2024-2025學(xué)年廣東省廣州市某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市真光中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知位布｝為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是()

A.a+fo,b+c,a-c

B,a+2b,b,a—c

C.2a+b9b+2c,a+b+c

—>—>—>—>—>—>

D.a+c,b+2a,b—2c

2.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，已知點(diǎn)4(2,-1,1),若點(diǎn)C與點(diǎn)8關(guān)于平面xOz對稱，則|而|=()

A.A/2B.A/6C.A/WD.A/22

3.依次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，公表示事件“第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為2”，上表示事件”第一次

拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，&表示事件“兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，力4表示事件“兩次拋擲骰子的

點(diǎn)數(shù)之和為7"，則()

A.4與44為對立事件B.公與4為相互獨(dú)立事件

C.從與4為相互獨(dú)立事件D.4與4為互斥事件

4.如圖，以等腰直角AABC的斜邊BC上的高2D為折痕，把AABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，

某學(xué)生得出如下四個結(jié)論，其中不正確的是()

B.AB1DC

C.BD1AC

D,平面4DC的法向量和平面4BC的法向量互相垂直

5.若直線/沿x軸向左平移3各單位，再沿y軸向上平移1個單位后，回到原來的位置，則該直線1的斜率為

()

A.jB.C.3D.-3

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6.點(diǎn)P是橢圓+上一點(diǎn)，F(xiàn)i，&是橢圓的兩個焦點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)點(diǎn)P在第一

象限時，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）

A.2B-75C.|D9-

334

7.已知曲線C：x2+y2-2|x|-2|y|=0,則下列說法錯誤的是（）

A.曲線C圍成圖形面積為8+4兀B,曲線C的長度為4招兀

C.曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為2D.曲線C上任意兩點(diǎn)間最大距離4也

8.已知圓C：x2+y2+6x-4y+9=0關(guān)于直線ax+by+3=0對稱，過點(diǎn)P（a,b）作圓C的切線，切點(diǎn)分別

為A,B,則cos乙4PB的最小值為（）

A27291927

A,Rrn

64B.64C.32D.32

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列說法正確的是（）

A.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則每個個體被抽到的概率是

0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,m+1,8,9的平均數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5

C.已知某班共有45人，小明在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中成績排名為班級第9名，則小明成績是全班數(shù)學(xué)成績的第20

百分位數(shù)

D.甲班和乙班各有學(xué)生20人、40人，甲班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為80分，方差為2,乙班的數(shù)學(xué)成績的平均

數(shù)為82分，方差為4,那么甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成績的方差是3

10.已知直線八乂+丫一避=0與圓。：（x-l）2+（y+1）2=4,則（）

A.直線/與圓C相離B.直線I與圓C相交

C.圓C上到直線/的距離為1的點(diǎn)共有2個D.圓C上到直線/的距離為1的點(diǎn)共有3個

11.在長方體2BCD一41B1QD1中，AB=AD=2,=1,點(diǎn)P滿足：AP=AAB+/1AD+yAAi,其中大

〃、y6[0,1],下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)4=1,y=0時，P到的距離為巡

B.當(dāng)4=1時，點(diǎn)P到平面BDD/i的距離的最大值為1

C.當(dāng)；1=0,〃=1時，直線PB與平面A8CD所成角的正切值的最大值為平

D.當(dāng)"〃=1,丫=稱時，四棱錐P-BBIDDI外接球的表面積為贊

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

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12.從1、2、3...n中任取三個不同的數(shù)，則取出的三個數(shù)可作為三角形三邊邊長的概率為.(用"表示)

13.如圖，在三棱錐?！狝BC中，OB,0C兩兩垂直，。2=。。=3,0B=2,則直線j

OB與平面力BC所成角的正弦值為_____./：\

/,1()\

14.已知4(一2,-2),B(-2,6),C(4,—2)三點(diǎn)，點(diǎn)P在圓/+產(chǎn)=4上運(yùn)動，則仍入產(chǎn)+伊鳥/匕二

B

+|PC『的最大值與最小值之差為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

已知A4BC的三個頂點(diǎn)是4(2,3),B(l,2),C(4,-4).

(1)求BC邊上的中線所在直線k的方程；

(2)求△ABC的面積；

(3)若直線L過點(diǎn)C,且點(diǎn)4B到直線％的距離相等，求直線b的方程.

16.(本小題15分)

如圖所示，已知平行六面體ABCD—aiBiCiDi中，AB=AD=2,A/h=4,^BAAr=^DAA1

=4BAD=60°,M為CCi的中點(diǎn).

(1)求力M長度；

(2)求異面直線4M與BD所成的角的大小.

DiCi

B/

17.(本小題15分)

在校運(yùn)動會上，有甲、乙、丙三位同學(xué)參加羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽

簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至

有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)

束.經(jīng)抽簽，甲、丙首先比賽，乙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為今

(1)求丙連勝四場的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

(3)甲、乙、丙三人中誰最終獲勝的概率最大？請說明理由.

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18.(本小題15分)

在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，已知4(2,0),B(3,0),P(x.y),且圈=乎，點(diǎn)P的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)求證：當(dāng)Q(q,O),R(r,0)是x軸正半軸上的兩個不同點(diǎn)，且qr=6時，闔為定值.

19.(本小題17分)

在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，過點(diǎn)P3),yo，zo)且以工=(a,b,c)為方向向量的直線方程可表示為寧=牛=

、包(abc70),過點(diǎn)P(%o，yo，zo)且以1=(a,b,c)為法向量的平面方程可表示為a久+by+cz=ax0+by0+c

(1)若直線Zi=y=-(2-1)與12:-(x-1)=9都在平面a內(nèi)，求平面a的方程；

(2)在三棱柱ABC—4中停1中，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)4在平面。xz內(nèi)，平面4BC以前=為法向

量，平面488遇1的方程為3x+y-z=8,求點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(3)若集合M={(x,y,z)|田+|y|+|z|=2}中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體。的各個面，求。的體積和相鄰兩個面

所在平面的夾角的余弦值.

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參考答案

1.5

2.2

3.C

4刀

5.B

6.B

7.C

8.C

9.AB

10.BD

11.ACD

12.康(n24,n為偶數(shù))，(聯(lián)冏),M25,n為奇數(shù))

13喑

14.16

15.解：(1)由B(l,2),C(4-4).

所以版。=今:=?=-2,

所以BC邊上的高所在直線。的斜率為k=1,

則BC邊上的高所在直線人的方程y—3=|(x-2),

即x—2y+4=0；

(2)4(2,3),B(l,2),C(4,-4),

所以|48|={(2-1)2+(3-2)2=電HQ=V(4-2)2+(-4-3)2=V53,\BC\=A/(4-1)2+(-4-2)2

==3巡，

+BC2-AC2+45—53

所以cos/ZBC=~2AB~BC--2x72x34~~^0

所以sin/ABC=】l-cos2乙ABC=當(dāng)更

所以SA4BC=94B|?|8C|sinz2BC=g乂避x3逆x嚕=’

(3)因?yàn)辄c(diǎn)48到直線％的距離相等，所以直線6與4B平行或通過的中點(diǎn),

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①當(dāng)直線L與2B平行，

因?yàn)槟?1=的2，且，2過點(diǎn)C,

所以%方程為y+4=x-4,即無一y-8=0,

②當(dāng)直線L通過4B的中點(diǎn)端,|),

—4——1Q

所以標(biāo)。=丁力=一￡，

4—~2。

12

所以，2的方程為y+4=——(%—4),即13%+5y—32=0.

綜上：直線%的方程為第—y—8=0或13%+5y—32=0.

16.解(1)因?yàn)槠?值+C^M=AB+AD+3春，

22，>22

所以|品『=(AB+AD+1^)2=|AB|+\AD\+三渡『+2AB■AD+A41'XS+AD-X4]=2+2+^

X42+2X2X2X-+4X2X-+4X2X-=24,

所以I前I=2述；

(2)因?yàn)辂?而一同，

則AM-BD=(AB+AD+-(AD-AB)=AB-AD+AD+^AA1■AD-AB-AD-AB-^AA1-AB=0,

即前1麗，

故異面直線AM與8。所成的角的大小為最

17.解：(1)丙連勝四場的情況為：“丙勝甲負(fù)，丙勝乙負(fù)，丙勝甲負(fù)，丙勝乙負(fù)”，

所以丙連勝四場的概率：PI=G)4=表；

(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽，

而甲、丙連勝四場的概率為6)4x2='

乙上場后連勝三場獲勝的概率為P2=(1)3=1,

需要進(jìn)行第五場比賽的概率P3==i-7=7；

(3)三人中乙最終獲勝的概率最大.理由如下：

記事件力為甲輸，事件B為丙輸，事件C為乙輸，

記事件M：甲贏，記事件N：贏，

則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC,BCACB、BCABC、BCBAC,

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???甲贏的概率為P(M)=(1)4+7x?A=備，

由對稱性可知，丙最終獲勝的概率和甲最終獲勝的概率相等,

即丙最終獲勝的概率也是備，

Q7

所以乙贏的概率為P(N)=1—^X2=￡,

又3>白，所以三人中乙最終獲勝的概率最大.

lo

18.解：(1)由已知可得伊知=2)2+y2,|PB|=3)2+產(chǎn),

.|PB|一可，..&F可守一百，

化簡可得C的方程為N+y2=6.

(2)證明：當(dāng)Q(q,0),R(r,o)是x軸正半軸上的兩個不同點(diǎn)，

則q>0,r>0,且qr=6,???qPQ,y),

\PQ\=l(%-q)2+y2,|PR|=^/(%-r)2+y2,

.|PQI_成x—q)2+y2=(汽一1)2+y2_x2+y2一號+

,?|PR|,(%一廠)2+y2(x-r)2+y2x2+y2-2rx+r2'

V2,2二％2+y2_^+與6—號+與6q

x2+y2—2rx+r26—2rx+r2rr

.|PQ[A-/士

??|尸R|為值*?

19.解：(1)由題意可知，直線八的一個方向向量為近=(2,1,-1),

直線％的一個方向向量為藥=(—142),

設(shè)平面a的法向量為元=(卬、1/1),

inn伍1詬m而.宙=。日"25+y「zi=°

則卜1西'貝唯?通=0，即1一％1+4yi+2zi=0，

解噴:璘,

取=則而=(2,-1,3),

易知直線h過點(diǎn)P(l,0,l),

所以平面a的方程為2%-y+3z=2-0+3=5,

即2%—y+3z=5.

(2)根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)A(a,0,c),則褊=(a,0,c),

因?yàn)槠矫鍭