【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明一、單選題1．已知直線與.若，則（

）A． B．1 C． D．22．設(shè)直線的方向向量，平面的法向量，若，則（

）A． B．0 C．5 D．43．設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為（

）A． B． C． D．4．在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，，，，E為棱的中點(diǎn)，則與平面的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且與直線平行，若點(diǎn)和到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或6．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C．23 D．7．已知圓，直線的方程為，若在直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)，使得為直角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．以下幾個(gè)命題中，其中真命題的序號(hào)為（

）.①雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；②在平面內(nèi)，到定點(diǎn)2,1的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；③設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線；④過(guò)定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.A．① B．①② C．①④ D．③④二、多選題9．已知直線和圓，則（

）A．存在使得直線與直線垂直B．直線恒過(guò)定點(diǎn)C．直線與圓相切D．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為10．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．空間向量，若，則B．對(duì)空間中四點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使，則四點(diǎn)共面C．已知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底D．任意向量滿足11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與在第一象限的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線過(guò)點(diǎn) B．直線的傾斜角為C． D．是等邊三角形第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題12．若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)m＝．13．已知空間四邊形各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，分別為的中點(diǎn)，向量與夾角的余弦值.14．“若點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)P處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一.已知橢圓，點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，在點(diǎn)P處的切線為直線l，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則的最小值為.四、解答題15．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊上高線所在直線的方程．16．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知直線l：和圓C：．(1)求證：直線l恒過(guò)一定點(diǎn)M；(2)試求當(dāng)m為何值時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短；(3)在（2）的前提下，直線l'是過(guò)點(diǎn)且與直線l平行的直線，求圓心在直線上，且與圓C相外切的動(dòng)圓中半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．如圖，，，垂足分別為，，異面直線，所成角為，，點(diǎn)，點(diǎn)分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)線段的中點(diǎn)為.

(1)求異面直線與所成的角；(2)求的取值范圍；(3)求四面體的體積的最大值.19．已知圓與雙曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，過(guò)圓上一點(diǎn)的切線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．當(dāng)與重合時(shí)，．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線的斜率為，求；(3)當(dāng)時(shí)，求的最小值．關(guān)注公眾號(hào)《品數(shù)學(xué)》參考答案：題號(hào)12345678910答案BACBCBDAADABC題號(hào)11答案ABD1．B【分析】根據(jù)直線平行列方程，從而求得的值.【解析】由于，所以，此時(shí)兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B2．A【分析】根據(jù)線面垂直，則線與法向量平行，利用坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【解析】因?yàn)?，所以，所以，解得，故選:A.3．C【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)2,0，再由離心率可得，可求得橢圓方程.【解析】根據(jù)題意易知拋物線的焦點(diǎn)為2,0，可得；橢圓離心率為，可得，即；橢圓可化為，因此可得；因此，所以橢圓的方程為.故選：C4．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得與平面的夾角的正弦值，再轉(zhuǎn)化為余弦值.【解析】底面ABCD為等腰梯形，，，，如圖，在底面ABCD中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，兩式相減可得，令，解得，，則平面的一個(gè)法向量為，，則到平面的夾角正弦值，.故選：B5．C【分析】根據(jù)直線過(guò)的點(diǎn)以及平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算可得結(jié)果.【解析】若直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且與直線平行可設(shè)直線的方程為；點(diǎn)和到直線的距離相等可知，解得或.故選：C6．B【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對(duì)稱性可得，，結(jié)合橢圓的定義和勾股定理求得答案.【解析】如圖，由，，所以，，所以是直角三角形，又BF1+BF2，所以，即，即，所以.故選：B.

7．D【分析】由圓的對(duì)稱性及切線的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解.【解析】連接，如圖，

則由圓的對(duì)稱性及切線的性質(zhì)，可得四邊形為正方形，又，所以點(diǎn)到直線的距離必須小于或等于，即，所以，故選：D.8．A【分析】根據(jù)圓錐曲線的概念、基本性質(zhì)，圓錐曲線中的軌跡問(wèn)題，逐一判斷即可.【解析】①雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故①正確；②因?yàn)槎c(diǎn)在直線上，所以到定點(diǎn)2,1的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線，故②錯(cuò)誤；③若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，則要小于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離，當(dāng)大于或等于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡不是雙曲線，故③錯(cuò)誤；④由知是線段的中點(diǎn)，所以，所以在以為直徑的圓上，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，故④錯(cuò)誤.故選：A.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題主要考查了圓錐曲線的概念、性質(zhì)及軌跡問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確掌握?qǐng)A錐曲線的概念，及對(duì)基本知識(shí)的理解與應(yīng)用.9．AD【分析】對(duì)于A：根據(jù)直線方程可得斜率，結(jié)合垂直關(guān)系分析判斷；對(duì)于B：將直線方程化為，即可得定點(diǎn)；對(duì)于C：判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【解析】由題意可知：圓：的圓心為O0,0，半徑，對(duì)A：因?yàn)橹本€：的斜率為，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此時(shí)直線與直線垂直，滿足題意，A正確；對(duì)B：由可得，，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)槎c(diǎn)到圓心的距離為，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓O相交，C錯(cuò)誤；對(duì)D：直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的最大距離為，此時(shí)直線被圓O截得的弦長(zhǎng)最短為，D正確；故選：AD10．ABC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)向量數(shù)量積公式得到；B選項(xiàng)，由題目條件推出，從而四點(diǎn)共面；C選項(xiàng)，設(shè)，得到方程，方程無(wú)解，C正確；D選項(xiàng)，舉出反例即可.【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，空間向量，若⊥，，夾角為，則，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，即，所以，故，則四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，是空間的一個(gè)基底，則不存在使得，設(shè)，即，即，此等式不成立，故不共面，則也是空間的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，不妨設(shè)，則，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．ABD【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，代入驗(yàn)證可判斷A；由直線的斜率求出傾斜角可判斷B；由與直線的傾斜角的關(guān)系可判斷C；由拋物線定義可知，進(jìn)而判斷的形狀，從而判斷D.【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，而，所以直線過(guò)點(diǎn)，故A正確；設(shè)直線的傾斜角，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以，即直線的傾斜角為，故B正確；因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義可知，，又，所以是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.

12．【分析】根據(jù)兩圓外切列方程，從而求得的值.【解析】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.由于兩圓外切，所以，由于，故解得.故答案為：13．【分析】根據(jù)向量的四則運(yùn)算，用表示，，再根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式和運(yùn)算律求解即可.【解析】如圖，設(shè)，，，，由題意易知，則，因?yàn)?，，，所以，所?所以向量與夾角的余弦值為，故答案為：14．【分析】利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形三線合一的推論與中位線定理分析得點(diǎn)的軌跡為圓，再利用點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最值求法即可得解.【解析】因?yàn)闄E圓，所以，，即，如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由題意可知，又因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，且，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，故點(diǎn)的軌跡為以為原點(diǎn)，為半徑的圓，圓的方程為，易知點(diǎn)到圓心的距離為，所以的最小值為.故答案為：.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題解決的關(guān)鍵是，利用橢圓的性質(zhì)分析得點(diǎn)的軌跡是圓，從而得解.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程即可求出；（2）先求出的斜率，即可得到高線所在直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可解出．【解析】（1）邊所在直線的方程為：,即．（2）∵的斜率∴邊上的高所在直線的斜率∴邊上的高線所在直線的方程為：即．16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明來(lái)證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)求得直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）由于為棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）依題意可知平面，而平面，所以，，所以.而，由此可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由直線l的方程變形為，聯(lián)立聯(lián)立即可求得直線恒過(guò)的定點(diǎn)；（2）要使直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，則l⊥CM，化圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，得到，再由兩直線垂直與斜率的關(guān)系列式求解m值；（3）由（2）得，直線：，畫(huà)出圖形，可知所求圓的圓心，聯(lián)立直線方程求得圓心坐標(biāo)，再求出所求圓的半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求．【解析】（1）由直線l：，得，聯(lián)立解得∴直線l恒過(guò)一定點(diǎn)．（2）要使直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，則l⊥CM，化圓C：為，可得，則，∴，解得．（3）由（2）得，直線：，即．

如圖，過(guò)C與直線垂直的直線方程為，即．聯(lián)立解得而C到直線的距離，∴所求圓的半徑為．故圓心在直線上，且與圓C相外切的動(dòng)圓中半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．(1)(2)(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，可得是異面直線與所成的角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可；（2）思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而可得的取值范圍；思路二：由空間向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而可得范圍.（3）先求得，思路一：設(shè)，，根據(jù)基本不等式求得，范圍，進(jìn)而可得最大值.思路二：直接根據(jù)結(jié)合基本不等式求解即可.【解析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，

則有是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.因?yàn)?，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，，所以，所以，，所以異面直線與所成的角為.（2）如圖，過(guò)的中點(diǎn)分別作，的平行線，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的外角平分線、內(nèi)角平分線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)并且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意可知，，設(shè),，則，，從而，且.所以.思路一：因?yàn)椋?，，所以，，所以，?所以點(diǎn)的軌跡是橢圓（長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為2），其軌跡方程為.點(diǎn)，所以.思路二：設(shè)在，上的投影分別為，則且，則、分別為平行四邊形的兩條對(duì)角線，則為中點(diǎn).故，可得，因?yàn)椋瑒t，所以.（3）由題意異面直線，所成角為，則到平面的距離，故，

思路一：不妨設(shè)，，則，故，從而，此時(shí).思路二：因?yàn)椋?，從而，此時(shí)，.19．(1)(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)條件確定的值及雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）先根據(jù)直線與圓線切和與直線垂直，求出直線的方程，代入雙曲線方程，可求，利用求弦長(zhǎng).（3）求出弦長(zhǎng)AB和點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合直線斜率的取值范圍確定的最小值.【解析】（1）由圓與雙曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)可知：，又根據(jù)題意，雙曲線過(guò)點(diǎn)，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）如圖：因?yàn)橹本€的斜率為，且直線與直線