江西省九江市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（北師大版）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線y2=x的準(zhǔn)線方程為(

)A.x=14 B.x=?14 C.2.已知隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，若P(X<a)=0.32.則P(a≤X<4?a)=A.0.32 B.0.68 C.0.36 D.0.643.現(xiàn)有6名北京冬奧會(huì)志愿者，其中4名女志愿者，2名男志愿者.隨機(jī)從中一次抽出2名志愿者參與花樣滑冰項(xiàng)目的志愿服務(wù).則抽出的2名都是女志愿者的概率是(

)A.15 B.25 C.354.若平面α外的直線l的方向向量為a=(1,0,?2)，平面α的法向量為m=(8,?1,4)，則(

)A.l⊥α B.1//α C.a//m D.l與5.已知雙曲線x2?y2b2=1(b>0)的離心率是3，F(xiàn)1A.8x?y?24=0 B.22x+y?62=06.設(shè)(x?2)8+441x5A.7 B.?6 C.889 D.?77.對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有OP=xOA+yOB+zOC，則x+y+z=1是P，A，BA.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件8.已知橢圓x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F和F′，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方.若線段PF的中點(diǎn)Q在以原點(diǎn)O為圓心，A.152 B.23 C.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)α∈R，對(duì)于直線l：xsinα+y+2=0，下列說(shuō)法中正確的是(

)A.l的斜率為sinα B.l在y軸上的截距為?2

C.l不可能平行于x軸 D.l與直線x?ysinα?1=0垂直10.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1A.直線AB與平面ACD1所成角的余弦值為13

B.直線AD與平面ACD1所成角的正弦值為23

C.點(diǎn)A1到平面ACD1的距離為11.一般地，我們把離心率相等的兩個(gè)橢圓稱為相似橢圓.已知橢圓x26+y24A.橢圓x26+y24=1與橢圓x212+y28=1相似

B.12.由直線l：x?y+1=0上的一點(diǎn)P向圓C：x2?6x+y2+8=0引兩條切線PA，PB，A，A.線段PA長(zhǎng)的最小值為7

B.四邊形PACB面積的最小值為72

C.cos∠APB的最大值是34

D.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.如圖所示，在四面體O?ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則OE=______(用a，b，

14.從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有______條(用數(shù)值表示)15.若圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B，且|AB|=2.則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．16.過(guò)點(diǎn)A(0,1)作斜率為k的直線l交雙曲線x2?y22=1于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

直線2x?y?3=0與圓C交于E、F兩點(diǎn)，E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，且x1，x2是方程5x2?4x?5=018.(本小題12分)

如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA⊥底面ABCD，SA=2，設(shè)G是△ABC的重心，E是SD上的一點(diǎn)，且SE=3ED．

(1)試用基底{AB,AD,AS}表示向量GE；19.(本小題12分)

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)M(0,4)，且在x軸上截得的弦AB的長(zhǎng)為8．

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(2)過(guò)軌跡C上一個(gè)定點(diǎn)P(m,n)(m≠0)引它的兩條弦PS，PT，若直線PS，PT的斜率存在，且直線ST的斜率為?m4.證明：直線PS，PT20.(本小題12分)

如圖1，在△ABV中，AC=BC=CV，AC⊥VB于C.現(xiàn)將△ABV沿AC折疊，使V?AC?B為直二面角(如圖2)，D是棱AB的中點(diǎn)，連接CD、VB、VD．

(1)證明：平面VAB⊥平面VCD；

(2)若AC=1，且棱AB上有一點(diǎn)E滿足BE=14BA，求二面角C?VE?A21.(本小題12分)

在過(guò)去三年防疫攻堅(jiān)戰(zhàn)中，我國(guó)的中醫(yī)中藥起到了舉世矚目的作用.某公司收到國(guó)家藥品監(jiān)督管理局簽發(fā)的散寒化濕顆?！端幤纷?cè)證書(shū)》，散寒化濕顆粒是依據(jù)第六版至第九版《新型冠狀病毒肺炎診療方案》中的“寒濕疫方”研制的中藥新藥.初期為試驗(yàn)這種新藥對(duì)新冠病毒的有效率，把該藥分發(fā)給患有相關(guān)疾病的志愿者服用．

(1)若10位志愿者中恰有6人服藥后有效，從這10位患者中選取3人，以ξ表示選取的人中服藥后有效的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若有3組志愿者參加試驗(yàn)，甲，乙，丙組志愿者人數(shù)分別占總數(shù)的40%，32%，28%，服藥后，甲組的有效率為64%，乙組的有效率為75%，丙組的有效率為80%，從中任意選取一人，發(fā)現(xiàn)新藥對(duì)其有效，計(jì)算他來(lái)自乙組的概率．22.(本小題12分)

設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x2t+y2=1(t>1)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且PF2⊥F1F2,|PF1||PF2|=3．答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】拋物線y2=x的焦點(diǎn)在x軸上，且開(kāi)口向右，2p=1，由此可得拋物線y2【解答】

解：拋物線y2=x的焦點(diǎn)在x軸上，且開(kāi)口向右，2p=1，

∴p2=14，

∴拋物線y2.【答案】C

【解析】解：∵隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，

∴其圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

∵P(X<a)=0.32，

∴P(a≤X<2)=0.5?0.32=0.18，

∴P(a≤X<4?a)=2P(a≤X<2)=2×0.18=0.36．

故選：C．

3.【答案】B

【解析】解：現(xiàn)有6名北京冬奧會(huì)志愿者，其中4名女志愿者，2名男志愿者，

隨機(jī)從中一次抽出2名志愿者參與花樣滑冰項(xiàng)目的志愿服務(wù)，

基本事件總數(shù)n=C62=15，

抽出的2名都是女志愿者包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C42=6，

則抽出的2名都是女志愿者的概率是P=mn=615=25．4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，直線l的方向向量為a=(1,0,?2)，平面α的法向量為m=(8,?1,4)，

易得a?m=1×8?2×4=0，

又由直線l在平面α外，則有l(wèi)/?/α．

故選：B．

5.【答案】C

【解析】解：由3=ca=1+b2得，b2=8.雙曲線x2?y28=1的右焦點(diǎn)是F2(3,0)，

經(jīng)過(guò)第一、三象限的漸近線方程是y=26.【答案】D

【解析】解：根據(jù)(x?2)8二項(xiàng)式展開(kāi)式：Tr+1=C8r?(?2)r?x8?r，(r=0,1,…,8)；

故當(dāng)r=3時(shí)，系數(shù)為?7.【答案】B

【解析】解：若x+y+z=1，則OP=(1?y?z)OA+yOB+zOC，即AP=yAB+zAC，

由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；

反之，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，當(dāng)O與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)(比如A點(diǎn))重合時(shí)，

OA=0，x可取任意值，不一定有x+y+z=1，

則x+y+z=1是P，A，B，C四點(diǎn)共面的充分不必要條件．

故選：B．

從共面向量定理出發(fā)，判斷對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)P滿足OP=xOA+yOB+zOC，且8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)闄E圓方程為x29+y25=1，

所以a=3，b=5，c=a2?b2=2，

又線段PF的中點(diǎn)Q在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，

所以F′Q垂直平分線段PF，所以|FF′|=|PF′|=4，

又因?yàn)閨PF|+|PF′|=6，所以|PF|=2，|QF|=1，

在直角三角形FQF′中，|QF′|=16?1=159.【答案】BD

【解析】解：直線l：xsinα+y+2=0，

則l的斜率為?sinα，故A錯(cuò)誤；

令x=0，解得y=?2，

故l在y軸上的截距為?2，故B正確；

當(dāng)sinα=0時(shí)，直線l：y=?2，平行于x軸，故C錯(cuò)誤；

直線x?ysinα?1=0的斜率為1sinα，

直線l的斜率為?sinα，

1sinα?(?sinα)=?1，故D正確．

故選：BD10.【答案】BCD

【解析】解：在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，

AC=(?1,2,0)，AD1=(?1,0,1)，

設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z)，

則AC?n=?x+2y=0AD1?n=?x+z=0，取x=2，得n=(2,1,2)，

對(duì)于A，AB=(0,2,0)，

設(shè)直線AB與平面ACD1所成角為θ，

∴直線AB與平面ACD1所成角的正弦值為：

sinθ=|AB?n||AB|?|n|=22×3=13，

∴直線AB與平面ACD1所成角的余弦值為1?(13)2=223，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，AD=(?1,0,0)，11.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意可得6?46=3?m3(0<m<3)或6?46=m?3m(m>3)，

解得m=2或m=92，∴B，C選項(xiàng)正確；

∵橢圓x26+y24=1與橢圓x212+y28=1的離心率分別為13，2212.【答案】AD

【解析】解：將圓C：x2?6x+y2+8=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x?3)2+y2=1，其圓心為(3,0)，半徑為1．

對(duì)于A，|PA|=|CP|2?1,|CP|min=|3?0+1|2=22，所以線段PA長(zhǎng)的最小值為7，故A對(duì)；

對(duì)于B，四邊形PACB面積的最小值為2×12×7×1=7，故B錯(cuò)；

對(duì)于13.【答案】12【解析】解：∵E為AD的中點(diǎn)，

∴OE=12OA+12OD，

又∵D為BC中點(diǎn)，

∴OD=114.【答案】30

【解析】解：若直線方程Ax+By+C=0經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則C=0，那么A，B任意取兩個(gè)即可，有A62=30，

故答案為：30．

先根據(jù)條件知道C=015.【答案】(x?1)【解析】解：圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，|AB|=2，

則圓心橫坐標(biāo)為1，圓的半徑r=12+(22)2=2，即圓心縱坐標(biāo)為2，

故圓16.【答案】3【解析】解：設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(12,y0)，則x1+x2=2×12=1，

因?yàn)镻1，P2兩點(diǎn)在雙曲線上，

所以x12?y122=1x22?y222=1，兩式相減得，k=y1?y2x117.【答案】解：(1)因?yàn)橹本€2x?y?3=0的斜率為2，x1+x2=45，x1x2=?1，

于是由弦長(zhǎng)公式得，|EF|=1+4(x1+x2)2?4x1x2=21455，即弦EF的長(zhǎng)為【解析】(1)利用弦長(zhǎng)公式即可得；(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式可得半徑，從而確定圓的方程．

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】解：(1)連接AE，延長(zhǎng)AG，交BC于F，

由G為△ABC的重心，得AF是BC邊上的中線，且AG=23AF，

結(jié)合AF=12(AB+AC)，得AG=13(AB+AC)=13(AB+AB+AD)=23AB+13AD，

因?yàn)镾E=3ED，所以AE?AS=3(AD?AE)【解析】(1)連接AE，延長(zhǎng)AG，交BC于F，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)與該四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，算出用基底{AB,AD,AS}表示向量GE的式子；

(2)根據(jù)題意，AB、AD、19.【答案】解：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心D的坐標(biāo)為(x,y)，則(x?0)2+(y?4)2=42+y2，

整理得，x2=8y，故所求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為x2=8y．

(2)證明：設(shè)S(x1,y1)，T(x2,y2)，則有m【解析】(1)設(shè)動(dòng)圓圓心D的坐標(biāo)為(x,y)，由題意可得(x?0)2+(y?4)2=42+y20.【答案】(1)證明：在圖2中，∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，

∴CD⊥AB，又V?AC?B為直二面角，VC⊥AC，

∴VC⊥底面ABC，而AB?平面ABC，

∴VC⊥AB，且VC∩CD=C，CD?平面VCD.VC?平面VCD，

因此AB⊥平面VCD，又AB?平面VAB，

∴平面VAB⊥平面VCD；

(2)解：以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，V(0,0,1)，CV=(0,0,1)，

因BE=14BA，所以E(14,34,0)，那么CE=(14,34,0)，

設(shè)平面VCE的法向量t=(m,n,p)，

由CV?t=0且CE?t=0，得p=0且14m+34n=0，取n=1，則t=(?3,1,0)，

設(shè)平面【解析】(1)證明CD⊥AB，VC⊥AC，通過(guò)VC⊥底面ABC，證明VC⊥AB，然后推出AB⊥平面VCD，即可證明平面VAB⊥平面VCD；

(2)以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面VCE的法向量，平面VAB的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角C?VE?A的余弦值即可求出正弦值．

本題考查直線與平面