2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：等邊三角形的性質(zhì)與判定（解析版）

特訓(xùn)13等邊三角形的性質(zhì)與判定

【特訓(xùn)過關(guān)】

1.AZBC中，AB=AC=2,ZB=60°,則8C=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A.

【解析】解：：48=2。=2,

ZC=Z5=60°,

...△4BC為等邊三角形，

BC=AB=2.

故選：A.

2.如圖，在AZBC中，AB=AC,ZC=30°,ABLAD,AD=4cm,則8C=()

C.12cmD.14cm

【答案】C.

【解析】解：???4B=ZC，ZC=30°,

NB=NC=30°,

：.ABAC=180°-ZB-ZC=120°,

ABLAD,

：./BAD=90°,

ZDAC=ZBAC-ZBAD=120°-90°=30°zc,

AD=DC,

AD=4cm,

DC=4cm,

在中，ZB=30°,

BD=2AD=8cm,

：.BC=BD+DC=8+4=12(cm),

故選：c.

3.如圖，直線。〃b,等邊三角形48c的頂點(diǎn)C在直線6上，Z1=40°,則N2的度數(shù)為（）

A.100°B.90°C.80°D.60°

【答案】C.

【解析】解：設(shè)ZC與直線。交于。，4B與直線。交于E,如圖所示：

?.?直線?！╞,Z1=40°,

NADE=Z1=40°,

???△45C為等邊三角形，

?.N4=60°,

N2=180°-+ZADE）=180°-（60°+40°）=80°.

故選：C.

4.若一個(gè)三角形的最小內(nèi)角為60。，則下列判斷中正確的有（）

（1）這個(gè)三角形是銳角三角形；（2）這個(gè)三角形是等腰三角形；（3）這個(gè)三角形是等邊三角形；（4）形狀

不能確定；（5）不存在這樣的三角形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C.

【解析】解：因?yàn)樽钚〗菫?0度，則該三角形的最大角不能大于60度，否則不合題意，則可以得到其三

個(gè)角均為60度，即是一個(gè)等邊三角形；

其最大角不大于90度，所以是銳角三角形；

等邊三角形是特殊的等腰三角形.

所以前三項(xiàng)正確，即正確有三個(gè).

故選：C.

5.如圖，是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間最小的三角形的邊長(zhǎng)是3,則六邊形的周長(zhǎng)為（）

【答案】A.

【解析】解：設(shè)等邊△NBC的邊長(zhǎng)為服

???9個(gè)三角形都是等邊三角形，

NA=AC=AB=BN=BC=a,CD=CE=DE=DF=a+3,GF=WF=WG=a+6,

MN=ME=NE=a+9.

'：NE=NA+AE,

a+9=2a.

a=9.

拼成的六邊形的周長(zhǎng)為：

NB+8C+CD+DF+GF+MG+MN=a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9=7a+27=90.

故選：A.

6.如圖，已知NMON=30。，點(diǎn)4,A2,4，…在射線ON上，點(diǎn)與，B2,…在射線（W上,

△）

△4為4,…均為等邊三角形，若。4=2,則△4線4的邊長(zhǎng)為（）

A.16B.32C.64D.128

【答案】c.

【解析】解：???△45/2為等邊三角形，

AB{A{A2=60°,/圈=44，

???乙4]用。=-AMON=60°-30°=30°,

ABXAXA2

???乙440=AMON,

A[B]=OAX,

/.A]B、=44=。4,

同理可得過與=44==2。4,

2

A3B3=44—。4—2OA2=2-OA{,

A4B4=44—04=2。4~23?。4,

；?4A=44M=2104=2〃，

的邊長(zhǎng)：=26=64,

故選：C.

7.如圖，△48C中，AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)/、點(diǎn)2同時(shí)出發(fā)，沿三角形的

邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)〃的速度為lcm/s,點(diǎn)N的速度為2cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)4點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng).點(diǎn)

M、N運(yùn)動(dòng)（）s后，可得到等邊

【答案】C.

【解析】解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)xs后，可得到等邊

/.AM=xcm,AN=AB-BN=（12-2x）cm,

???△48。是等邊三角形，

NZ=60°,

=時(shí)，AZMM是等邊三角形，

x=12-2x,

x=4,

...點(diǎn)四、N運(yùn)動(dòng)4s后，可得到等邊A/A/N.

故選：C.

8.如圖，點(diǎn)P在NMON內(nèi)，點(diǎn)P關(guān)于（W,ON的對(duì)稱點(diǎn)分別為￡,F,若EF=OP,則NMCW的度

數(shù)是（）

F

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B.

【解析】解：如圖，連接?！?OF.

F

?..點(diǎn)尸關(guān)于（W,ON的對(duì)稱點(diǎn)分別為￡,F,

：.OP=OE=OF,ZPOM=ZEOM,ZPON=ZNOF,

：.ZEOF=2ZMON,

EF=OP,

OE=OP=EF,

.?.△?！晔堑冗吶切?

ZEOF=60°,

/.AMON=30°,

故選：B.

9.如圖，已知△NBC與ACDE都是等邊三角形，點(diǎn)2、C、。在同一條直線上，與8E相交于點(diǎn)G,

與NC相交于點(diǎn)凡幺。與CE相交于點(diǎn)”，連接口.給出下列結(jié)論：①AACD'BCE；

@ZAGB=60°；③BF=AH；④ACW是等邊三角形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【答案】D.

【解析】解：???△48C與ACOE是等邊三角形，

ABCA=ADCE=60°,AC=BC,CE=CD,

：.ZBCE=ZACD,

在ABCE和△ZCD中，

BC=AC

<NBCE=ZACD,

CE=CD

：.ABCE^AACD(SAS),故①正確；

ABCE'ACD,

ZCBF=ZCAH.

,/ZBFC=NAFG,

AZAGB=ZACB=60°,故②正確；

在ABCE和中，

"NCBF=ZCAH

<BC=AC,

ZBCF=ZACH

/.ABCF^AACH(ASA),

：.CF=CH,BF=AH；故③正確;

*/CF=CH,ZACH=60°,

.??△CW是等邊三角形；故④正確.

故選：D.

10.如圖，在△48C中，NBZC和N48C的平分線ZE,RF相交于點(diǎn)O,AE交BC于E,BF交

AC

于尸，過點(diǎn)。作0。，8c于。，下列三個(gè)結(jié)論：①NZO5=90°+；NC；②當(dāng)NC=60°時(shí)，

AF+BE=AB；③若0。=。，AB+BC+CA=2b,則其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①②③D.①③

【答案】C.

【解析】解：；N&4C和ZABC的平分線相交于點(diǎn)。

ZOBA=-ZCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

/.ZAOB=1800-ZOBA-ZOAB=180。」ZCBA--ZCAB=180。」(180。-NC)=90。+工NC,

222V'2

①正確；

???ZC=60°,

：.ZBAC+ZABC=120°,

AE,BF分別是ABAC與AABC的平分線，

ZOAB+ZOBA=^(ZBAC+/ABC)=60°,

/.ZAOB=120°,

ZAOF=60°,

ZBOE=60°,

如圖，在48上取一點(diǎn)〃，使BH=BE,

?；AF是N4BC的角平分線，

/.ZHBO=ZEBO,

在&HBO和AEBO中，

BH=BE

<ZHBO=ZEBO,

BO=BO

：.AHBO沿AEBO(SAS),

NBOH=NBOE=60°,

ZAOH=180°-60°—60°=60°,

ZAOH=ZAOF,

在AHAO和&FAO中,

'NHAO=NFAO

<AO=AO,

ZAOH=ZAOF

：.AHAO^AFAO(ASA),

：.AF=AH,

：.AB=BH+AH=BE+AF,故②正確;

作。于H,。河，45于〃;

VNBAC和ZABC的平分線相交于點(diǎn)O,

...點(diǎn)。在NC的平分線上,

/.OH=OM=OD=a,

???AB+AC+BC=2b,

：.S^3C=^xABxOM+^xACxOH+^xBCxOD=^(AB+AC+BC)-a=ab,③正確.

故選：C.

11.下列三角形：①有兩個(gè)角等于60。；②有一個(gè)角等于60。的等腰三角形；③一腰上的中線也是這條腰

上

的高的等腰三角形.其中能判定是等邊三角形的是.

【答案】①②③.

【解析】解：①兩個(gè)角為60度，則第三個(gè)角也是60度，則其是等邊三角形，故正確；

②這是等邊三角形的判定2,故正確；

③根據(jù)等邊三角形三線合一性質(zhì)，故正確.

所以能判定是等邊三角形的是①②③.

故答案為：①②③.

12.如圖，△NBC是等邊三角形，點(diǎn)。、E、尸分別在28、BC、AC±,若N1=N2,ADFE=80°,

KJZEDF=度.

【答案】40.

【解析】解：,??△45C是等邊三角形,

ZB=60°,

???/DEC是△QBE的外角，

/./DEC=NB+N1,

即NDEE+N2=N8+N1,

*/Zl=Z2,

ZDEF=4B=60°,

?/ADFE=80°,

ZEDF=180°-ZDEF-ZDFE=180°-60°-80°=40°,

故答案為：40.

13.如圖，在等邊△48C中，AB=6,8。平分N48C,點(diǎn)E在5c的延長(zhǎng)線上，且NE=30°,則

CE

的長(zhǎng)為_______

【答案】3.

【解析】解：是等邊三角形，AB=6,BD平分NABC,

：.AD^CD=-AC=-AB=3,ZACB=60°,

22

,/NE=30°,

ZCDE=ZACB—NE=30°,

/.NE=ZCDE=30°,

CE=CD=3.

故答案為：3.

14.如圖所示，過等邊的頂點(diǎn)/,B,C依次作48,BC,C4的垂線MG,MN,NG,三條垂

線圍成AMNG,已知CG=4cm,則AMNG的周長(zhǎng)是cm.

【答案】36.

【解析】解：???△4SC為等邊三角形，

/.AB=AC,ABAC=ZABC=60°,

VACLGN,BAIMG,CBLMN,

：.ZACG=ZBAM=ZCBN=90°,

：.ZCAG=90°-ZBAC=30°,ZABM=90°-ZABC=30°,

：.AABM^ACAG(ASA),

/.MA=CG,

即MG=W+ZG=CG+ZG,

???△45C為等邊三角形，

ABAC=60°,

VACLGN,BAIMG,

：.ZACG=ZBAM=90°,

ZCAG=90°-ZBAC=30°.

/.ZM=90°-ZABM=60°,

同理：ZN=ZG=60°,

ANNG為等邊三角形，

,/ZCAG=30°,

AG=ICG=8cm,

'：MG=CG+AG=12cm,

所以AMNG的周長(zhǎng)=3MG=3x12=36cm,

故答案為：36.

15.如圖，己知NMZN=60°,AB=6,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可求出5。的長(zhǎng)為

【解析】解：由作圖可知4B=ZC,

,/ABAC=60°,

.?.△N5C是等邊三角形，

BC=AB=6,

,/AD平分N5ZC,

：.BD=CD=-BC=3.

2

故答案為:3.

16.如圖，六邊形48CDEP的六個(gè)內(nèi)角都相等.若4B=2,BC=CD=4,DE=3,則這個(gè)六邊形的

周長(zhǎng)為.

【解析】解：如圖，分別作邊48、CD、EE的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線使它們交于點(diǎn)G、H、P.

?：六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120。，

六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°.

；.“AHF、&BGC、ADPE、AG//。都是等邊三角形.

GC=BC=4,DP=DE=3.

：.GH=GP=GC+CD+DP=4+4+3=11,FA=HA=GH-AB-BG=\\-2-4=5,

EF=PH-HF-EP=l1-5-3=3.

.?.六邊形的周長(zhǎng)為2+4+4+3+5+3=21.

故答案為：21.

H

/、

17.邊長(zhǎng)為。的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形.取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形,

記為第1個(gè)正六邊形.取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)順次連接，又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)

等邊三角形.取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖）…，按

此方式依次操作.則第6個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是.

【答案】—a.

96

【解析】解：如圖，延長(zhǎng)N8與第1個(gè)等邊三角形的邊相交于點(diǎn)。,

為中點(diǎn)，

.?.第2個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是第1個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)的工，

2

:正六邊形的邊長(zhǎng)是相應(yīng)等邊三角形邊長(zhǎng)的工，

3

.?.下一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的工，

2

根據(jù)題意，第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是，

3

所以，第6個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)：-axW=—a.

3（2J96

故答案為：—a.

18.如圖，已知ANBC是等邊三角形，BD=CD,￡是邊ZC上的點(diǎn)，DE//AB,與8c交于點(diǎn)足下面

四個(gè)結(jié)論：①連結(jié)4D,則2。垂直平分線段5C；②ACEE是等邊三角形；③若48=8,CE=2,

則

CF=4；④若NC5￡>=40。，則NEZX?=10。，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

【答案］①②.

【解析】解：如圖，連接/￡),

???△N5C是等邊三角形，

AB=AC,ZABC=ZCAB=ZECF=60°,

BD=CD,

...點(diǎn)/、。都在線段5c的垂直平分線上，

；.幺。垂直平分線段BC；故①正確；

DE//AB,

：.ZABC=ZEFC=60°,ZCEF=ZCAB=60°,

...△CEE是等邊三角形，故②正確；

???△CEE是等邊三角形，CE=2,

：.CF=2,故③錯(cuò)誤，

BD=CD,ZCBD=40°,

ZDCB=ZDBC=40°,

?/ZEFC=60°,

ZCDE=ZEFC-ZDCB=60°-40°=20°,故④錯(cuò)誤；

故答案為：①②.

19.如圖，在AZBC中，8。是高，點(diǎn)。是NC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在3C邊的延長(zhǎng)線上，ED的延長(zhǎng)線交

AB

于點(diǎn)足且若NE=30°.

(1)求證：△NBC是等邊三角形；

(2)請(qǐng)判斷線段/。與CE的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=CE,理由見解析.

【解析】（1）證明：???AD_LZC,點(diǎn)。是ZC邊的中點(diǎn),

...8。垂直平分ZC,

/.AB=CB,

'：EFLAB,

：.ZABC+ZE=90°,

,/NE=30°,

ZABC=60°,

.?.△48C是等邊三角形；

（2）解：AD=CE,理由如下：

???△48C是等邊三角形，

/.ZACB=60°,

?：ZACB=ZE+ZCDE,ZE=30°,

/.ZCDE=30°=ZE,

/.CD=CE,

:點(diǎn)。是ZC邊的中點(diǎn)，

AD=CD,

AD=CE.

20.如圖，點(diǎn)O是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，。是△45C外的一點(diǎn)，ZAOB=110°,ZBOC=a,

△BOCAADC,

ZOCD=60°,連接00.

(1)求證：AOCQ是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷AZOD的形狀，并說明理由；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△ZOD是等腰三角形.

【答案】（1）證明見解析；（2）△Z。。是直角三角形，理由見解析；當(dāng)a=110°或125°或140°時(shí),

△ZOD是等腰三角形.

【解析】證明：（1）VABOC^ADC,

：.OC=DC,

,/ZOCD=60°,

AOC。是等邊三角形.

解：（2）△NOD是直角三角形.理由如下：

???△OCD是等邊三角形，

ZODC=60°,

VABOC^AADC,a=150°,

ZADC=ZBOC=a=150°,

ZADO=ZADC-NODC=150°-60°=90°,

是直角三角形.

（3）：△OCT）是等邊三角形，

?.ZCOD=ZODC=60°.

'：ZAOB=110°,NADC=NBOC=a,

ZAOD=360°-ZAOB-ZBOC-ZCOD=360°—110°—a—60°190。-a,

ZADO=ZADC-ZODC=a-60°,

ZOAD=180°-ZAOD—ZADO=180°-(190°-?)-(?-60°)=50°.

①當(dāng)時(shí)，190°—a=a—60°,

a-125°.

②當(dāng)=時(shí)，190°—a=50°,

a=140°.

③當(dāng)=時(shí)，

a—60°=50°,

.,.(7=110°.

綜上所述：當(dāng)a=110°或125°或140。時(shí)，△ZOQ是等腰三角形.

21.在AZBC中，AB=AC,ZBAC=120°,ADLBC,垂足為G,且40=45.AEDF=60°,

其兩邊分別交邊AB,NC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：AZB。是等邊三角形；

(2)求證：BE=AF.

【答案】證明見解析.

【解析】(1)證明：：A8=NC,ADLBC,

：./BAD=ZDAC=^-ZBAC,

2

?：ABAC=no°,

：.ZBAD=ZDAC=-xl20°=60°,

2

,/AD=AB,

...△46。是等邊三角形；

(2)證明：???△25。是等邊三角形，

/.ZABD=NADB=60°,BD=AD,

???ZEDF=60°,

ZADB=ZEDF,

NADB-ZADE=NEDF-AADE,

/.ZBDE=ZADF,

在ABDE與"DF中，

"NDBE=ZDAF

<BD=AD,

ZBDE=ZADF

：.ABDE'ADF(ASA),

：.BE=AF.

22.如圖，過等邊A48C的邊48上一點(diǎn)尸，作尸EJ.ZC于E,0為5c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且尸幺=C0,

連接尸。交ZC邊于D

(1)求證：PD=DQ；

(2)若AZBC的邊長(zhǎng)為1,求的長(zhǎng).

【解析】(1)證明:

如圖,

A

E

/---------\

過P做PF//BC交ZC于點(diǎn)F,

：.ZAFP=ZACB,ZFPD=ZQ,ZPFD=ZQCD,

???△48C為等邊三角形，

NZ=NACB=60°,

/.N4=ZAFP=60°,

.?.△4P尸是等邊三角形；

?：AP=PF,AP=CQ,

：.PF=CQ,

：.APFDAQCD,

PD=DQ.

(2)/是等邊三角形，

,/PELAC,

AE=EF,

APFDWQCD,

CD=DF,

DE=EF+DF=-AC,

2

,/AC=1,

DE=-.

23.如圖，△48C中，AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)/、點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)，沿三角形

的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1c加/s,點(diǎn)N的速度為2c加/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)8點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng).

(1)點(diǎn)、M、N運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合？

(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，可得到等邊三角形NMN?

(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在5c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以跖V為底邊的等腰三角形如存在，請(qǐng)求出此時(shí)

M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

【答案】(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)12秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，可得到等邊三角形

AMN；(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在5c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以跖V為底邊的等腰三角形,此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為16秒.

【解析】解：(1)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合，

xxl+12=2x,

解得：x=12；

(2)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)f秒時(shí)，可得到等邊三角形如圖①，

AM=txl=t,AN=AB-BN=l2-2t,

?..三角形是等邊三角形，

；./=12—2t,

解得/=4,

.?.點(diǎn)”、N運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，可得到等邊三角形

(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以跖V為底邊的等腰三角形，

由(1)知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，

如圖②，假設(shè)是等腰三角形，

AN=AM,

：.ZAMN=ZANM,

ZAMC=ZANB,

,/AB=BC=AC,

...△ZCB是等邊三角形，

ZC=ZB,

在ANCM和AASN中，

ZAMC=ZANB

?/<ZC=ZB,

AC=AB

：.AACM、ABN（AAS）,

/.CM=BN,

設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間〉秒時(shí)，AZMN是等腰三角形，

：.CM=y-l2,NB=36-2y,CM=NB,y—12=36—2y,

解得：y=\6.故假設(shè)成立.

二當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以TW為底邊的等腰三角形4W,止匕時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16

秒.

24.如圖1,△Z5C為等邊三角形，面積為S.D「E「片分別是A4BC三邊上的點(diǎn)，且

g=BE\=CFi=；4B,連接〃￡］、ER、FR,可得是等邊三角形，此時(shí)△2〃月的面積

的面積E=；S.

（1）當(dāng)。2、旦、鳥分別是等邊AZBC三邊上的點(diǎn)，且Z3=54=。工時(shí)如圖2,

①求證：△打馬心是等邊三角形；

②若用S表示AZA8的面積尾，則邑=；若用S表示AAEZ與的面積5，則

（2）按照上述思路探索下去，并填空：

當(dāng)3、E,、弓分別是等邊AZBC三邊上的點(diǎn)，40“=5紇=’48時(shí)，（〃為正整數(shù)）聲耳凡

n+1

是三角形；

若用S表示的面積用，則S“=；若用S表示△￡>/,￡,的面積S：,則

S；=______________

ncc,rr-n+\c

Sn=彳),xJ-―-)?

〃+l)n+277+1

【解析】解：（1）①???△45C為等邊三角形,

：.AB=BC=AC,ZA=ZB=60°,

由己知得AD?,BE?=；BC,5=；ZC,

22

AF2——AC9BD?——AB,

AD2=BE2,AF2=BD2,

^AD2F2^^BE2D2,

/.D2E2=F2D2,

同理可證工62,

D2E2=E2F?=FzD?,

??^D2F2E2為等邊二角形;

②S2=|s；

=S--Sx3=-S