=BD

<NFAE=ZBDC=60°,

AE=DE

：.AAFE^ADBE(SAS).

：.FE=BE.

,/FG=BG,

：.BGVEG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì),

等腰三角形的性質(zhì)，延長(zhǎng)8G至點(diǎn)R使EG=8G,連接4F,FE,構(gòu)造全等三角形是利用線(xiàn)段中點(diǎn)解

答問(wèn)題常用的輔助線(xiàn).

專(zhuān)練過(guò)關(guān):

1.(1)如圖1,2。是ANBC的中線(xiàn)，延長(zhǎng)/。至點(diǎn)E,使磯>=ND,連接CE.

①證明△ZBZJgAECO；

②若48=5,AC=3,設(shè)ND=x,可得x的取值范圍是；

(2)如圖2,在AZBC中，。是8C邊上的中點(diǎn)，DELDF,DE交AB于點(diǎn)、E,DF交AC于點(diǎn)、F,

連接￡尸，求證：BE+CF>EF.

【答案】(1)Kx<4；(2)見(jiàn)解析

【詳解】(1)①證明：是A4BC的中線(xiàn),

BD=DC,

在小。臺(tái)與△￡￡)(?中，

BD=CD

<NADB=ZCDE,

AD=DE

：.(SAS),

②解：由①知，AADBWEDC,

：.CE=AB=5,

DE-AD,AD=x,

AE=2AD=2x,

在ANC￡中，AC=3,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，5-3<2x<5+3,

/.Kx<4,

故答案為：l<x<4；

(2)證明：如圖2,延長(zhǎng)ED,使得DH=DF,連接8〃，EH,

?：DH=DF,DELDF,

即NEDF=ZEDH=90°,DE=DE,

：.ADEF^DEH(SAS),

：.EF=EH,

?..。是8C邊上的中點(diǎn)，

BD=CD,

?：DH=DF,ZBDH=ZCDF,

：.ABDH咨ACDF(SAS),

：.CF=BH,

'：BE+BH>EH,

：.BE+CF>EF.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形中線(xiàn)的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊

關(guān)系，用倍長(zhǎng)中線(xiàn)法構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，在中，ZABC=45°,于點(diǎn)〃，點(diǎn)。在NW上，^.DM=CM,尸是的

中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)，在廠(chǎng)。的延長(zhǎng)線(xiàn)上有一點(diǎn)E,連接CE,且C￡=C4,NBDF=36。,求NE的

度數(shù).

【答案】ZE=36°

【詳解】解：???N48C=45°,AM1BC,

/.ZBMD=ZAMC,BM=AM,

在&BMD和xAMC中，

DM=CM

<NBMD=ZAMC,

BM=AM

：.AWD也AZMC(SAS),

如圖，延長(zhǎng)所到點(diǎn)G,使得FG=EF,連接BG.

ABMDJAMC,

：.BD=AC,

又,：CE=CA,

：.BD=CE,

在ABEG和ACFE中，

BF=CF

<ZBFG=ZEFC,

FG=FE

：.ABFG%CFE(SAS),

BG=CE,NG=NCEF,

BD=CE=BG,

：.NBDF=NG=NCEF.

：.NBDF=NCEF,

NE=36°.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”模型添

加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形.

3.閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明.

已知：如圖，點(diǎn)￡是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)/在。E上，且NB4E=NCDE.

求證：AB=CD.

分析：證明兩條線(xiàn)段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀(guān)察本題中要證明

的兩條線(xiàn)段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證48=CD,

必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.

（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線(xiàn)的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明.

①如圖1,延長(zhǎng)。E到點(diǎn)尸，使EF=DE,連接3尸；

②如圖2,分別過(guò)點(diǎn)5、C作BF工DE,CGLDE,垂足分別為點(diǎn)尸，G.

（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線(xiàn)，并對(duì)原題進(jìn)行證明.

/圖1圖2圖3

/

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）①如圖1,延長(zhǎng)￡）￡到點(diǎn)?使EF=DE,連接AF,

:點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

/.BE=CE,

在力跖和ACE。中,

BE=CE

<NBEF=NCED,

EF=ED

：.xBEF知CED(SAS),

/.BF=CD,NF=NCDE,

ZBAE=NCDE,

NBAE=NF,

AB=BF,

/.AB=CD；

②如圖2,分別過(guò)點(diǎn)8、C作跳'LOE,CGIDE,垂足分別為點(diǎn)RG,

NF=NCGE=ZCGD=90°,

:點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

BE=CE,

在ABE/和ACEG中，

Z=NCGE=90°

<NBEF=NCEG,

BE=CE

：.ABEFWCEGd,

BF=CG,

在和ACDG中，

NBAE=ZCDE

<NF=ZCGD=90°,

BF=CG

:.ABAFaCDG（AAS）,

：.AB=CD；

（2）如圖3,過(guò)C點(diǎn)作CW〃48,交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,

則NBAE=/EMC,

是BC中點(diǎn)，

BE=CE,

在和ACME中，

ZBAE=ACME

<NBEA=NCEM,

BE=CE

：.△5T4￡^ACW（AAS）,

Z.CM=AB,NBAE=ZM,

,//BAE=NEDC,

ZM=ZEDC,

CM=CD,

：.AB=CD.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角相等，平行線(xiàn)的性質(zhì)，構(gòu)造

出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

4.數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在中，48=8,ZC=6,。是

8C的中點(diǎn)，求8C邊上的中線(xiàn)的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)2。到￡,使DE=4D,請(qǐng)補(bǔ)充完整證明

“AADC知EDB”的推理過(guò)程.

(1)求證：AADCWEDB

證明：?.?延長(zhǎng)40到點(diǎn)E,使DE=4D

在AADC和&EDB中40=(已作)

NADC=NEDB()

CD=BD(中點(diǎn)定義)

；.AADCAEDB()

(2)探究得出2。的取值范圍是；

【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，把分散的已

知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

【問(wèn)題解決】

(3)如圖2,AABC中，ZB=90°,AB=2,2。是AABC的中線(xiàn)，CELBC,CE=4,且

ZADE=90°,求ZE的長(zhǎng).

E

vK

\；BDC

E

圖1圖2

【答案】(1)對(duì)頂角相等，SAS；(2)1<AD<7；(3)AE=6

【詳解】解：(1)證明：延長(zhǎng)2。到點(diǎn)E,使。E=4D

在AADC和AEDB中,

AD=DE(已作)

ZADC=ZEDB(對(duì)頂角相等)

CD=BD(中點(diǎn)定義)

:.AADC'EDB(SAS)

故答案為：對(duì)頂角相等，SAS；

(2),:AADC知EDB,

：.BE=AC=6,

8—6</￡<8+6,

\<AD<1,

故答案為：1<2。<7；

(3)延長(zhǎng)ZD交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于R

?/ABLBC,EF1BC,

：.NABD=NFCD,

在小瓦？和△網(wǎng)?￡(中，

ZABD=ZFCD

<BD=CD,

ZADB=NFDC

:.AABD%FCD(ASA),

CF=AB=2,AD=DF,

：ZADE=90°，

AE=EF,

EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

AE=6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

5.(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1,在中，45=12,

AC=8,

求8C邊上的中線(xiàn)4D的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2),

①延長(zhǎng)4D到使得=

②連接3/,通過(guò)三角形全等把48、AC,240轉(zhuǎn)化在△4W中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得NN的取值范圍為48-+,從而得到4D的取值范圍

是；

方法總結(jié)：上述方法我們稱(chēng)為“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”.“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)

系.

(2)請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中ZC與3河的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

(3)深入思考：如圖3,2。是ANBC的中線(xiàn)，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,請(qǐng)直

接利用(2)的結(jié)論，試判斷線(xiàn)段與石尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

E

圖1圖2圖3

【答案】(1)2<AD<1Q；(2)且NC=8M；(3)EF=2AD,理由見(jiàn)解析

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)40到點(diǎn)M,使￡＞河=40,連接

是8C邊上的中線(xiàn),

BD=CD,

在AMDB和AADC中,

BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

：.&MDBaADC(SAS),

：.BM=AC=6,

在4ABM中，

AB-BM<AM<AB+BM,

.?.12—8<^M<12+8,4VW<20,

/.2<^￡><10,

故答案為：2</。<10；

⑵AC//BM,且=

理由是：由(1)知，AMDBAADC,

:.NM=NCAD,AC=BM,

：.AC//BM；

(3)EF=2AD,

理由：如圖2,延長(zhǎng)/。到使得。河=/。，連接

E

由(1)知,AMDB'ADC(SAS),

AC=BM,

?：AC=AF,

：.BM=AF,

由(2)知：AC//BM,

：.ZBAC+ZABM=180°,

NBAE=NFAC=90°,

/.ABAC+AEAF=,

NABM=NEAF,

在A/W和中，

AB=EA

<ZABM=NEAF,

BM=AF

：.^ABM^AEAF(SAS),

???AM=EFf

AD=DM,

AM=2AD,

AM=EF,

：.EF=2AD,

即：EF=2AD.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，構(gòu)造全等三角形是解本題

的關(guān)鍵.

6.如圖，在中，尸為中點(diǎn)，分別以48、ZC為底邊向外作等腰三角形A/AD和等腰三角形

△ACE,

記N4DB=a,NAEC=0.

(1)若a=，=90°,如圖，求證：DF=EF,DFLEF；

(2)當(dāng)a,，不等于90°時(shí)，若DF工EF,

①在圖中補(bǔ)全圖形；

②試判斷a,，的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)a+,=180。，理由見(jiàn)解析;

【詳解】(1)證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)X,使得=〃F,連接CH、EH、DE,如下圖,

H

在ABDF和&CHF中

DF=HF

<ZBFD=ZCFH,

BF=CF

：.ABDF咨ACHF(SAS),

：.BD=CH,ZDBF=ZHCF,

AABD和AACE是等腰直角三角形，NADB=ZAEC=90°,

：.AD=BD,AE=CE,ZDAB=ZDBA=ZEAC=ZACE=45°,

/.AD=CH,NDAE=90°+ABAC,

..ZHCE=3600-ZHCF-ZACB