方法技巧專題18 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（解析版）

方法技巧專題18三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析版一、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)框架二、根據(jù)解析式研究三角函數(shù)性質(zhì)【一】化為同角同函型研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個(gè)角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡(jiǎn)稱：同角同函）研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個(gè)角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡(jiǎn)稱：同角同函）或，常見(jiàn)方法有：（1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同函；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數(shù)化成同函.1.例題【例1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】整理函數(shù)的解析式有：結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，求解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知函數(shù).①的最大值為_(kāi)_______；②設(shè)當(dāng)時(shí)，取得最大值，則______.【解析】①，(其中，)當(dāng)，即時(shí)，取最大值②由題意可知【練習(xí)2】已知函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；【解析】∴函數(shù)的最小正周期為.由得∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為【練習(xí)3】已知，求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】由與得．所以的最小正周期是．由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，解得，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是．【二】化為二次函數(shù)型研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）時(shí)，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）時(shí)，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述或的形式，有時(shí)會(huì)化簡(jiǎn)為二次函數(shù)型：或，這時(shí)需要借助二次函數(shù)知識(shí)求解，但要注意的取值范圍.若將已給函數(shù)化簡(jiǎn)為更高次的函數(shù)，如，則換元后可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解.如：解析式中同時(shí)含有和，令，由關(guān)系式得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.1.例題【例1】函數(shù)的最大值為_(kāi)___________．【解析】∵f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))eq\s\up18(2)＋eq\f(11,2)，又sinx∈[－1,1]，∴當(dāng)sinx＝1時(shí)，f(x)取得最大值5.【例2】函數(shù)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開(kāi)______【解析】設(shè)t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝eq\f(t2－1,2)(－eq\r(2)≤t≤eq\r(2))，y＝t＋eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，當(dāng)t＝eq\r(2)時(shí)，y取最大值為eq\r(2)＋eq\f(1,2)，當(dāng)t＝－1時(shí)，y取最小值為－1.所以函數(shù)值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)＋\r(2))).2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知函數(shù)，則的最小值是_____________．【解析】，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，從而得到函數(shù)的遞減區(qū)間為，函數(shù)的遞增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，所以，故答案是.【答案】【練習(xí)2】求函數(shù)的最大值與最小值.【解析】令，所以，，【練習(xí)3】函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域?yàn)開(kāi)_______．【解析】設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－1≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1.∴函數(shù)的值域?yàn)閇－1,1]．三、根據(jù)圖像和性質(zhì)確定解析式【一】圖像型對(duì)形如對(duì)形如中參數(shù)的確定，應(yīng)準(zhǔn)確識(shí)別和利用題干中函數(shù)圖像的信息（如周期、振幅、最值、特征點(diǎn)等），列出方程（組）或不等式（組），常規(guī)方法有：由振幅或最值，可確定;由周期的值或取值范圍，可確定的值或取值范圍；由特征點(diǎn)，可列出三角方程（組），可確定.（有時(shí)也需特征點(diǎn)來(lái)確定）1.例題【例1】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中分別是函數(shù)的圖象的一個(gè)最低點(diǎn)和一個(gè)最高點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解題思路第一步：觀察所給圖像及其圖像特征：振幅，周期，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等。由題意，A=1,,\T=12，故，這時(shí)第二步：利用特殊點(diǎn)代入函數(shù)解析式計(jì)算出中的值。在圖像上，故,即，解的。第三步：從圖像的升降情況找準(zhǔn)第一零點(diǎn)的位置，并進(jìn)一步確定參數(shù)（一般情況，取最高最低點(diǎn)，方便判斷）?！?，\，第四步，得出最終結(jié)論，所有,故選A【例2】函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．在上是增函數(shù) B．在上是增函數(shù)C．在上是増函數(shù) D．在上是增函數(shù)【答案】A【例3】已知函數(shù)，的部分圖像如圖所示，已知點(diǎn)，，若將它的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，所以，移動(dòng)后得，所以對(duì)稱軸滿足，解得，所以滿足條件的一條對(duì)稱軸方程為。故選A。2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】函數(shù)(其中，)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)的圖象（）可得的圖象A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位B．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位【答案】D【練習(xí)2】如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的誰(shuí)深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin(x＋Φ)＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為_(kāi)___________.【答案】8【二】性質(zhì)型對(duì)形如對(duì)形如中參數(shù)的確定，應(yīng)充分挖掘題干中所給的函數(shù)性質(zhì)（如周期、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等），列出方程（組）或不等式（組）.特別地，正弦型函數(shù)與最小正周期相關(guān)的幾種表述：兩個(gè)相鄰最低（高）點(diǎn)的距離，即為;兩個(gè)相鄰對(duì)稱軸的距離，即為;兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離，即為;相鄰對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的距離，即為;1.例題【例1】已知函數(shù)為的零點(diǎn),為圖像的對(duì)稱軸,且在單調(diào),則的最大值為()（A）11

（B）9

（C）7

（D）5【例2】設(shè)函數(shù)，，若在區(qū)間上單調(diào)，且，則的最小正周期為（）A．B．2πC．4πD．π【解析】【例3】設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè)函數(shù)f（x）=，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為_(kāi)_________．【解析】因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，ω取最小值為.【練習(xí)2】若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的一個(gè)值為（）A． B． C． D．四、圖像變換問(wèn)題由由變換成的兩種變換方式：（1）；注：兩種變換方法，相位或周期變換都只針對(duì)自變量.1.例題【例1】已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是（）A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線【例2】設(shè)函數(shù)，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.從而.根據(jù)得到，進(jìn)一步求最小值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以即時(shí)，取得最小值.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】函數(shù)（，）的最小正周期是，若其圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】由于函數(shù)最小正周期為,所以,即.向左平移得到為奇函數(shù),故,所以.,故為函數(shù)的對(duì)稱軸,選B.【練習(xí)2】已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，若函數(shù)的圖象在，兩處的切線都與x軸平行，則的最小值為（）A．B．C．D．【解析】根據(jù)變換得到：，圖象如圖：由圖可知，取到的最小可能為，因?yàn)椋?，所以最小值?，故選：B五、三角函數(shù)值域（最值）求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過(guò)三角變換化為下列基本類型：求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過(guò)三角變換化為下列基本類型：，令，則；，引入輔助角，化為；，令，則；，令，則，所以；（5），根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值.1.例題【例1】已知函數(shù)，則在上的最大值與最小值之差為．【答案】第三步，利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的有界性來(lái)確定三角函數(shù)的最值：當(dāng)時(shí)，，故，即函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為．【?】函數(shù)的最小值為．【解析】第一步，先將所給的函數(shù)式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的式子，通常采取換元法將其變?yōu)槎囗?xiàng)式函數(shù)：令，所以第二步，利用函數(shù)單調(diào)性求解三角函數(shù)的最值：所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)第三步，得出結(jié)論：所以，故填．【例3】函數(shù)的最小值是__________．【答案】【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈，化簡(jiǎn)f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1設(shè)sinx+cosx=t，則t=sin（x）x+，那么函數(shù)化簡(jiǎn)為：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈∴x+∈[0，]，所以：．∵函數(shù)g（t）=t2+t﹣1．開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t=－，∴是單調(diào)遞增．當(dāng)t=0時(shí)，g（t）取得最小值為-1．【例4】求函數(shù)的值域【解析】函數(shù)的值域可看作：求過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線的斜率的最大、最小值設(shè)切線，即原點(diǎn)到切線的距離：，解得：所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椋?.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知的定義域?yàn)閇].求的最小值.【解析】【練習(xí)2】函數(shù)（）的最大值是?！窘馕觥俊揪毩?xí)3】求函數(shù)的值域【解析】 六、平面向量為載體的三角函數(shù)綜合問(wèn)題三角函數(shù)與向量的綜合問(wèn)題中，向量只是工具，問(wèn)題的本質(zhì)還是三角函數(shù)問(wèn)題.解決本類問(wèn)題的常規(guī)方法是：三角函數(shù)與向量的綜合問(wèn)題中，向量只是工具，問(wèn)題的本質(zhì)還是三角函數(shù)問(wèn)題.解決本類問(wèn)題的常規(guī)方法是：將向量的平行、垂直、數(shù)量積等通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，然后進(jìn)行恒等變換，進(jìn)而解決本問(wèn)題.1.例題【例1】設(shè)向量，.（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1);(2).第一步，先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意參數(shù)的正負(fù)：由題意可得：第二步，利用三角函數(shù)的輔助角公式一般將其化為同名函數(shù)，且在同一單調(diào)區(qū)間：所以第三步，運(yùn)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定其單調(diào)區(qū)間：令，求得，故函數(shù)的減區(qū)間為.再根據(jù)，可得函數(shù)的減區(qū)間為【例2】已知向量（1）若a∥b，求的值；（2）記，求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值．【解析】（1）因?yàn)?，，a∥b，所以．若，則，與矛盾，故．于是．又，所以．（2）．因?yàn)?，所以，從而．于是，?dāng)，即時(shí)，取到最大值3；當(dāng)，即時(shí)，取到最小值．【答案】（1）；（2）時(shí)，取到最大值3；時(shí)，取到最小值．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知，，設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)，．(2).【解析】，令，則，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【練習(xí)2】已知，，記函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）如果函數(shù)的最小值為，求的值,并求此時(shí)的最大值及圖像的對(duì)稱軸方程.【答案】（1）；（2）；對(duì)稱軸方程為（）【解析】（1）所以最小正周期（2）的最小值為，所以，故所以函數(shù)的最大值等于由（），即（）故函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為（）七、課后自我檢測(cè)1.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則__________；函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為_(kāi)_________．【答案】【解析】由圖得,即最小正周期又因?yàn)?且,解得，由圖得時(shí),，又因?yàn)?所以，的零點(diǎn)即的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則,解得，因?yàn)?得到，所以零點(diǎn)為，故答案為.2.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知在中，的對(duì)邊分別為，若，，求面積的最大值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為（）；（2）.【解析】（1）令（），解得（），所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.3.已知函數(shù)部分圖象如圖所示.（1）求值及圖中的值；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，已知，求的值．【答案】（1）,（2）【解析】（1）由圖象可以知道：.∴又∵∴

∵∴，,從而.由圖象可以知道,

所以4.，函數(shù).（1）求的對(duì)稱中心；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（2）由（1）得，因?yàn)椋?，所以時(shí)，即，的最大值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值為.5.函數(shù)的最大值是__________．6.已知函數(shù)，，且在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，因?yàn)?，且，又在區(qū)間內(nèi)只有最小值，沒(méi)有最大值，所以在處取得最小值，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，7.已知函數(shù)對(duì)任意都滿足，則函數(shù)的最大值為A．5 B．3 C． D．8．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法不正確的是A． B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．是圖象的一條對(duì)稱軸 D．是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【解析】把函數(shù)的圖像向平左移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象的解析式故A正確；