河北省邢臺市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高二期末考試數(shù)學(xué)說明：1．本試卷共4頁，滿分150分.2．請將所有答案填寫在答題卡上，答在試卷上無效.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在長方體中，下列向量與是相等向量的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合相等向量的定義進行判斷即可.【解析】如圖所示的長方體中，A：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確；B：向量與大小相等，方向相同，所以這兩個向量相等，因此本選項正確；C：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確；D：顯然向量與向量方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確，故選：B2.如圖，在中，點分別是棱的中點，則化簡的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由中點的向量公式與向量的減法運算即可得到答案.【解析】如圖所示，連接，因為分別是棱的中點，所以.故選：C.3.過兩點的直線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由傾斜角與斜率及兩點坐標(biāo)的關(guān)系可求.【解析】設(shè)直線斜率為，則，故選：D.4.已知，直線l過且與線段相交，則直線l斜率k的取值范圍是（）A.或 B.C. D.以上都不對【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點斜率公式，即可求解.【解析】由題意得，，若直線l過點且與線段相交，則或,故選：A.5.直線與直線平行，則的值為（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】由兩條直線平行可得，求出的值，再檢驗.【解析】因為直線與直線平行，則，解得或，當(dāng)時，兩直線方程都是，則兩直線重合，不滿足題意；當(dāng)時，兩直線方程分別為：，，滿足題意；綜上，.故選：B6.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，得到圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，從而得到對稱的圓的方程.【解析】由題意得圓的圓心為，半徑為，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，故，解得，故關(guān)于直線對稱點為，所以所求的圓的方程為．故選：C7.已知為等差數(shù)列的前項和，，則（）A.240 B.60 C.180 D.120【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項和公式求解即可.【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D．8.已知雙曲線的左，右焦點分別是，，點在雙曲線上，且，則雙曲線的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義求解即可.【解析】由題意可知，，解得，，所以雙曲線的方程是．故選：D．二、選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理進行求解判斷即可．【解析】對于A，因為，故三個向量共面，故A符合題意；對于B，假設(shè)，，共面，則，使得，故有，方程組無解，故假設(shè)不成立，即，，不共面；故B不符合題意；對于C，，故三個向量共面，故C符合題意；對于D，，故三個向量共面，故D題意符合．故選：ACD．10.已知圓與直線，下列選項正確的是（）A.直線與圓必相交B.直線與圓不一定相交C.直線與圓相交且所截最短弦長為D.直線與圓可以相切【答案】AC【解析】【分析】求出直線經(jīng)過定點，根據(jù)定點與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合幾何知識可知當(dāng)直線與過定點和圓心的直線垂直時，弦長有最小值，由此可求出答案.【解析】解：直線過定點，又，所以點在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，所以A正確，B，D錯誤，因為圓心與點間的距離為，圓半徑為2.所以最短弦長為，故C正確，故選：AC.11.已知點，，直線：，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，點，到直線距離相等B.當(dāng)時，直線的斜率不存在C.當(dāng)時，直線在軸上的截距為D.當(dāng)時，直線與直線平行【答案】CD【解析】【分析】利用點線距離公式判斷A，由直線方程得斜率判斷B，取，則，從而判斷C，計算得判斷D，由此得解.【解析】對于A：當(dāng)時，直線為，此時，，顯然不滿足題意，故A錯誤；對于B：時，直線為，直線斜率為，故B錯誤；對于C：時，直線為，取，則，故C正確；對于D：時，直線為，，不過A點，而，，所以直線與直線平行，故D正確；故選：CD.12.已知點是拋物線上一點，是拋物線的焦點，直線與拋物線相交于不同于的點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可判斷A選項；利用拋物線的焦半徑公式可判斷B選項；將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的焦點弦長公式可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷D選項.【解析】將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可得，可得，A對；所以，拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，故，B對；易知點，直線斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點，所以，，C對；，故、不垂直，D錯.故選：ABC.三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.過點且與橢圓有相同焦點的橢圓的長軸長為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的焦點坐標(biāo)，再利用橢圓的定義求解即得.【解析】橢圓的半焦距，其焦點坐標(biāo)為，由橢圓的定義得所求長軸長.故答案：14.拋物線的準(zhǔn)線方程為______.【答案】【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解.【解析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為.故答案為：.15.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，與已知的等式相減可得，從而可求得結(jié)果.【解析】因為，所以，所以，故.故答案為：416.已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】兩個向量的夾角為鈍角等價于且與不共線.【解析】由；由.綜上：且.故答案為：.四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線：，直線：（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）（2）利用直線平行、垂直的判定列方程求參數(shù)值，對于平行情況需要驗證所得參數(shù)是否符合要求.【小問1解析】由，則，即，所以或，當(dāng)，，，兩線重合，不合題設(shè)；當(dāng)，，，符合題設(shè)；綜上，小問2解析】由，則，即，所以，即或.18.已知圓過點和．（1）求圓的方程；（2）求與垂直且被圓截得弦長等于的直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）假設(shè)圓的一般方程，代入即可得到圓的方程.（2）先求出直線的方程，進而設(shè)出與垂直的直線的方程，求出圓心到直線的距離和線段的長相等求解即可得到直線的方程.【小問1解析】設(shè)圓的一般方程為：，分別代入點和.，解得,故圓的方程為：.【小問2解析】因為、所以直線的方程為：，故設(shè)直線的方程為：.由題意可知，圓心，被圓截得弦長等于則可知到直線與直線的距離相等.故有，解得或所以直線的方程：或19.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，半焦距為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點，且斜率為1的直線交橢圓于兩點，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題列出a、b、c的方程，解之即可；（2）將直線與橢圓聯(lián)立，韋達定理，然后利用弦長公式求底，利用點到直線的距離公式求高，即可求出三角形的面積．【小問1解析】由題意，設(shè)所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因為焦距為，，又離心率，，；再由，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2解析】由（1）知：左焦點為，直線的方程為：則，設(shè)，則，由弦長公式，到直線的距離，.20.已知數(shù)列滿足：，數(shù)列為等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求和：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，，即可求出等比數(shù)列的通項公式，從而求出的通項公式；（2）利用分組求和法計算可得.【小問1解析】因為，，數(shù)列為等比數(shù)列，所以，，則，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則.【小問2解析】.21.如圖，在三棱臺中，，平面，，，，且D為中點.求證：平面；【答案】證明見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論.【解析】由題意，以點為坐標(biāo)原點，，,分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，則，故，，即，又平面，故平面.22.已知拋物線E：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，為坐標(biāo)原點.（1）求面積的最小值；（2）設(shè)直線交拋物線的準(zhǔn)線于點，求證：平行于軸.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式求得面積的表達式，進而求得面積的最小值.（2）通過求的橫坐標(biāo)來求得正確答案.【小問1解析】由得，，∴，依題意得的斜率存在，設(shè)直線的方程，，，由得：，∴