計算電磁學(xué)-第5章-時域有限差分法3

計算電磁學(xué)

ComputationalElectromagnetism張洪欣電子工程學(xué)院第5章時域有限差分法（FDTD）（三）5.7周期性吸收邊界條件周期性邊界條件周期性邊界條件（PeriodicBoundaryConditions,PBC）是邊界條件的一種，反映的是如何利用邊界條件替代所選部分（系統(tǒng)）受到周邊（環(huán)境）的影響?？梢钥醋魇侨绻サ糁苓叚h(huán)境，保持該系統(tǒng)應(yīng)該附加的條件，也可以看作是由部分的性質(zhì)來推廣表達(dá)全局的性質(zhì)。主要用于數(shù)學(xué)建模和計算機仿真中，將具有時空周期性的物理問題簡化為單元進(jìn)行處理。常見周期性邊界條件1.連續(xù)性周期邊界（Continuity），源和目標(biāo)邊界上的場值相等；2.反對稱周期邊界（Antiperiodicity），源和目標(biāo)邊界上場值符號相反；3.弗洛奎特周期性邊界（Floquetperiodicity），源和目標(biāo)邊界上場值相差一個相位因子，相位因子由波矢和邊界相對距離確定。Continuity和Antiperiodicity邊界可以認(rèn)為是Floquetperiodicity邊界在位相分別為0和π情況下的兩個特例。4.循環(huán)對稱性邊界（CyclicSymmetry），源和目標(biāo)邊界上場值相差一個相位因子，相位因子由計算域所對應(yīng)的扇形角和角向模式數(shù)決定。一、計算機仿真中應(yīng)用周期性邊界條件

微納光學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的光子晶體（PhotonicCrystal）、表面等離子體激元（SurfacePlasmon）列陣結(jié)構(gòu)及超材料（Metamaterial）等；這幾種結(jié)構(gòu)均由空間上周期性重復(fù)的散射體構(gòu)成，當(dāng)計算透射率及能帶結(jié)構(gòu)時，常?？刹捎肍loquet周期邊界將結(jié)構(gòu)簡化。超材料能帶結(jié)構(gòu)計算作為壓電傳感器件的聲表面波器件（SurfaceAcousticWave,SAW）的本征頻率分析。飛機、輪船、風(fēng)力發(fā)電機中的渦輪機，或是旋轉(zhuǎn)電機結(jié)構(gòu)往往具有旋轉(zhuǎn)對稱性，在進(jìn)行電磁場或振動模態(tài)分析時，可采用CyclicSymmerty類型周期性邊界簡化。二、周期性邊界條件的實現(xiàn)將超材料在yz平面無限擴(kuò)展成為無窮大,在yz平面上,選定材料結(jié)構(gòu)中的一個單元為研究對象;并設(shè)金屬絲為理想導(dǎo)體,其周圍采用周期性邊界條件(PBC).波的入射方向沿x方向,可根據(jù)研究的需要來決定所選的周期數(shù)。zyxPBC與PML的結(jié)合整個計算區(qū)域由3部分組成:一部分為自由空間,εr=μr=1;一部分為支撐理想導(dǎo)體的印制板,εr、μr為印制板的相對介電常數(shù)和磁導(dǎo)率;還有一部分是理想導(dǎo)體,在理想導(dǎo)體表面,電場的切向分量為零,在理想導(dǎo)體內(nèi)部,電場和磁場的各個分量均為零.在計算區(qū)域的周期性邊界(PBC)上,既可以全部采用為電場邊界,也可以全部采用為磁場邊界,或一部分為電場邊界,一部分為磁場邊界。Floquet定理當(dāng)周期陣列無限大，且饋電或者平面波均勻照射時，結(jié)構(gòu)的周期性將導(dǎo)致其附近的場幅度的分布具有同樣的周期性。在相位上，由于饋電相位線性分布或者平面波的斜入射而具有規(guī)律的相位差，則在時域上表現(xiàn)為有規(guī)律的延時，即一種準(zhǔn)周期條件。假想將陣面上的網(wǎng)格線沿垂直陣面的方向無限平移，將空間劃分為無數(shù)個周期性子單元，選定其中一個為研究對象，其四壁用PBC截斷，則一個周期性單元就代表了整個陣面。選擇在yz平面上的一個周期單元，周圍用PBC截斷；設(shè)y方向上的周期長度為ay，z方向上的周期長度為az，根據(jù)Floquet定理，在周期性邊界（PBC）上有：磁場邊界zyx電場邊界設(shè)電磁波沿x方向垂直入射，則ky=kz=0;上述公式簡化為：在x方向上用PML截斷，差分方程同前；在PBC吸收邊界上，采用磁場邊界時，對于x軸左側(cè)邊界，在j=jm的邊界上，有：其他邊界的情況依此類推。仿真結(jié)果入射波與物體作用產(chǎn)生散射波，散射波與入射波之和為總場；在有些問題中總場正是需要計算的場，例如在吸收和透射等這類問題但是在某些問題中需要的卻是散射場，這時就有必要把散射場分離出來。角標(biāo)t，s，i分別表示總場，散射場和入射場；Et=Es+EiHt=Hs+HiEs=Et-EiHs=Ht-Hi5.8總場-散射場區(qū)的連接邊界條件1.連接邊界條件的原理與實現(xiàn)(l)最直接的好處就是為散射場的計算提供了方便；(2)使散射體的設(shè)置變得比較簡單；(3)分區(qū)計算可以增大動態(tài)范圍.(4）可以設(shè)置任意的入射平面波。連接邊界條件:討論總場-散射場區(qū)的連接邊界條件，利用1D-FDTD方法和線性插值法設(shè)置入射波源；在總場和散射場的連接面上設(shè)置入射波源，把整個計算空間劃分為總場區(qū)和散射場區(qū)。在總場區(qū)和散射場區(qū)可以分別用一般的FDTD方程來計算總場和散射場。

在計算總場區(qū)邊界點的總場時需要用到散射場區(qū)網(wǎng)格點的總場值，

同樣在計算散射場區(qū)的邊界點時需要用到總場區(qū)網(wǎng)格點的散射場值；而散射場區(qū)中邊界網(wǎng)格點的總場值和總場區(qū)中網(wǎng)格邊界網(wǎng)格點的散射場值并不存在，所以需要對總場-散射場連接面上的場值進(jìn)行修正。下面給出柱坐標(biāo)系下總場-散射場區(qū)連接邊界條件。以柱面邊界上的電場為例，在計算時要用到圓柱面外散射場區(qū)的磁場Ht，由于Ht=Hs+Hi，可以把總場用散射場和入射場之和來代替并帶入FDTD方程進(jìn)行計算。首先計算邊界上的入射場；設(shè)邊界上為總場；圓柱面（i＝ia，j=0:ny,k=ka:kb）：2.入射波的插值近似

由于總場與散射場連接邊界上的點到波源的距離并不總是空間步長的整數(shù)倍，因此為求出距波源為d時的入射波可以采用直接插值近似。用

Ei(d)和

Hi(d)表示距離波源d處的電場和磁場值，則有：其中

為連接邊界上的場分量的波矢，

是連接邊界上的點到波源的距離矢量。根據(jù)以上公式，采用一維FDTD方法模擬入射波，然后再考慮入射波的極化方向，將一維波的電磁場分量投影到總場-散射場邊界上從而得到其入射波。其中，int表示取整，

在散射體模型建模過程中應(yīng)注意選取網(wǎng)格單元的空間步長，要使構(gòu)成模型外層網(wǎng)格盡量與散射體邊界重合。為精確地模擬散射體的形狀和結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格單元取得越小越好。但網(wǎng)格總數(shù)增加，計算機存儲和CPU時間也會隨之增加。解決這一問題的一般原則是，在基本滿足計算精度要求的情況下，盡量節(jié)省存儲空間和計算時間。與此同時，網(wǎng)格的空間步長對計算誤差也有影響。

由于吸收邊界條件在一定入射角范圍內(nèi)有較好的吸波效果，這就要求吸收邊界離開散射體要有足夠的距離。圖5.6示出網(wǎng)格空間的場區(qū)劃分。場區(qū)2中只允許散射場存在，無入射場，此區(qū)稱散射場區(qū)。該區(qū)域外邊界為計算網(wǎng)格空間的截斷邊界—吸收邊界。

場區(qū)1和場區(qū)2由連接條件銜接。總場區(qū)稱為主空間，連接邊界以外稱作輔助空間，輔助空間要占據(jù)構(gòu)成網(wǎng)格總數(shù)的一個較大部分。

場區(qū)1位于計算網(wǎng)格空間內(nèi)部，散射體設(shè)置在其中，場區(qū)1中有入射波及散射波。該區(qū)稱作總場區(qū)。

另一方面，可以通過散射體對脈沖波的響應(yīng)了解散射體寬頻帶的散射特性。由于脈沖信號包含較寬的頻譜，通過Fourier變換，獲得其寬帶散射特性。這種寬帶特性的獲得只需計算程序的一次運行，體現(xiàn)了FDTD法的優(yōu)點。

為研究散射體對電磁脈沖的響應(yīng)，希望入射脈沖有較寬的頻譜。尤其是頻譜變化平緩且又具有陡峭的截止特性。Gauss脈沖具有這樣的特性，其隨時間的變化規(guī)律為：

對無解析形式的入射脈沖波，可采用分區(qū)解析表示的方法，即在不同時間步范圍執(zhí)行不同的解析式。對復(fù)雜的波形還可采取以數(shù)據(jù)文件形式按步讀入。

由于入射脈沖是依時間順序分步起作用，其表現(xiàn)形式靈活，從而對脈沖波的模擬可達(dá)很高精度。式中

f為入射波頻率，n為迭代步數(shù)，?t為時間步長。在n=0（t=0）時，整個網(wǎng)格空間（除波源處外）中的電磁場均設(shè)為“零”。

隨著n的增加，平面波由連接邊界向總場區(qū)內(nèi)傳播，若總場區(qū)內(nèi)無散射體存在，則總場區(qū)內(nèi)相當(dāng)于一個均勻媒質(zhì)空間，在該區(qū)內(nèi)每一網(wǎng)格點的場均按波源同樣的規(guī)律隨時間變化，穩(wěn)定的電場振幅也為。

達(dá)到穩(wěn)定所需時間步數(shù)與諸多因素有關(guān)，主要取決于散射體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度及其物理性質(zhì)。目前尚無一種精確的計算方法。A.Taflove&K.R.Umashankar給出了經(jīng)驗值如表5-1所示。散射波的強弱及其空間分布取決于入射波方位及散射體尺寸，形狀，及物理參數(shù)。

散射波是散射體信息的載體，研究其性質(zhì)對獲取散射體信息具有重要意義。

表