新教材高考數學一輪復習第10章計數原理概率隨機變量及其分布第3節(jié)隨機事件的概率學案（含解析）新人教A版

第三節(jié)隨機事件的概率一、教材概念·結論·性質重現1．樣本點和樣本空間隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．2．概率與頻率一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．隨機事件A發(fā)生的頻率與概率的區(qū)別與聯系隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而概率是客觀存在的確定的常數，但在大量隨機試驗中事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近．3．事件的關系與運算名稱條件結論符號表示包含關系事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系B?A且A?B事件A與事件B相等A＝B并事件(或和事件)事件A與事件B至少有一個發(fā)生事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或積事件)事件A與事件B同時發(fā)生事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件事件A與事件B不能同時發(fā)生事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B＝?互為對立事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生事件A與事件B互為對立A∩B＝?，A∪B＝Ω4.概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P(?)＝0.(4)①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．③如果A?B，那么P(A)≤P(B)．④設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．5．事件的相關概念1．隨機事件A，B互斥與對立的區(qū)別與聯系當隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當隨機事件A，B對立時，一定互斥．2．從集合的角度理解互斥事件和對立事件(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對立事件eq\x\to(A)所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的． (×)(2)隨機事件和隨機試驗是一回事． (×)(3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值． (√)(4)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生． (√)(5)若A，B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1.(×)(6)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件． (√)2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是()A．至多有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶D解析：“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．3．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是()A．必然事件B．隨機事件C．不可能事件D．無法確定B解析：拋擲10次硬幣正面向上的次數可能為0～10，都有可能發(fā)生，所以正面向上5次是隨機事件．4．把語文、數學、英語三本書隨機分給甲、乙、丙三位同學，每人一本，記事件A為“甲分得語文書”，事件B為“乙分得數學書”，事件C為“丙分得英語書”，則下列說法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對立事件C解析：事件A，事件B，事件C都是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A，B兩項錯誤；事件A，事件B可能同時發(fā)生，故事件A與事件B不是互斥事件，C項正確；事件B與事件C既不互斥，也不對立，D項錯誤．故選C．5．容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數234542則樣本數據落在區(qū)間[10,40)的頻率為0.45.6．一個口袋內裝有2個白球和3個黑球，則在先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是________．eq\f(2,5)解析：先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率，實質上就是第二次摸到白球的概率．因為袋內裝有2個白球和3個黑球，因此所求概率為eq\f(2,5).考點1隨機事件的關系——基礎性(1)把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”()A．是對立事件 B．是不可能事件C．是互斥但不對立事件 D．不是互斥事件C解析：顯然兩個事件不可能同時發(fā)生，但兩者可能同時不發(fā)生，因為紅牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個事件為互斥但不對立事件．(2)設條件甲：事件A與事件B是對立事件，結論乙：概率滿足P(A)＋P(B)＝1，則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若事件A與事件B是對立事件，則A∪B為必然事件．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投擲一枚硬幣3次，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是對立事件．如事件A：“至少出現一次正面”，事件B：“出現3次正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事件．判斷互斥事件、對立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．1．(2020·菏澤一中高三月考)同時投擲兩枚硬幣一次，互斥而不對立的兩個事件是()A．“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”不能同時發(fā)生，且“至少有1枚正面朝上”不發(fā)生時，“2枚都是反面朝上”一定發(fā)生，故A中的兩個事件是對立事件；在B中，當兩枚硬幣恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上時，“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”能同時發(fā)生，故B中的兩個事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”不能同時發(fā)生，且其中一個不發(fā)生時，另一個有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，故C中的兩個事件是互斥而不對立事件；在D中，當2枚硬幣同時反面朝上時，“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”能同時發(fā)生，故D中的兩個事件不是互斥事件．故選C．2．口袋里裝有6個形狀相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黃球3個．從中取出兩個球，事件A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”．下列判斷中正確的序號為________．①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：顯然A與D是對立事件，①正確；當取出的兩個球為一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確；當取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，③不正確；C∪E為必然事件，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．考點2隨機事件的頻率與概率——基礎性如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數612181212選擇L2的人數0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率；(3)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計相應的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得頻率為所用時間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.因為P(A1)＞P(A2)，所以甲應選擇L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.因為P(B1)＜P(B2)，所以乙應選擇L2.1．概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值．2．隨機事件概率的求法利用概率的統計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率．提醒：概率的定義是求一個事件概率的基本方法．1．在投擲一枚硬幣的試驗中，共投擲了100次，正面朝上的頻數為51次，則正面朝上的頻率為()A．49B．0.5C．0.51D．0.49C解析：由題意，根據事件發(fā)生的頻率的定義可知，“正面朝上”的頻率為eq\f(51,100)＝0.51.2．(2020·濰坊高三模擬)某學校共有教職工120人，對他們進行年齡結構和受教育程度的調查，其結果如下表：本科研究生合計35歲以下40307035～50歲27134050歲以上8210現從該校教職工中任取1人，則下列結論正確的是()A．該校教職工具有本科學歷的概率低于60%B．該校教職工具有研究生學歷的概率超過50%C．該校教職工的年齡在50歲以上的概率超過10%D．該校教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學歷的概率超過10%D解析：對于選項A，該校教職工具有本科學歷的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A錯誤；對于選項B，該校教職工具有研究生學歷的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B錯誤；對于選項C，該校教職工的年齡在50歲以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C錯誤；對于選項D，該校教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學歷的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正確．故選D．考點3互斥事件與對立事件的概率——綜合性經統計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊的人數相應的概率如下：排隊人數012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率．解：記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.求復雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算．(2)間接法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法就會較簡便．提醒：應用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥，然后出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)．間接法體現了“正難則反”的思想方法．1．拋擲一個質地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數點出現”，事件B表示“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f