2023年北京市八年級(jí)下期末數(shù)學(xué)分類匯編：新定義（原卷版）

2023.7北京市八年級(jí)下期末數(shù)學(xué)分類匯編一一新定義（原卷版）

1.（2023春?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于點(diǎn)尸（xo,yo）,給出如下定

義：若存在實(shí)數(shù)xi,X2,y\,>2使得xo-xi=xi-X2且yo-yi=yi->2,則稱點(diǎn)P為以點(diǎn)

（XI,J4）和（X2,二）為端點(diǎn)的線段的等差點(diǎn).

（1）若線段加的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1,2）和（3,-2）,則下列點(diǎn)是線段加等差點(diǎn)

的有;（填寫序號(hào)即可）

①尸1（-1，6）；

②尸2（2,0）；

③尸3（4,-4）；

④尸4（5,-6）.

（2）點(diǎn)/,3都在直線夕=-苫上，已知點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為-2,M（t,0）,NG+l,1）.

①如圖1,當(dāng)t=-l時(shí)，線段的等差點(diǎn)在線段兒W上，求滿足條件的點(diǎn)3的坐標(biāo)；

②如圖2,點(diǎn)3橫坐標(biāo)為2,以45為對(duì)角線構(gòu)造正方形NC3O,在正方形/C8D的邊上

（包括頂點(diǎn)）任取兩點(diǎn)連接的線段中，若線段上存在其中某條線段的等差點(diǎn)，直接

寫出t的取值范圍.

y八y八

5-5-

4-

一5-4-3-24°_12345H-5-4-3-2-1)0_12345a;

-2

-3

-4-4

-5-5

圖一圖二

第1頁(yè)（共17頁(yè)）

2.(2023春?西城區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于正方形/BCD和它的邊上的動(dòng)點(diǎn)

尸，作等邊△OPP,且O,P,P'三點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕校Q點(diǎn)P是點(diǎn)P關(guān)于正方形/BCD

的"友好點(diǎn)已知/C-a,a),B(a,a),C(a,-a),DC-a,-a)(其中a>0).

(1)如圖1,若a=3,的中點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)尸在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

①若點(diǎn)P和點(diǎn)P關(guān)于正方形/BCD的“友好點(diǎn)”點(diǎn)P,恰好都在正方形的邊上，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為;點(diǎn)M關(guān)于正方形ABCD的“友好點(diǎn)”點(diǎn)M'

的坐標(biāo)為;

②若記點(diǎn)P關(guān)于正方形43。的“友好點(diǎn)”為P",〃)，直接寫出〃與加的關(guān)系式

(不要求寫優(yōu)的取值范圍)；

(2)如圖2,E(-1,-1),F(2,2).當(dāng)點(diǎn)尸在正方形/BCD的四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若

線段斯上有且只有一個(gè)點(diǎn)P關(guān)于正方形/BCD的“友好點(diǎn)”，求。的取值范圍；

(3)當(dāng)2WaW4時(shí)，直接寫出所有正方形/BCD的所有“友好點(diǎn)”組成圖形的面積.

圖1圖2圖3

第2頁(yè)(共17頁(yè))

3.（2023春?東城區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于線段和點(diǎn)尸作出如下定義：

若點(diǎn)N分別是線段尸尸1,%2的中點(diǎn)，連接馬尸2,我們稱線段尸1P2的中點(diǎn)0是點(diǎn)P

關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

（1）已知點(diǎn)M（2,2）,點(diǎn)尸關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)。；

①若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,0）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)是；

②若點(diǎn)￡的坐標(biāo)是（1,-1）,點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（3,-1）.點(diǎn)P是線段M上任意一點(diǎn)，

求線段尸。長(zhǎng)的取值范圍；

（2）點(diǎn)/是直線Z：y=x+l上的動(dòng)點(diǎn).在矩形/BCD中，邊軸，4B=3,BC=2.點(diǎn)、

尸是矩形N38邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于其所在邊的對(duì)邊的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)。.過(guò)點(diǎn)/作

x軸的垂線，垂足為點(diǎn)G.設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)是G,0）.當(dāng)點(diǎn)4沿著直線/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí),

點(diǎn)G沿著x軸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G，（什機(jī)，0）,點(diǎn)0覆蓋的區(qū)域的面積S滿足20WSW30,直接

X

4

3

2

1-

II__________1111A

-2-1012342

-1-

-2-

備用圖

第3頁(yè)（共17頁(yè)）

4.(2023春?朝陽(yáng)區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于點(diǎn)P(x,y)和點(diǎn)。給出如下定

義：若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,即)(?>0),則稱點(diǎn)。為點(diǎn)尸的“〃倍點(diǎn)

(1)①若點(diǎn)尸(3,3),點(diǎn)。為點(diǎn)尸的“工倍點(diǎn)”，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為；

3

②當(dāng)P是直線y=x+l與x軸的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的“〃倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為.

(2)已知點(diǎn)/(2.3),B(6,3),C(8,5),D(4,5)；

①若對(duì)于直線40上任意一點(diǎn)0,在直線y=2x+2上都有點(diǎn)尸，使得點(diǎn)0為點(diǎn)尸的“"

倍點(diǎn)”，求〃的值;

②點(diǎn)P是直線y=fcv+2左(左>0)上任意一點(diǎn)，若在四邊形/BCD的邊上存在點(diǎn)P的“n

倍點(diǎn)”，且〃=鼠直接寫出后的取值范圍.

第4頁(yè)(共17頁(yè))

5.(2023春?豐臺(tái)區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系X0V中，如果點(diǎn)/,C為某個(gè)麥形一組對(duì)角的頂點(diǎn),

且點(diǎn)C在直線y=x上，那么稱該菱形為點(diǎn)/,C的“關(guān)聯(lián)菱形例如，圖1中的四邊

形4BCD為點(diǎn)4,C的“關(guān)聯(lián)菱形”.

已知點(diǎn)1),點(diǎn)a).

(1)當(dāng)a=3時(shí)，

①在點(diǎn)￡(2,1),F(1,3),G(-1,5)中，點(diǎn)能夠成為點(diǎn)尸的“關(guān)

聯(lián)菱形”的頂點(diǎn)；

②當(dāng)點(diǎn)尸的“關(guān)聯(lián)菱形”MVP。的面積為8時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

(2)已知直線y=-2x+b與x軸交于點(diǎn)/,與y軸交于點(diǎn)8,若線段4BW5,且點(diǎn)/是

點(diǎn)、M,P的“關(guān)聯(lián)菱形”的頂點(diǎn)，直接寫出。的取值范圍.

第5頁(yè)(共17頁(yè))

6.(2023春?大興區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)yi),N(x2,

y2)我們將|xi-知+歷稱為點(diǎn)M與點(diǎn)N的"直角距離"，記作辦w.

例如：點(diǎn)M(-2,4)與點(diǎn)N(5,3)的“直角距離"dMN=\-2-5|+|4-3|=8.

(1)已知點(diǎn)尸1(1.3),尸2(-2,-3),尸3(-9，S),在這三個(gè)點(diǎn)中，與原點(diǎn)。的

22

“直角距離”等于4的點(diǎn)是；

(2)若直線》=區(qū)+6上恰好有兩個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)。的“直角距離”等于4,直接寫出b的

4

取值范圍；

(3)已知點(diǎn)/Cm,2),B(切+5,2),若線段N2上有且只有一點(diǎn)C,使得tfco=4,直

接寫出機(jī)的取值范圍.

5

4

3

2

1-

II[II_______

-5-4-3-2-10~12345%

—1■

-2-

-3-

-4-

-5-

第6頁(yè)(共17頁(yè))

7.（2023春?石景山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，如果點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離為0,點(diǎn)

M到點(diǎn)P的距離是a的后倍“為正整數(shù)），那么稱點(diǎn)M為點(diǎn)尸的左倍關(guān)聯(lián)點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為（0,1）時(shí)，

①如果點(diǎn)尸1的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)是；

如果點(diǎn)P1的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)M在x軸上，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)是；

②如果點(diǎn)y）是點(diǎn)尸1的左倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且滿足y=-2,-1WXW4,那么發(fā)的最大

值為;

（2）如果點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為（1,1）,且在函數(shù)y=x+6的圖象上存在P2的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直

接寫出6的取值范圍.

yA

5-

j??ia

-3-2-102345%

-1

第7頁(yè)（共17頁(yè)）

8.(2023春?通州區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)/(0,2),點(diǎn)2(2,0),點(diǎn)C(0,

-2),點(diǎn)。(-2,0),M為四邊形N8CD邊上一點(diǎn).對(duì)于點(diǎn)尸(6,0)給出如下定義：

若點(diǎn)P在x軸下方，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為0,我們稱點(diǎn)

。為點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的“變換點(diǎn)”.

(1)①在圖中分別畫出點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)/和點(diǎn)8直角頂點(diǎn)的“變換點(diǎn)”G、R；

②連結(jié)GR,用等式表示線段GR與N3之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)直線y=fcc+3左(^0)上存在點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的“變換點(diǎn)”，直接寫出左

第8頁(yè)(共17頁(yè))

9.（2023春?延慶區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線/和圖形印給出如下定義：

若直線/與圖形少有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱直線/是圖形少的“獨(dú)立關(guān)聯(lián)直線”.

如圖1,直線/是菱形/BCD的“獨(dú)立關(guān)聯(lián)直線”.

（1）如圖2,點(diǎn)/（1,0）,點(diǎn)。（3,1）是矩形/5CD的頂點(diǎn)，若一次函數(shù)y=fcc-l

廿0）的圖象是這個(gè)矩形的“獨(dú)立關(guān)聯(lián)直線”，求左的值；

（2）點(diǎn)凡"是直線y=x上的兩點(diǎn)，點(diǎn)廠的橫坐標(biāo)為a,點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為a+1；將正方

形EFGH的邊HE,EF,尸G稱為圖形”（其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a）,若直線/：y=-2x+2

是圖形M的“獨(dú)立關(guān)聯(lián)直線”，直接寫出。的取值范圍.

ykyAyA

J__I_

“24x234K

備用圖

第9頁(yè)（共17頁(yè)）

10.(2023春?昌平區(qū)期末)對(duì)于點(diǎn)P和圖形憶若點(diǎn)尸關(guān)于圖形印上任意的一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)

為點(diǎn)。，所有點(diǎn)。組成的圖形為則稱圖形M為點(diǎn)尸關(guān)于圖形少的“對(duì)稱圖形在

平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(-1,-2),3(2,-2),C(2,1),D(-1,1).

(1)①在點(diǎn)￡(-2,-4),F(0,-4),G(3,-3)中，是點(diǎn)0關(guān)于線段的“對(duì)

稱圖形”上的點(diǎn)有.

②畫出點(diǎn)。關(guān)于四邊形/BCD的“對(duì)稱圖形”；

(2)點(diǎn)TG,0)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn).

①若點(diǎn)T關(guān)于四邊形N3CD的“對(duì)稱圖形”與。關(guān)于四邊形N3CA的“對(duì)稱圖形”有

公共點(diǎn)，求才的取值范圍；

②直線y=x7與x軸交于點(diǎn)7,與y軸交于點(diǎn)"，線段7H上存在點(diǎn)K,使得點(diǎn)K是點(diǎn)

7關(guān)于四邊形/BCD的“對(duì)稱圖形”上的點(diǎn)，直接寫出f的取值范圍.

第10頁(yè)(共17頁(yè))

11.(2023春?密云區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于尸、。兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P

到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于點(diǎn)。到兩坐標(biāo)軸的距離之和，則稱P、。兩點(diǎn)為垂距等點(diǎn).如

圖所示尸、。兩點(diǎn)即為垂距等點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-2,3).

①在點(diǎn)4),N(7,-2),7(-5,0)中，為點(diǎn)/的垂距等點(diǎn)的是；

②若點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上.且兩點(diǎn)為垂距等點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

(2)直線/：y=x-4與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D

①當(dāng)￡為線段CO上一點(diǎn)時(shí)，若在直線工=〃上存在點(diǎn)R使得￡、尸兩點(diǎn)為垂距等點(diǎn)，

求n的取值范圍；

②已知正方形N5KL的邊長(zhǎng)為2,(60)是對(duì)角線NK、5Z的交點(diǎn)，且正方形的任何一

條邊均與某條坐標(biāo)軸垂直.當(dāng)￡為直線/上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，若該正方形的邊上存在點(diǎn)G,使

得E,G兩點(diǎn)為垂距等點(diǎn)，直接寫出，的取值范圍.

yA

6-

5-

y八

54-

p4-3-

32-

Q

21-

1

一6一5—4一3一2曰°123456%

-3-2-lf12345%-2

-2-3

-3-4

-5

-6

備用圖

第11頁(yè)(共17頁(yè))

12.（2023春?順義區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若在圖形M上存在

一點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的〃（”為正整數(shù)）倍，則稱點(diǎn)尸為圖形M的““倍點(diǎn)”.

例如，點(diǎn)（1,4）是直線y=-x+5的“4倍點(diǎn)”.

（1）在點(diǎn)P（1,2）,尸2（2,0）,尸3（2,4）,尸4（2，A）中，是直

55

線＞=-2x+4的“2倍點(diǎn)”；

（2）已知點(diǎn)/的坐標(biāo)為（m,0）,點(diǎn)2的坐標(biāo)為（加+2,0）,以線段為矩形的一邊

向上作矩形48CD.

①若機(jī)=1,AD=4,判斷是否存在矩形48co的“3倍點(diǎn)”，若存在，求出矩形4BCD

的“3倍點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若且存在矩形A8CD的“〃倍點(diǎn)”，直接寫出機(jī)的取值范圍.

第12頁(yè)（共17頁(yè)）

13.(2023春?房山區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不同的兩點(diǎn)N(xi,yi),B(x2,J2),

給出如下定義：

若b2-川=,2-刈,則稱點(diǎn)4,8互為“等距點(diǎn)”.例如，點(diǎn)M(3,2),N(2,3)互為

”等距點(diǎn)”.

(1)Pi(1,2),Pi(1,1),po(72,-1)，尸4(1，-1)四個(gè)點(diǎn)中，能與坐標(biāo)原

點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”的

是.

(2)已知/(1,0),

①若點(diǎn)B是點(diǎn)A的等距點(diǎn)，且滿足的面積為1,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

②若以點(diǎn)TG,3)為中心，邊長(zhǎng)為2正方形上存在一點(diǎn)P與點(diǎn)/互為等距點(diǎn)，請(qǐng)直接

寫出/的取值范圍.

第13頁(yè)(共17頁(yè))

14.(2023春?平谷區(qū)期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于矩形0/2C其中/(4,

0),B(4,2),C(0,2),給出如下定義：連接/C,交于點(diǎn)尸，將點(diǎn)尸關(guān)于直線y

=kx+b(左=0)對(duì)稱得到點(diǎn)。，我們稱。為矩形OABC的有緣點(diǎn).

(1)若左=1,6=0請(qǐng)?jiān)冢?中畫出矩形0/3C的有緣點(diǎn)。，并求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；

5

4

-5-4-3-2-1O2345力

-1

234

圖1圖2

(2)已知正方形ODERD(-5,0),￡(-5,5),F(0,5),當(dāng)左=1時(shí)，若正方形

?！?防上存在矩形OABC的有緣點(diǎn)，求6的值.

第14頁(yè)(共17頁(yè))

15.(2023春?懷柔區(qū)期末)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)4,2給出如下定義：

點(diǎn)尸是圖形M上任意一點(diǎn)，如果平面內(nèi)存在一點(diǎn)。，使/,B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形，則稱點(diǎn)。是圖形”的關(guān)于點(diǎn)力,2的“平行連接點(diǎn)”.對(duì)點(diǎn)/(2,0),點(diǎn)2(0,

-1).

(1)如圖1,若圖形M是點(diǎn)尸(0,2),

①Q(mào)(2,3),Q(2,1),0(-2,1)中不是圖形M的關(guān)于點(diǎn)力,3的“平行連接點(diǎn)”

的為;

②若點(diǎn)0是圖形M的關(guān)于點(diǎn)/,B的“平行連接點(diǎn)”，直線尸。：y=kx+b中k

=，b=.

(2)如圖2,若圖形〃■是以點(diǎn)。(-2,2),￡(-3,1),F(-1,0)為頂點(diǎn)的三角

形，點(diǎn)。是圖形M的關(guān)于點(diǎn)力,2的“平行連接點(diǎn)”，直線P。：中b的取值范

4A

O

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乙

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5.1-3.1—|0)夕，L：

1

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乙

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44