2021年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：圓綜合（解析版）

專題09：圓綜合一備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專題訓(xùn)練之2020中考真題重組

1.（2020?黑龍江齊齊哈爾市?中考真題）如圖，AB為。。的直徑，C、。為。。上的兩個(gè)點(diǎn)，疑=CD=

DB，連接4D,過點(diǎn)。作。交NC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡.

（2）若直徑N8=6,求的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）3G

【分析】（1）連接8,根據(jù)已知條件得到/3。。=；乂180。=60。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

DAB=30°,得到/瓦必=60。，求得ODLDE,于是得到結(jié)論；

（2）連接2。，根據(jù)圓周角定理得到//。8=90。，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接O。，

,-■AC=CD=BD，

1

，Z50￡>=-xl80°=60°,

3

'??CD=DB，

1,

???ZEAD=ADAB=-ZBOD=30°,

2

9

：OA=ODf

：.NADO=/DAB=30。,

9：DELAC,

：.NE=9。。,

ZEAD+ZEDA=90°,

：.ZEDA=60°f

：./EDO=ZEDA+ZADO=90°,

：.ODLDE,

????！晔?。。的切線；

(2)解：連接5D,

???45為。。的直徑，

???NADB=90。,

VZDAB=30°,45=6,

1

：.BD=—AB=3,

2

??AD=->/62-32=3-\/3?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的證明，及線段長(zhǎng)度的計(jì)算，熟知圓的性質(zhì)及切線的證明方法，以及含30。角的直

角三角形的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東淄博市?中考真題）如圖，AABC內(nèi)接于。O,AD平分NBAC交BC邊于點(diǎn)E,交。O于點(diǎn)

D,過點(diǎn)A作AFLBC于點(diǎn)F,設(shè)。O的半徑為R,AF=h.

（1）過點(diǎn)D作直線MN〃:BC,求證：MN是。0的切線;

（2）求證：AB?AC=2R?h；

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2cosa

【解答】解：（1）證明：如圖1,連接OD,

：AD平分/BAC,.\ZBAD=ZCAD,二麗=C。

又；OD是半徑，.-.OD±BC,

VMN//BC,；.OD_LMN,；.MN是。O的切線；

：AH是直徑，.,.ZABH=90°=ZAFC,

又：/AHB=NACF,

AACF^AAHB,

?AC-AF

'?屈一花

圖3

(3)如圖3,過點(diǎn)D作DQLAB于Q,DP±AC,交AC延長(zhǎng)線于P,連接CD,

VZBAC=2a,AD平分NBAC,

???NBAD=NCAD=a,=而，ABD=CD,

???/BAD=NCAD,DQ±AB,DP±AC,.\DQ=DP,

ARtADQB^RtADPC(HL),ABQ=CP,

VDQ=DP,AD=AD,

ARtADQA^RtADPA(HL),.,.AQ=AP,

AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,

2,。

AQAQA8+ZC

VcosZBAD=^,AAD=——AQ=2cosa.

ADcosaAD

cosa

(1)連接OD,由角平分線的性質(zhì)可得NBAD=NCAD,可得標(biāo)=而，由垂徑定理可得ODLBC,可證

4cAF

OD±MN,可得結(jié)論；(2)連接AO并延長(zhǎng)交。。于H,通過證明△ACFS/\AHB,可得——=—，可

AHAB

得結(jié)論G)由‘HL”可證Rt^DQB也RtZ\DPC,RtADQA^RtADPA,可得BQ=CP,AQ=AP,可得AB+AC

=2AQ,由銳角三角函數(shù)可得AD=」￡,即可求解.

cosa

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形是本題的關(guān)鍵.

3.(2020?四川雅安市?中考真題)如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于圓，ZABC=60。,對(duì)角線平分

ZADC.

(1)求證：A/BC是等邊三角形；

(2)過點(diǎn)2作BEHCD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若AD=2,DC=3,求ABDE的面積.

E

D

【答案】（1）見解析；（2）生m；

4

【分析】（1）根據(jù)三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形即可判斷；

（2）過點(diǎn)A作AELCD,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BFJ_AC,垂足為點(diǎn)F.根據(jù)S四邊取ABCD=SAABC+SMCD，

分別求出△ABC,4ACD的面積，即可求得四邊形ABCD的面積，然后通過證得4EAB0ZiDCB（AAS）,

即可求得4BDE的面積=四邊形ABCD的面積=空8.

【解答】解：(1)證明：???四邊形ABCD內(nèi)接于。O.

.?.ZABC+ZADC=180°,

ZABC=60°,

.\ZADC=120o,

VDB平分NADC,

???ZADB=ZCDB=60°,

AZACB=ZADB=60°,ZBAC=ZCDB=60°,

???ZABC=ZBCA=ZBAC,

/.△ABC是等邊三角形；

E

(2)過點(diǎn)A作AM,CD,垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)B作BNJ_AC,垂足為點(diǎn)N.

I.ZAMD=90°

VZADC=120°,

???ZADM=60°,

ZDAM=30°,

DM-yAD=1,AM=SJAD--DM-=布)，

VCD=3,

；.CM=CD+DE=1+3=4,

SAACD=vCD-AM=gx3x有=巫,

222

在RtAAMC中,ZAMD=90°,

AC=YIAM2+CM2=V19-

,/△ABC是等邊三角形，

.".AB=BC=AC=V19，

:.BN=?BC=^~，

22

.Sx叵U

224

四邊形ABCD的面積=吆8+m=生叵，

424

：BE〃CD,

ZE+ZADC=180°,

ZADC=120°,

；./E=60。，

ZE=BDC,

四邊形ABCD內(nèi)接于OO,

；.NEAB=/BCD,

在AEAB和ADCB中，

NE=NBDC

<ZEAB=ZDCB,

AB=BC

.".△EAB^ADCB(AAS),

.".△BDE的面積=四邊形ABCD的面積=生叵.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

4.(2020?黑龍江大慶市?中考真題)如圖，在A48c中，AB=AC,以為直徑的。。交5C于點(diǎn)。，

連接Z。，過點(diǎn)。作垂足為AB、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N.

(1)求證：上W是。。的切線；

(2)求證：DN2=BN\BN+AC).

3

(3)若BC=6,cosC=|,求。N的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)DN^—

7

【分析】

(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓的相關(guān)性質(zhì)證得OD為AABC的中位線，即可求證；

(2)根據(jù)題中條件證明△BNDs/\DNA,再根據(jù)AB=AC,進(jìn)行等量代換即可證明；

(3)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形和勾股定理求出AB、BD、AD的長(zhǎng)度，再利用相似三角形

的性質(zhì)即可求解.

【解答】

(1)如圖，連接OD,

：AB為。。的直徑，

I.ZADB=90°,

VAB=AC,

???BD=CD,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

又?.,AO=BO,

AOD為4ABC的中位線,

AOD//AC,

???DMLAC,

AOD±MN,

故跖V是。。的切線.

(2)VZADB=90°,

Zl+Z3=90°,

?：DMLAC,

.'.Z3+Z5=90°,Z2+Z3=90°,

AZ2=Z5,

VAB=AC,AD±BC,

AZ4=Z5,

VZ1=Z2,

AZ1=Z4,

ZN=ZN,

.,.△BND^ADNA,

.BNDN

??而一南，

VAB=AC,

.BN_DNDN

''1DN~BN+AB~BN+AC

:,DN?=BN(BN+AC)

A

(3)U：BC=6,

???BD=CD=3,

3

*.*cosC=—

5

CD

???AC==5,

cosC

???AB=5,

由勾股定理可得AD=4,,

由(2)可得，ABND^ADNA,

.BN_DN_BD_3

3

：.BD=-DN,

4

..DN_3

,'AN~4,

---------=—,即<34，

AB+BN45+-DN

4

解得：DN="

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線的判定、相似三角形的性質(zhì)與判定和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相

關(guān)性質(zhì)和判定并靈活應(yīng)用.

5.（2020?廣西中考真題）如圖，在中，以/C為直徑的。。交CE于點(diǎn)。，連接幺。,且

NDAE=ZACE,連接OD并延長(zhǎng)交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,PB與QO相切于點(diǎn)B.

B

AEP

(1)求證：4P是。。的切線：

(2)連接4g交0P于點(diǎn)尸，求證：YFAD:X/DAE；

1Ap

(3)若tan/OAF=—,求——的值.

2AP

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)1二1

2

【分析】(1)證明0414尸即可得到結(jié)論；

(2)連接0B,由切線長(zhǎng)定理可得PA=PB,根據(jù)SSS即可證明V08PV/04P,進(jìn)一步得到

ZFAD=ZDAE,ZAFD=ZADE=90°?從而可證明VK4。：X/DAE；

(3)由加〃=g可設(shè)===得到4P=2氐，根據(jù)VE4。：MDAEW

tanZACE=tanZFAD列式豆=2L=/一1卜,最后進(jìn)行求解即可.

ACAF2x

【解答】(1)證明：???4C為直徑

NADC=90°,

:.ZACE+ZCAD^90°,

又NCU￡+ND1C=9O°

OA±AP,

為。。的切線

(2)連。民???尸4尸8為圓的切線

PA=PB,

又OB=OA,OP=OP

:VOBP^/OAP(SSS)

ZBOD=ZDOA,

AD弧弧

NFAD=NACE

OF±AB,

又QNACE=NDAE,

ZFAD=ZDAE,ZAFD=ZADE=90°

:VFAD：VDAE(AA)

(3)在放△0E4中，tanZOAF=^

設(shè)：OF=x,AF=2x,OA=&,

故AP=2OA=2/x

QDF=0D-0F=0A-0F=(4^-，x

且YFAD:MDAE

NFAD=NDAE=NACE,

tanAACE=tan/FAD,

明AE_DF

ACAF2x

2￡=a_1).底=(5-石卜

4E_（5_布卜

"AP~2氐-2

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、

三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握切線的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問

題的關(guān)鍵.

6.（2020?遼寧營(yíng)口市?中考真題）如圖，△N2C中，/4CB=90。,2。為△/8C的角平分線，以點(diǎn)。為圓

心，0c為半徑作。。與線段/C交于點(diǎn)D

（1）求證：48為。。的切線；

3

（2）若taib4=—，AD=2,求5。的長(zhǎng).

4

【答案】（1）見解析；（2）36

【分析】（1）過。作于X,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到O8=OC,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)

論；

（2）設(shè)。。的半徑為3x,則O〃=8=OC=3x,再解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：過。作于X,

?：NACB=90。,

：.OCLBC,

為△48C的角平分線，OHLAB,

：.OH=OC,

即。〃為。。的半徑，

；OH_LAB,

為。。的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑為3x,則O〃=OD=OC=3x,

3

在RtZ\/O〃中，'：tanA=-,

4

,OH3

??--=—,

AH4

313

----=一,

AH4

.\AH=4x,

???40=yJOH2-^-AH2=7(3X)2+(4X)2=5X，

\*AD=2,

.\AO=OD+AD=3x+2,

3x+2=5x,

??x=1,

???CM=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3,

AC=OA+OC=5+3=8,

在RtZUBC中，VtarU=^,

3

：.BC=AC<anA=8x-=6,

4

0B=y/0C2+BC2=A/32+62=3A/5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定、解直角三角形等內(nèi)容，熟練運(yùn)用圓中的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

7.(2020?江蘇宿遷市?中考真題)如圖，在aABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，以BD為直徑的。O經(jīng)過點(diǎn)A,

且/CAD=NABC.

(1)請(qǐng)判斷直線AC是否是。。的切線，并說明理由；

(2)若CD=2,CA=4,求弦AB的長(zhǎng).

A

【答案】(1)見解析；(2)超5

5

【分析】(1)如圖，連接0A,由圓周角定理可得/BAD=9()o=/OAB+NOAD,由等腰三角形的性質(zhì)可得

ZOAB=ZCAD=ZABC,可得NOAC=90。，可得結(jié)論；

(2)由勾股定理可求OA=OD=3,由面積法可求AE的長(zhǎng)，由勾股定理可求AB的長(zhǎng).

【解答】(1)直線AC是。0的切線，

理由如下：如圖，連接0A,

：BD為。0的直徑，

???ZBAD=90°=ZOAB+ZOAD,

VOA=OB,

AZOAB=ZABC,

又?.,NCAD=NABC,

???ZOAB=ZCAD=ZABC,

ZOAD+ZCAD=90°=ZOAC,

Z.AC1OA,

又〈OA是半徑，

?,?直線AC是。O的切線；

(2)過點(diǎn)A作AE_LBD于E,

VOC2=AC2+AO2,

A(OA+2)2=16+OA2,

AOA=3,

.\0C=5,BC=8,

11

SAOAC=-OA-AC=-OC-AE,

3x412

；.AE=

rT

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理等知識(shí)，求圓的半徑是本題的關(guān)鍵.

8.2020?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖,AB是半圓AOB的直徑,C是半圓上的一點(diǎn),AD平分NA4c

交半圓于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作。HL/C與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H.

（1）求證：DH是半圓的切線；

⑵若DH=2亞,sinZBAC^—，求半圓的直徑.

3

【答案】（1）見詳解；（2）12

【分析】（1）連接OD,先證明OD〃AH,然后根據(jù)DH_LAH,可得OD_LDH,即可證明；

（2）過點(diǎn)O作OELAH于E,由（1）知，四邊形ODHE是矩形，可得OE=DH=26，

在RtZXAOE中，根據(jù)sin/BAC=好，sinZBAC=—,可得AO=———=275x^=6,即可求出

3OAsinZBACJ5

直徑.

【解答】（1）連接OD,

HA

I

D

AOB

VOA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

VAD平分ZB/C,

/.ZCAD=ZOAD,

ZCAD=ZODA,

；.OD〃AH,

VDH±AH,

AODIDH,

；.DH是半圓的切線；

（2）過點(diǎn)O作OELAH于E,由（1）知，四邊形ODHE是矩形,

.?.OE=DH=2B

在RtAAOE中,

VsinBAC=,sin/BAC=,

3OA

OE3

??AO=——-------=2.5rx-/==6,

sinABACV5

；.AB=2OA=12,

...半圓的直徑長(zhǎng)為12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

9.（2020?內(nèi)蒙古呼倫貝爾市?中考真題）如圖，。。是A/BC的外接圓，直線EG與。。相切于點(diǎn)

E,EG//BC,連接4E交3C于點(diǎn)Z）.

（1）求證：/￡平分N8/C；

（2）若N48C的平分線8尸交/。于點(diǎn)尸，且。E=3,DF=2,求/尸的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）—

【分析】（1）連接OE,利用垂徑定理、圓周角、弧、弦的關(guān)系證得結(jié)論；

BEDE

（2）根據(jù)題意證明BE=EF,得到BE的長(zhǎng)，再證明△EBDsaEAB得到一=——，求出AE,從而得到

EABE

AF.

【解答】解：（1）連接OE.

\?直線EG與。O相切于E,

.".OE1EG.

；EG〃BC,

；.OE_LBC,

?■BE=CE^

ZBAE=ZCAE.

；.AE平分NBAC；

（2）如圖，：AE平分/BAC,

AZ1=Z4,

VZ1=Z5,

???Z4=Z5,

VBF平分NABC,

/.Z2=Z3,

VZ6=Z3+Z4=Z2+Z5,即N6=NEBF,

???EB=EF,

VDE=3,DF=2,

???BE=EF=DE+DF=5,

VZ5=Z4,ZBED=ZAEB,

.,.△EBD^AEAB,

.BEDE53

??---=----，即Rn----=——，

EABEEA5

.*.AE=—,

3

2510

AF=AE-EF=--5=—.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓周角、弧、弦的關(guān)系，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，掌握定理并熟練運(yùn)用是解題必備的能力.

10.2020?遼寧鞍山市?中考真題）如圖，4s是。。的直徑，點(diǎn)C,點(diǎn)。在。。上，AC=CD，AD與BC

相交于點(diǎn)E,/尸與。。相切于點(diǎn)/,與5c延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R

(1)求證：AE=AF.

3

⑵若EF=12,smZABF=~,求O。的半徑.

5

【答案】(1)見解析；(2)—

3

【分析】⑴根據(jù)圓周角定理得到/ACB=90。，根據(jù)切線性質(zhì)得到NBAF=90。，由)己=①得出/CAD=

ZCDA,結(jié)合NCDA=/ABC,證明/CAF=NCAD,從而證明△ACFgAACE,即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)EF求出CE,結(jié)合sinZABF=sinZCAD求出AE,再利用勾股定理算出AC,最后根據(jù)sinZABF=

AT

——求出AB即可得到半徑.

AB

【解答】解：(1);AB為圓O直徑，

???NACB=90。，

???AF與圓O相切，

???ZBAF=90°=ZCAF+ZCAB,

???NCBA+NCAB=90。，

AC=CD'

???AC=CD,

???ZCAD=ZCDA,

又???NCDA=NCBA,

???NCDA+NCAB=NCAD+NCAB=90。，

???NCAF=NCAD,又AC=AC,ZACF=ZACE=90°,

AAACF^AACE(ASA),

???AE=AF；

(2)VZABF=ZADC=ZCAD,

CE3

,sinZABF=sinZCAD=—="

AE5

VAACF^AACE,EF=12,

，CE=CF=6,

63

?*----——，解得：AE=10,

AE5

.?.AC=JN￡2_C￡2=8,

...圓O的半徑為一.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正弦的定義，知識(shí)點(diǎn)較多，有

一定難度，解題時(shí)要注意多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合.

11.（2020?湖南永州市?中考真題）如圖，A/BC內(nèi)接于是O。的直徑，8。與。。相切于點(diǎn)3,

交ZC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，￡為的中點(diǎn)，連接CE.

（1）求證：CE是。。的切線.

（2）己知AD=3jS,CD=5，求。，E兩點(diǎn)之間的距離.

9

【答案】（1）見解析；（2）—

2

【分析】（1）連接OC,先推出N8C0=9O°,然后根據(jù)CE是及A5C。斜邊AD上的中線，得出

CE=BE,從而可得NEBC=NECB,根據(jù)BD與。。相切，得到NO5C+NESC=90。，

可得NOC8+NEC5=90。，即NOCE=90。，即可證明CE是。。的切線；

(2)連接0E,先證明MCDSAAo,可得—=一,可求出AD,根據(jù)。￡是△48。的中位線，即

4ADBD

可求出0E.

【解答】(1)證明：連接。C,

OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,

：48是。。的直徑，

ZACB=90°,則NBCD=90°,

CE是RtABCD斜邊8。上的中線，

CE=BE,

：.ZEBC=ZECB,

YBD與。。相切，

ZABD=90°,即ZOBC+ZEBC=90°,

：.ZOCB+NECB=90°,即NOCE=90°,

：.OCLCE,

；.CE是O。的切線；

(2)連接OE,

D

,:ND=ND,/BCD=NABD,

：.MiCDsMBD,

BDCDi—r.

——=----，即n（3J^）=5AD，

ADBD''

AD=9,

是的中位線，

19

：.0E=-AD=~.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定進(jìn)而性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊上的一半，掌握知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合現(xiàn)有條件靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

12.（2020?西藏中考真題）如圖所示，AB是。。的直徑，AD和BC分別切。。于A,B兩點(diǎn)，CD與。O

有公共點(diǎn)E,且AD=DE.

（1）求證：CD是。O的切線；

（2）若AB=12,BC=4,求AD的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）9

【分析】（1）連接OD,OE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到/DAB=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/OED=/OAD

=90°,于是得到CD是。O的切線；

（2）過C作CHLAD于H,根據(jù)已知條件推出四邊形ABCH是矩形，求得CH=AB=12,AH=BC=4,

根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD=DE,CE=BC,求得DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4,根據(jù)勾股定理即可

得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接OD,0E,

?；AD切。0于A點(diǎn)，AB是。0的直徑，

ZDAB=90°,

：AD=DE,OA=OE,OD=OD,

?.?△ADO絲AEDO(SSS),

.,.ZOED=ZOAD=90°,

；.CD是。O的切線；

(2)過C作CH_LAD于H,

：AB是。O的直徑，AD和BC分別切。。于A,B兩點(diǎn),

...NDAB=/ABC=NCHA=90。，

二四邊形ABCH是矩形，

.*.CH=AB=12,AH=BC=4,

：CD是。。的切線，

；.AD=DE,CE=BC,

；.DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4,

VCH2+DH2=CD2,

：.n2+(AD-4)2=(AD+4)2,

；.AD=9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，正確

的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.（2020?湖南郴州市?中考真題）如圖，A/BC內(nèi)接于。O,45是。。的直徑.直線/與。。相切于點(diǎn)

A,在/上取一點(diǎn)。使得￡%=￡>C.線段。C,48的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

（1）求證：直線。。是。。的切線；

（2）若BC=2,ZCAB=30°,求陰影部分的面積（結(jié)果保留乃）.

【答案】（1）見解析；（2）2百—2乃

3

【分析】（1）連接。C,根據(jù)CM=OC,D/=OC可得NO/C=NOC4,NDAC=NDCA,再根據(jù)直線/與

00相切于點(diǎn)/可得/。/。=90。，進(jìn)而可得NOCO=90。，由此可證得直線。C是。。的切線；

2

（2）先證明△80。為等邊三角形，可得OB=OC=8C=2,根據(jù)扇形面積公式可求得S扇形皿c=§?,再利

用含30。的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得C￡=2百，由此可求得S,OE=2百，最后便可得

S陰影-S^COE_S扇形50c=2j3--

【解答】（1）證明：連接OC,

?：OA=OCf

：.ZOAC=ZOCAf

'：DA=DC,

：.ZDAC=NDCA,

???直線/與。。相切于點(diǎn)4,

???ZDAO=90°,

：.ZDAC+ZOAC=90°f

：.ZDCA+ZOCA=90°f

：.NDCV=90。,

C.OCLDC,

又???點(diǎn)。在。。上，

???直線。。是。。的切線;

(2)解：VZC45=30°,

：.ZCOB=2ZCAB=60°,

又，：OB=OC,

???△BOC為等邊三角形，

：.OB=OC=BC=2,

._60-^-22_2

,,扇形8"――kF"'

VZOC￡=90°,NCO5=60。，

???ZE=90°~NCO5=30。，

???O￡=2OC=4,

???在RSCOE中，CE=y/0E2-OC2=273，

:?S“。E=；OCOE

二—x2x2百

2

=2^/3,

S陰影=S^COE_S扇形50c=2一飛兀

：.陰影部分的面積為2百-2萬.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)與判定、扇形的面積公式以及含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練

掌握切線的性質(zhì)與判定、扇形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵.

14.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的

圓”，請(qǐng)研究如下美麗的圓，如圖，RM48C中，N8C4=90°,ZC=3,8C=4,點(diǎn)O在線段上，且

3

。。甘以。為圓心.。。為半徑的。。交線段/。于點(diǎn)D,交線段/。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

E

(1)求證：48是。O的切線;

AJJDE

(2)研究過短中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)——=——,回答小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否正確？如果正確，給出證明;

DEAE

如果不正確，說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)結(jié)論成立，見解析

3

【分析】(1)過點(diǎn)。作的于H,由勾股定理可求A8的長(zhǎng)，由面積法可求0//=—=OC,即可求

2

結(jié)論.

ACAD

(2)連接CD,EC,通過證明AD/CsAaE,可得—=—,由。￡=/C=3,可得結(jié)論.

AEAC

【解答】解：(1)如圖1,過點(diǎn)。作于H,

ZBCA=90°,AC=3,BC=4,

AB=4AC1+BC~=V9+16=5，

??C—CIc

?u^ABC-T3ABO'

1131

—x3x4=—x3x—+—x5xOH

2222

3

：.OH=-

2

：.OC=OH,

且O”,A4,

???AB是OO的切線;

(2)結(jié)論成立,

??.ZECD=90°=AACO,

???/ECO=NACD,

OC=OE,

???/CEO=ZOCE,

??.ZACD=/CEO,

又???/DAC=/EAC,

：.ADACS^CAE,

,AC_AD

??瓦一刀’

3

?.?OC=-

2f

:?DE=2OC=3=AC,

.DEAD

…花一而‘

故小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是正確的.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)知識(shí).證明石

是解題的關(guān)鍵.

15.（2020?云南中考真題）如圖，4g為。O的直徑，。為。O上一點(diǎn)，4DLCE,垂足為。，NC平分

/DAB.

c

AB

O

(1)求證：CE是。O的切線；

4

(2)若/。=4,cosZCAB=~,求的長(zhǎng).

5

25

【答案】(1)見解析(2)—

4

【分析】(1)連接OC,根據(jù)角平分線及等腰三角形的性質(zhì)得到NOCD=90。，即可求解；

4D4

(2)連接BC,在Rt^ADC中，利用cos/l=——=cosZCAB=-,求出AC=5,再根據(jù)在RtZIkABC中,

AC5

4c54

cosZCAB=——=——=-,即可求出AB的長(zhǎng).

ABAB5

【解答】(1)證明：連接OC,

,/AD1CE

：.ZADC=90°

.?.Zl+Z4=90°

：AC平分NDAB

/.Z1=Z2

又AO=OC,

Z2=Z3

.?.Z1=Z3

Z4+Z3=90°

即ZOCD=90°

故OC_LCD,OC是半徑

CE是。O的切線；

(2)連接BC,

VAB是直徑，

/.ZACB=90°

：AC平分NDAB,Z1=Z2

*4AD4

在Rt^ADC中，cos/l=——=cosZCAB=-

AC5

又AD=4

；.AC=5

ZC54

在Rt^ABC中，cos/CAB=——=——=-

ABAB5

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓的切線的判定與性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知切線的判定定理及三角函數(shù)的定

義.

16.（2020?山東濟(jì)南市?中考真題）如圖，A8為。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，CD與。。相切于點(diǎn)C,

過點(diǎn)/作連接/C,BC.

（1）求證：/C是ND/8的角平分線；

（2）若4D=2,AB=3,求/C的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）V6

【分析】（1）連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)可得/OCD=90。，再根據(jù)和半徑線段即可證明NC是/

DAB的角平分線；

（2）利用圓周角定理得到//C3=90。，再證明RtZ\4DCsRtZ\/C3,對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出/C的長(zhǎng).

【解答】解：（1）證明：連接。C,如圖，

：CD與。。相切于點(diǎn)C,

：.ZOCD=90°,

N/CD+N4co=90。，

9

：AD.LDCf

：.ZADC=90°,

：.ZACD+ZDAC=90°,

：.NACO=/DAC,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZDAC=ZOAC,

???/C是ND43的角平分線;

(2)T/B是。。的直徑，

???NACB=90。,

：.ZD=ZACB=90°,

???ZDAC=/BAC,

ARtA^DC^RtA^C5,

.ADAC

**AC-AB'

：.AC1=AD^AB=2^=6,

：.AC=y/6

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)和圓周角定理，解題關(guān)鍵是連接根據(jù)切線的性質(zhì)可得NOCD=90。.

17.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）如圖，已知是。。的直徑，。。經(jīng)過此△4CD的直

角邊。。上的點(diǎn)尸，交/C邊于點(diǎn)點(diǎn)尸是弧EB的中點(diǎn)，ZC=90°,連接4F.

（1）求證：直線是。O切線.

⑵若BD=2,05=4,求tanNZ尸。的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）且.

5

【分析】（1）連接OF,因?yàn)辄c(diǎn)尸是弧仍的中點(diǎn)，所以可得NC4F=NE48,因?yàn)椤?=。尸，所以

ZOFA=ZFAB,所以NC4F=/OE4,所以CZ〃OE,所以/O￡D=NC=90。，即可得出直線CD

是。0切線;

(2)由⑴得CA//OF,所以AOEO?A4CD,所以型="，可求出ZC=型，在RtAACD,根

ADAC3

據(jù)勾股定理可得出。。=12。2一2。2=竺普,再根據(jù)黑=黑，即器可得

C戶=￡逝，在小ZUC尸中，可求出tan//PC=C￡=N5.

3AC5

【解答】解：如圖，連接OF,

?.?尸是弧￡5的中點(diǎn)，

NCAF=NFAB,

0A=OF,

ZOFA=ZFAB,

ZCAF=NOFA,

CA//OF,

ZOFD=ZC=90°,

???直線C。是。O切線.

(2)?/AO^OB=OF=4,BD=2

AD=10；

由(1)得CA//OF,

bOFD?"CD,

OPOF

"AD~7C

.64

"10~AC

20

???在用A4co中，40=10,4c二——

3

AOFD?AACD,

ODDF

~AD~~CD

^^-CF

6

可得:~-—/=—，解得:

1010V5CF等

3

在火%A4C尸中，可得：tanZ^FC=—=—

AC5

即：tanZ^FC=—

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查與圓有關(guān)的證明，熟練掌握與圓有關(guān)的定理是做題關(guān)鍵，比如本題中看到弧相等，就要

轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圓周角或者圓心角相等；當(dāng)題目中出現(xiàn)平行線，并且求線段長(zhǎng)度，可考慮利用相似三角形的

性質(zhì)進(jìn)行求解，結(jié)合勾股定理，注意計(jì)算不要出錯(cuò).

18.(2020?四川廣安市?中考真題)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，AC平分NDAE交。

O于點(diǎn)C,ADLDE于點(diǎn)D.

(1)求證：直線DE是。。的切線.

(2)如果BE=2,CE=4,求線段AD的長(zhǎng).

【分析】(1)連接OC,根據(jù)等邊對(duì)等角和垂直定義可得NOAC=NOCA,ND=90。，根據(jù)角平分線的定義

可得/DAC=/OAC,從而得出/OCA=/DAC,根據(jù)平行線的判定可得OC〃AD,從而得出/OCE=N

D=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論；

(2)連接BC,根據(jù)相似三角形的判定定理可證△BCEs/MZAE,列出比例式即可求出AE,從而求出0C、

OB和0E,然后根據(jù)平行線證出△EOCS^EAD,列出比例式即可求出AD.

【解答】解：(1)連接OC

/.ZOAC=ZOCA,ZD=90°

VAC平分/DAE

ZDAC=ZOAC

ZOCA=ZDAC

；.OC〃AD

ZOCE=ZD=90°

AOCXDE

直線DE是。O的切線；

(2)連接BC

D

：.NACB=90。

???ZACO+ZOCB=90°

V0C1DE

.?.ZBCE+ZOCB=90°

???ZBCE=ZACO

ZOAC=ZOCA

ZBCE=ZCAE

ZE=ZE

.,.△BCE^ACAE

.CEBE

^^E~~CE

口口42

即——二一

AE4

解得：AE=8

AAB=AE-BE=6

AOC=OB=-^5=3

2

.,.OE=OB+BE=5

VOC//AD

AAEOC^AEAD

.—OEo-c--

,AEAD

口53

即一=

8而

24

解得：AD=y.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、圓周角定理的推論

和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角、平行線的判定及性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、圓周角定理的

推論和相似三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.（2020?廣西玉林市?中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)D在直徑AB上（D與A,B不重合），CD

±AB,且CD=AB,連接CB與圓O交于點(diǎn)F,在CD上取一點(diǎn)E,使得EF=EC.

（1）求證：EF是圓O的切線；

（2）若D是OA的中點(diǎn)，AB=4,求CF的長(zhǎng).

13

【答案】（1）見解析；（2）y

【分析】（1）連接OF和AF,證明/GFE=NAGD,進(jìn)而可證明NOFE=90。后即可求解；

（2）先由AB=CD=4,BD=3,在RtZkBCD中結(jié)合勾股定理求出BC,再證明△ABFs/iCBD,由對(duì)應(yīng)邊成比

例求出BF的長(zhǎng)，最后用BC減去BF就是所求的CF的長(zhǎng).

【解答】解：（1）連接OF和AF,設(shè)AF與DC相交于點(diǎn)G,如下圖所示：

VOA=OF,

ZA=ZOFA,

VAB為圓O的直徑，ZAFB=ZAFC=90°,

ZC+ZCGF=90°，ZGFE+ZEFC=90°

又EC=EF,AZC=ZEFC,

ZCGF=ZGFE,

又NCGF=/AGD,

ZGFE=ZAGD

ZOFE=ZOFA+ZGFE=ZA+ZAGD=18O°-ZADG=180°-90°=90°，

；.OF_LEF,

；.EF是圓O的切線.

(2)如下圖所示，

：D是OA的中點(diǎn)，且AB=4,

；.DO=1,BD=BO+DO=3,

又AB=CD=4,

.,.在Rt^BCD中，BC2=BD2+CD2=32+42=52,

/.BC=5,

XZBDC=ZBFA=90°,且/B=/B,

.'.△ABF^ACBD,

4BF

———，代入數(shù)據(jù)后得:

BCBD5"T

.R—

??,

5

1213

：.CF=BC-BF=5——=—

55

13

故答案為:

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理等知識(shí)，熟練掌握其定理及性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵.

20.(2020?廣西貴港市?中考真題)如圖，在A/BC中，=點(diǎn)。在5c邊上，且么。=8。，QO

是AZCD的外接圓，/E是。。的直徑.

(1)求證：48是。。的切線：

(2)若AB=2娓,40=3,求直徑4E1的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)3百

【分析】(1)連接?！?直徑所對(duì)的圓周角是直角可得NADE=90。，繼而根據(jù)已知條件和等邊對(duì)等角的性

質(zhì)及等角代換可得：NBAD=NE=NC,進(jìn)而可得ZCME+NR4。=90°,再根據(jù)切線的判定即可求證結(jié)

論；

(2)作垂足為易證△ABCs^DBA,繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：

AB2=BD-BC，進(jìn)而可求BC=8,由勾股定理可得AH,然后根據(jù)相似三角形的判定及其性質(zhì)可得

4EAD

RtAAED^Rt/\ABH,——=——，代入數(shù)據(jù)即可求解.

ABAH

【解答】(1)證明：如圖，連接

：/E是O。的直徑，

NADE=90°,

：.ZDAE+ZE=90°,

VAB=AC,AD=BD,

ZB=ZC=/BAD,

又/E=NC,

...NBAD=NE=/C,

NDAE+ABAD=90°,即A8，,

48是。。的切線.

(2)解：如圖，作垂足為〃，

AB=AC,

：.BH=CH,

'：/B=/C=2ZBAD,

/.△ABC^ADBA

ABBCr,7

DL)AD

又4B=276，BD=AD=3，

BC=8,

在放中，BH=CH=4,

由勾股定理求得：AH=2近，

,/NE=NB,

：.Rt/\AED^Rt/\ABH,

.AEAD

??南一芯‘

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識(shí)并正確作輔助線構(gòu)造三角形.

21.（2020?甘肅天水市?中考真題）如圖，在A/BC中，NC=90°,4D平分NR4C交3C于點(diǎn)點(diǎn)O

在A8上，以點(diǎn)。為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)。，分別交ZC、AB于點(diǎn)、E、F.

（1）試判斷直線3C與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

⑵若BD=2%，AB=6,求陰影部分的面積（結(jié)果保留乃）.

【答案】（1）3C與。。相切，理由見解析；（2）2百—2乃.

3

【分析】（1）連接。。，求出。D///C