2024-2025學(xué)年人教版高一物理重難點(diǎn)突破：求解共點(diǎn)力靜態(tài)、動(dòng)態(tài)平衡問題（10大題型）解析版

求解共點(diǎn)力靜態(tài)、動(dòng)態(tài)平衡問題（10大題型）

（重難點(diǎn)突破）

c/???Ilfif

合成法

正交分解法

知識(shí)點(diǎn)求解共點(diǎn)力靜態(tài)平衡

1效果分解法

問題的常用方法

超一解決平衡問題（合成法）

矢量三角形法

醒二解決平衡問題（正交分解法）

整體法、隔離法題型三解決平衡問題（矢量三角形法）

重難點(diǎn)突破：題型四解決平衡問題（整體法、隔離法）

求解共點(diǎn)力靜態(tài)、題型五動(dòng)態(tài)平衡分析（解析法）

動(dòng)態(tài)平衡問題結(jié)論法題型六動(dòng)態(tài)平衡分析（圖解法）

題型七動(dòng)態(tài)平衡分析（輔助圓法）

蟀析法動(dòng)態(tài)平衡分析（正弦定理法）

題型九動(dòng)態(tài)平衡分析（相似三角形法）

圖解法

知識(shí)點(diǎn)2求解共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡題型十空間力的平衡問題

問題的常用方法

輔助國法

正弦一去

相似三角形法

….方法技巧：空間力的平衡問題的求解方法

知識(shí)點(diǎn)1求解共點(diǎn)力靜態(tài)平衡問題的常用方法

1、單個(gè)物體的靜態(tài)平衡

①合成法：物體在三個(gè)共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，任意兩個(gè)力的合力一定與第三個(gè)力大小相等、方向

相反，作用在同一條直線上，可以據(jù)此先求任意兩個(gè)力的合力。

【舉例】如圖所示，將兩個(gè)拉力T合成，F(xiàn)^=Go

G

②正交分解法：若物體受到三個(gè)以上的力，一般采用正交分解法。先把物體所受的各個(gè)力逐一地分解在兩

個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸（x軸和y軸）上，再列出x軸和y軸方向上的方程并求解。

【舉例】如圖所示，將K、心分解在x軸和y軸，可得出，龍軸：FAcos）3=FBcos3,y軸：

FAsinJ3=mg+吊sin6（。

③效果分解法：物體受到幾個(gè)力的作用處于平衡狀態(tài)，將某一個(gè)力按力的作用效果進(jìn)行分解，則其分力和

其他力在所分解的方向上滿足平衡條件。

【舉例】如圖所示，物體處于平衡狀態(tài)，將加g按效果分解成為和尸2兩個(gè)力，則可得出耳=/，

F?=FN。

④矢量三角形法：三個(gè)共點(diǎn)力作用使物體處于平衡狀態(tài)，則此三力首尾相接構(gòu)成一個(gè)閉合的矢量三角形。

把三個(gè)共點(diǎn)力轉(zhuǎn)化為三角形的三條邊，利用三角形定則，根據(jù)邊角關(guān)系，求解平衡問題。如果力的三角形

并不是直角三角形，可以利用相似三角形等規(guī)律求解。

【舉例】如圖所示，物體處于平衡狀態(tài)，三個(gè)力共同作用于一個(gè)物體，可作出矢量三角形。根據(jù)勾股定理

可得F二W1『o

4

2,多個(gè)物體的靜態(tài)平衡

若系統(tǒng)中涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體，在選取研究對(duì)象時(shí)，可選用整體法和隔離法。

①整體法：當(dāng)幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)具有相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且在只涉及研究系統(tǒng)與外界的相互作用面不涉及

系統(tǒng)內(nèi)部物體之間的力與運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般采用整體法。

②隔離法：為了研究系統(tǒng)內(nèi)某個(gè)物體的受力和運(yùn)動(dòng)情況，一般把需要研究的物體從系統(tǒng)中隔離出來進(jìn)行研

究的方法，稱為隔離法。

【舉例】如圖所示，一光滑球體放在三角形木塊與豎直墻壁之間，整個(gè)裝置保持靜止。光滑球體的質(zhì)量為

m,三角形木塊的質(zhì)量為3%。

整體法：把三角塊和球作為一個(gè)整體受力分析如圖。

隔離法：對(duì)光滑球體受力分析如圖所示。

知識(shí)點(diǎn)2求解共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡問題的常用方法

動(dòng)態(tài)平衡問題是指通過控制某些物理量的變化，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢改變，在這個(gè)變化過程中可認(rèn)

為物體處于平衡狀態(tài)，把物體的這種狀態(tài)稱為動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。

①結(jié)論法：根據(jù)力的分解規(guī)律知，合力一定時(shí)，把它分解為兩個(gè)大小相等的分力，兩分力間夾角越大，分

力越大。

②解析法：對(duì)研究對(duì)象的任一狀態(tài)進(jìn)行受力分析，列平衡方程，寫出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)自變量的變化進(jìn)

行分析，得出結(jié)論。

【舉例】例如，將一個(gè)與水平方向成6角的推力廠作用在物塊上，隨著。角不斷變化的過程中，物塊始終

沿水平面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求解力/大小的變化。對(duì)物體進(jìn)行受力分析，建立直角坐標(biāo)系。可得出

F=—儂一。所以當(dāng)。減小時(shí)，尸減小；。增大時(shí)，尸增大。

cos8一〃sin8

③圖解法：對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，再根據(jù)平行四邊形定則或三角形定則畫出不同狀態(tài)下的力的矢量圖

（畫在同一個(gè)圖中），然后根據(jù)有向線段（表示力）的長度變化，判斷各個(gè)力的變化情況。

【適用題型】一般物體只受三個(gè)力作用，且其中一個(gè)力大小、方向均不變，另一個(gè)力方向不變，第三個(gè)力

大小、方向均變化。

【舉例】例如，用一豎直方向的光滑擋板將球擋在光滑斜面上，若擋板沿逆時(shí)針方向緩緩轉(zhuǎn)到水平位置中,

求解擋板和斜面對(duì)小球作用力的變化情況。

對(duì)小球受力分析，小球受3個(gè)力，分別是豎直向下的重力G、斜面的支持力Ni、擋板的彈力N2。根據(jù)三角

形法則畫出矢量三角形，擋板沿逆時(shí)針方向緩緩轉(zhuǎn)到水平位置過程中，M的方向不變，由圖可知，Ni先減

小后增大，N2一直減小。

④輔助圓法：

【適用題型】物體所受的三個(gè)力中，其中一個(gè)力大小、方向不變。

a.另兩個(gè)力大小、方向都在改變，但動(dòng)態(tài)平衡時(shí)這兩個(gè)力的夾角不變；

b.動(dòng)態(tài)平衡時(shí)一個(gè)力大小不變、方向改變，另一個(gè)力大小、方向都改變。

【舉例】如圖甲所示，物體G用兩根繩子懸掛，現(xiàn)將繩O/與繩同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)過90°,且保持兩繩之

間的夾角不變，物體保持靜止。求解在旋轉(zhuǎn)過程中，繩子OA的拉力Fi和繩子OB的拉力F2的變化情況。

取繩子結(jié)點(diǎn)。為研究對(duì)象，受到3根繩的拉力，如圖乙所示，三力構(gòu)成矢量三角形（圖丙ACDE）。需滿

足尸3大小不變，/CDE不變，以不變的力為弦作圓，由圖可知，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，長先增大后減小，F(xiàn),

始終減小，且轉(zhuǎn)過90°時(shí)，F(xiàn)2剛好為0。

⑤正弦定理法：物體在三個(gè)力的作用下平衡時(shí),三個(gè)共點(diǎn)力的合力為零，其中任一個(gè)力與其它兩個(gè)力夾角

正弦的比值相等，即一L=_L=_L。

sinasin/3siny

【適用題型】物體所受的三個(gè)力中，其中一個(gè)力大小、方向不變。另兩個(gè)力大小、方向都在改變，但這兩

個(gè)力的夾角不變。

【舉例】如圖甲所示，柔軟輕繩ON的一端。固定，其中間某點(diǎn)〃拴一重物，用手拉住繩的另一端N。將

重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角a不變，求解在（W由豎直被拉到水平的過程中，MN、上的張力

變化情況。

將三力居、尸2、G放在一個(gè)矢量三角形中，如圖乙所示，根據(jù)正弦定理得，=—二=一。

sinZ3sinZ1sinZ2

角形的一個(gè)內(nèi)角與其相鄰的外角互補(bǔ)，即N3+Na=180°,Z2+Z/=180°,N1+N4=180°。

可得出，_2=_4_=」區(qū)，在OM由豎直被拉到水平的過程中，a不變，0由鈍角減小至90°,y由

sinasin°siny

銳角增大至鈍角，故可判斷丹逐漸增大，國先增大后減小。

⑥相似三角形法：

【適用題型】一般物體只受三個(gè)力作用，且其中一個(gè)力大小、方向均不變，另外兩個(gè)力方向都在變化。且

三個(gè)力中沒有垂直關(guān)系。

【舉例】如圖甲所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)緩慢將小球從/拉到

B,半球的圓心位置不變，在這個(gè)過程中，小球始終與半球接觸。求解半球?qū)π∏虻闹С至和繩對(duì)小球的

拉力T的大小變化情況。如圖乙所示，以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析小球受力情況，做出N和T的合力下。運(yùn)

用相似三角形法，ANFA^^AO.O,則有工?？傻肗=?G,T=---G。

A00,0O.AOp0,0

將緩慢地將小球從/拉到2過程中，不變，變小，可見拉力7變小；支持力N不變。

空間力的平衡問題的求解方法

空間力是指物體所受的力不在同一平面內(nèi)，物體受空間力平衡時(shí)，在任一平面內(nèi)、任一直線上受力都是平

衡的。處理此類問題常見方法如下：

①對(duì)稱法

當(dāng)研究對(duì)象所受的力具有對(duì)稱性時(shí)，可利用物體的受力具有對(duì)稱性的特點(diǎn)，如某些力大小相等、方向

相反，把復(fù)雜的運(yùn)算（或圖形）轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的運(yùn)算（或圖形）來處理。

②轉(zhuǎn)化法

空間力作用下物體處于平衡狀態(tài)，要利用平衡條件將物體受到的力分解轉(zhuǎn)化為同一平面上的力來分析

處理問題。

例如，物體靜止在傾角為30°的斜面上，當(dāng)用一與斜面平行也與水平面平行的力尸勻速拉動(dòng)物體時(shí)。

分析物體受力時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為物體沿斜面方向受到的力和垂直于斜面的力，根據(jù)物體在平行和垂直斜

面方向受力平衡進(jìn)行求解。物體受到3個(gè)與斜面平行的力，拉力F、重力沿斜面向下的分力mgsin30°和滑

動(dòng)摩擦力人因?yàn)槲矬w在斜面做勻速運(yùn)動(dòng)，所以可得/=卜+睡sin30。『。

題型一解決平衡問題（合成法）

【例1】（24-25高三上?寧夏青海?月考）用如圖甲所示的小推車搬運(yùn)貨物，小推車上的支架和底板垂直，

將貨物放到底板上后，用力緩慢下壓把手至貨物重心在車輪轉(zhuǎn)軸的正上方，如圖乙所示，整個(gè)過程小推車

在地面的位置不變，則下列關(guān)于此過程的說法正確的是（）

A.小推車對(duì)貨物的作用力方向斜向右上方B.小推車對(duì)貨物的作用力保持不變

C.小推車對(duì)貨物的作用力不斷減小D.小推車對(duì)貨物的作用力先增大后減小

【答案】B

【解析】貨物受到的合力為零，則小推車對(duì)貨物的作用力與貨物的重力等大反向，即方向豎直向上，大小

不變。

故選Bo

【變式1-1］（23-24高一下?廣東揭陽?期末）如圖所示是用來篩選谷粒的振動(dòng)魚鱗篩，篩面水平，由兩根等

長輕繩將其懸掛在等高的兩點(diǎn)，已知篩面和谷物所受重力為G,靜止時(shí)兩輕繩延長線的夾角為0,則每根輕

繩的拉力大小為（)

b

GQ

A?品C.■

B.-0D.Geos一

2cos—222

2

【答案】B

°

【解析】對(duì)篩面和谷物受力分析可知,受兩對(duì)稱的拉力和重力,由合成法可知：27cos5=G

T=---

解得：28sg

2

故選B。

【變式1-2］（24-25高三上?湖南?月考）如圖所示，用兩根完全相同的輕質(zhì)彈簧懸掛一物塊，平衡時(shí)兩彈簧

與水平天花板恰好構(gòu)成等邊三角形,已知彈簧的勁度系數(shù)均為左，每根彈簧的形變量均為最,重力加速度

大小為g，則物塊的質(zhì)量為（

左Axy/ik/^X3kk

A.——B.---------C.——D.-------

gggg

【答案】B

【解析】物塊平衡時(shí)兩彈簧與水平天花板恰好構(gòu)成等邊三角形，根據(jù)幾何關(guān)系可知彈簧與豎直方向的夾角

為：61=1x60°=30°

2

對(duì)物塊，根據(jù)平衡條件可得：2尸cos。=mg

根據(jù)胡克定律：F=k\x

解得：機(jī)=1處

g

故選B。

【變式1-3］（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖，用一根輕質(zhì)細(xì)繩將一幅重力為G的畫框?qū)ΨQ懸掛在墻壁上，畫

框上兩個(gè)掛釘間的距離為d,繩子的總長度為繩子對(duì)一個(gè)掛釘?shù)睦槭?，則（）

A.墻上釘子受到細(xì)繩的合力為百GB.尸的大小小于0.5G

C.Z,不變而增大d,可使尸增大D.d不變而增大口不變

【答案】C

【解析】AB.設(shè)繩與豎直方向夾角為0，對(duì)畫框受力分析如圖所示

由平衡條件可知：277cosO=G

—r,日廠G0.5Gc

可得：F=--------=------->0.5G

2cos0cos0

同一根繩的張力處處相等，則每根繩對(duì)掛釘?shù)睦Υ笮∫矠槭蕢ι厢斪邮艿郊?xì)繩的合力為G,廠的大

小大于0.5G,故AB錯(cuò)誤;

￡不變而增大d,貝ljcos6減小，可使尸增大,故C正確;

D.d不變而增大3cos，增大，可使F減小，故D錯(cuò)誤。

故選C。

【變式1-4］（23-24高一下?浙江杭州?月考）如圖所示。三根輕質(zhì)細(xì)桿N3、BC、CD用光滑錢鏈連接并固

定在位于同一水平線上的/、。兩點(diǎn)。錢鏈2上懸掛一質(zhì)量為加的重物。為使3c保持水平，/、。兩處的

夾角如圖，在錢鏈C上施加的力最小應(yīng)為，

【答案】叵運(yùn)

6

【解析】校鏈2受力平衡，根據(jù)平衡條件的：FBC=mgtan30°=mg

在錢鏈C上施加的力，其方向垂直于CD時(shí)該力有最小值：Fmm=FBCsm30°=—mg

【變式1-5］（24-25高一上?全國?單元測(cè)試）如圖所示的傾角為6=30。的光滑斜劈固定在水平面上，一質(zhì)

量為力的小球用原長為的輕質(zhì)彈性繩拴接，另一端系于豎直墻面上的。點(diǎn)，小球靜止時(shí)彈性繩與豎直墻

面的夾角也為6=30。，此時(shí)彈性繩的長度為/。已知彈性繩始終處在彈性限度內(nèi)且彈性繩遵循胡克定律，重

力加速度為g。則彈性繩的勁度系數(shù)為=

【解析】對(duì)小球受力分析，如圖所示

由力的合成可知，片和用的合力與重力切g(shù)等大反向，由幾何關(guān)系可知彈性繩的拉力大小為:

mg

F二2二J3Vg

1-cos300-3

又由胡克定律得：片=左（7-/。）

解得:廣武。

題型二解決平衡問題（正交分解法）

【例2】（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）炎熱夏天，人們都安裝空調(diào)，圖甲是某小區(qū)高層住宅外安裝空調(diào)主機(jī)的情

境。為安全起見，要求吊運(yùn)過程中空調(diào)主機(jī)與樓墻保持一定的距離。原理如圖乙，一人在高處控制一端系

在主機(jī)上的輕繩P,另一人在地面控制另一根一端系在主機(jī)上的輕繩Q,二人配合可使主機(jī)緩慢豎直上升。

主機(jī)質(zhì)量機(jī)，當(dāng)P繩與豎直方向的夾角夕=37。時(shí)，Q繩與豎直方向的夾角夕=53。。主機(jī)視為質(zhì)點(diǎn)，重力加

速度8卜由53。=0.8,cos53。=0.6）。則（）

C.Q繩中拉力為了mgD.Q繩中拉力為五加g

【答案】C

【解析】對(duì)空調(diào)主機(jī)受力分析，建坐標(biāo)系如圖所示

則y方向有

Fpcosa=mg+FQcos/3x方向有：Fpsina=FQsin/3

聯(lián)立可得：Fp=^-mg,FQ=ymg

故選C。

【變式2-1】（2025?湖北黃岡?一模）拉面是我國獨(dú)具地方風(fēng)味的傳統(tǒng)面食。如圖所示，拉面師傅將一根粗

面條NC2拉成細(xì)面條/C時(shí),粗、細(xì)面條的質(zhì)量相等且兩者的質(zhì)量都均勻分布。粗、細(xì)面條處于懸停狀態(tài)

時(shí)，面條端點(diǎn)2和5'與豎直方向的夾角分別為a和夕（a＞夕），C和。為粗、細(xì)面條的最低點(diǎn)。關(guān)于面條處

A.8點(diǎn)張力大小等于？點(diǎn)張力大小

B.3點(diǎn)張力大小小于8'點(diǎn)張力大小

C.C點(diǎn)張力大小等于C點(diǎn)張力大小

D.C點(diǎn)張力大小大于。點(diǎn)張力大小

【答案】D

【解析】AB.以粗面條為研究對(duì)象并對(duì)其進(jìn)行受力分析如圖所示

同理可知：2FB，cos0=mg

故：FB*,

AB錯(cuò)誤；

CD.對(duì)5c段繩子受力分析可知：Tc=FBsma

同理：Tc.=FB.sin/3

可知：TC>Tc

可知C點(diǎn)張力大小大于C'點(diǎn)張力大小，C錯(cuò)誤，D正確。

故選D。

【變式2-2］（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）如圖所示，用繩/C和3C吊起一個(gè)重50N的物體，兩繩/C、BC

與豎直方向的夾角分別為30。和45°,求繩/C和8c對(duì)物體的拉力大小。（結(jié)果可保留根號(hào)）

MX5°；

【答案】50（V3-l）N,25（V6-V2）N

【解析】以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)％軸水平，V軸豎直，在圖上標(biāo)出工c和%c在％軸和V軸上的分

力，如圖所示

uiinmiLKyHU嚴(yán)H

%—七

FFx

ACxrBCxA

F=mg

則有

="cSin30°=；"c，尸g="ccos300=g"c

F

ACX/2.

/yc

FBCX二FBCsm45°=—FBC,FBCy=FBCcos45°=—FBC

在％軸上，死以與丹心大小相等,則有

ie

_F=——F

2AC2BC

在了軸上，工。與心。的合力與重力大小相等，則有

+乎%=50N

聯(lián)立解得

FBC=25函一吟N,工c=50（＞A_l）N

【變式2-3](23-24高一上?天津?月考)如圖所示，在傾角為37。的斜面上，用沿斜面向上尸=60N的拉力廠

拉著一質(zhì)量為6kg的物體向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，取g=10m/s2,求：

(1)斜面對(duì)物體的支持力的大小;

(2)斜面和物體間的摩擦因數(shù)。(sin37。=0.6,cos37。=0.8)

(3)若拉力廠的方向變?yōu)樗较蛴?，此時(shí)想讓物體保持沿斜面向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，需要將拉力R的大小

變?yōu)槎嗌伲?/p>

【答案】(1)48N(2)0.5(3)120N

【解析】(1)對(duì)物體受力分析，如圖所示

根據(jù)平衡條件，在垂直斜面方向可得

N=mgcos37°=48N

(2)在沿斜面方向有

F=f+mgsin37"

解得

/=24N

根據(jù)

f="N

解得

4=0.5

(3)若拉力產(chǎn)的方向變?yōu)樗较蛴?，則物體的受力分析，如圖所示

根據(jù)平衡條件，在沿斜面方向上有

Feos37°=/+mgsin37°

在垂直斜面方向上有

N=Fsin37°+mgcos37°

又根據(jù)

f="N

聯(lián)立解得

F=120N

【變式2-4](24-25高一上?福建福州?開學(xué)考試)如圖所示，用跨過定滑輪的輕質(zhì)細(xì)繩相連的A、B兩物塊

處于靜止?fàn)顟B(tài)，在水平面上的A物塊的質(zhì)量為4kg,B物塊的質(zhì)量為1kg,繩與水平面夾角夕=30。，滑輪

的摩擦不計(jì)，求：地面對(duì)物體A的支持力和摩擦力。g=10m/s2

【答案】氏=35N,及=5GN

【解析】對(duì)A豎直方向根據(jù)平衡條件得

練+45畝30。=%8

對(duì)B根據(jù)平衡條件得

4=mnS

解得

然=35N

物塊A受到的摩擦力為

=^COS30O=5A/3N

【變式2-5］（23-24高一下?四川廣安?期中）如圖所示小孩和雪橇的總質(zhì)量加=68kg,大人用與水平方向成

族53。角斜向上尸=100N拉力拉雪橇,使雪橇沿水平地面以4m/s速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。（sin53°=0.8,cos53°=0.6,

取g=10m/s2）求：

（1）拉力廠的水平分力和豎直分力多大？

（2）地面對(duì)雪橇的支持力多大？

（3）雪橇與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)多大？

【答案】（1）60N,80N；（2）600N；（3）0.1

【解析】（1）對(duì)小孩和雪橇整體受力分析如圖

拉力尸的水平分力

Fx=Fcos3=60^

豎直分力

Fy=Fsin0=Sm

（2）豎直方向根據(jù)平衡條件

Fsin0+N=mg

得地面對(duì)雪橇的支持力

N=mg—Fsin0=600N

（3）水平方向根據(jù)平衡條件

f=Feos0

又

f="N

聯(lián)立解得雪橇與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)

〃=0.1

題型三解決平衡問題（矢量三角形法）

【例3】（24-25高三上?湖南長沙?開學(xué)考試）如圖所示，光滑的圓軌道豎直固定在水平地面上，。為圓心,

/為軌道上的一點(diǎn)，與水平面夾角為30。。小球在拉力下作用下始終靜止在/點(diǎn)。當(dāng)拉力方向水平向左

時(shí)，拉力尸的大小為10N。當(dāng)將拉力尸在豎直平面內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)至沿圓軌道切線方向時(shí)，拉力尸的大小為（）

A.5N

【答案】A

【解析】如圖，小球受重力G、拉力廠和支持力N三個(gè)力作用，根據(jù)三角形定則，當(dāng)將拉力廠在豎直平面

內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)至沿圓軌道切線方向，即如圖中的虛線方向時(shí)，易得此時(shí)拉力廠的大小變?yōu)?/p>

F^FsinSO0=10x0.5N=5N

故選Ao

【變式3-1］（23-24高一下?云南保山?期中）如圖所示，卡車運(yùn)送質(zhì)量為加的圓柱形工件勻速行駛，工件

放置在傾角分別為37。的斜面A和傾角為53。的斜面B上，不計(jì)兩斜面與工件之間的摩擦，若斜面A對(duì)球的

支持力用也表示、斜面B對(duì)球的支持力用尸仍表示，取sin37o=0.6,cos37o=0.8,重力加速度為g。則下列

關(guān)系式正確的是（）

3443

C.綜［=1機(jī)g,D.仆='"陪，=~mg

【答案】D

【解析】球所受重力mg與Bs和尸油組成如圖所示的矢量三角形，由圖可知,

故選D。

【變式3-2］（多選）（2025?貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，兩個(gè)工人相互配合將質(zhì)量為加的防盜窗拉上平臺(tái),

。點(diǎn)為O/、OB,0c三根輕繩的結(jié)點(diǎn)，工人甲向左收繩，工人乙站在固定位置放繩。防盜窗緩慢上升的過

程中，當(dāng)。4繩與豎直方向的夾角6=30。時(shí)，/NOC剛好等于150。，重力加速度為g,關(guān)于此時(shí)CM、OC

繩張力G八七c的大小，下列說法正確的有（）

B.T=42mg

A.Toc=mgocC.TOA=42mgD.TOA=

【答案】AD

【解析】如圖所示

cos

TOA=2Toe30°=>/3mg

故選ADo

【變式3-3］（2024?貴州銅仁?二模）輕桿的兩端固定有可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B,不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩兩

端與兩小球連接，輕繩掛在光滑水平固定的細(xì)桿O上，平衡時(shí)的狀態(tài)如圖所示。已知A的質(zhì)量是B的質(zhì)量

的2倍，則OA與OB的長度之比為（

A.1:1B.1:2

【答案】B

【解析】由于是一個(gè)繩子掛在細(xì)桿O上，所以繩子。4段和03段的拉力大小相等，過。做豎直線與交

與。，如圖所示

o

%/TOA

%g

三角形OAD與小球A的矢量三角形相似，同理三角形OBD與小球B的矢量三角形相似，所以有

mT

AgOA

OD~OA

結(jié)合之前的分析，以及題意有

m

A=2：〃B，TOA=T0B

OA_1

~OB~2

故選B。

【變式3-4］（23-24高二下?河北邢臺(tái)?期末）如圖所示，兩個(gè)均可看成質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用一根勁度系數(shù)為

k的輕彈簧連接，置于半徑為R的光滑半球形碗中，平衡時(shí)兩球間距恰好為R,小球B與圓心O的連線與

水平方向的夾角為45。，己知小球B的質(zhì)量為加，重力加速度大小為g。求：

（1）彈簧的原長4；

（2）小球A的質(zhì)量

【答案】（1）1強(qiáng)+R；

【解析】（1）小球B受到的三個(gè)力滿足如圖甲所示的關(guān)系

甲

根據(jù)正弦定理有

mg

sin45°sin60°

又

汽彈=4（品-R）

聯(lián)立解得

3小

（2）解法一：小球A受到的三個(gè)力圍成的矢量三角形如圖乙所示

乙

有

mg_sin15°

Mg。sin45。

解得

/=(i+G)加

解法二：如圖丙所示

o

丙

兩小球的重心處于。點(diǎn)正下方，有

mg_7?sin15°

福一氏sin45。

解得

【變式3-5］（24-25高一上?全國?單元測(cè)試）如圖所示，質(zhì)量分別為嗎和叫的兩個(gè)小球A、B都套在一個(gè)

豎直大圓環(huán)上，大圓環(huán)固定在地面上。長為工的細(xì)繩的兩端分別拴在小球A、B上，然后將細(xì)繩繞過小滑

輪。'，。'位于大圓環(huán)環(huán)心。的正上方。所有摩擦都不計(jì)，當(dāng)它們都靜止時(shí)，求：

N.

（1）大圓環(huán)對(duì)A、B的作用力之比癡&；

IVB

（2）月。'段繩長。

【答案】(1)—(2)々L

m2mx+m2

【解析】（1）設(shè)大圓環(huán)半徑為A,O。'距離為九A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)，對(duì)小球A、B進(jìn)行受力分析，A、

B分別所受的三個(gè)力，平移后均構(gòu)成一個(gè)閉合三角形，如圖所示。

由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

mtghm2g

則

NB加2

（2）由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

TAO'

mxgh

TBO'

m2gh

AO'+BO'=L

解得

AO'=丐L

mx+m2

【變式3-6］（23-24高二下?河北承德?期末）如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為別的小球套在豎直放置的半徑為尺的

光滑圓環(huán)上，勁度系數(shù)為人的輕質(zhì)彈簧一端與小球相連，另一端固定在圓環(huán)的最高點(diǎn)/處，小球處于平衡

狀態(tài)時(shí)，彈簧與豎直方向的夾角0=37。，已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度大小為g,求：

（1）圓環(huán)對(duì)小球的彈力大小N-,

（2）輕質(zhì)彈簧的原長4。

【答案】（1）吟（2）----------9

55k

【解析】（1）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析受力情況，如圖所示

由圖可知，力的三角形和幾何三角形/O8相似，根據(jù)三角形相似有

mg_AO

N~BO

解得

N二mg

（2）設(shè)的長度為3由胡克定律及幾何關(guān)系有

F=k（L-L°）

L=2Rcos（p

mg_AO_R

解得

r8R二-S-m-g---

題型四解決平衡問題（整體法、隔離法）

【例4】（24-25高三上?貴州貴陽?月考）如圖所示，在豎直平面內(nèi)用三根細(xì)線.、b、c將質(zhì)量均為根的兩個(gè)

小球1和2連接，。的另一端跨過定滑輪與小球3相連并懸掛。三小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)線a與豎直方向的

夾角為60。，細(xì)線c水平。不計(jì)滑輪與細(xì)線間摩擦。小球3的質(zhì)量為（）

A.mB.2mC.3mD.4m

【答案】D

【解析】以小球3為對(duì)象，根據(jù)受力平衡可得

T°=m3g

以兩個(gè)小球1和2為整體，根據(jù)受力平衡可得

Tacos60°=2mg

聯(lián)立解得小球3的質(zhì)量為

m3=4m

故選D。

【變式4-1］（24-25高三上?黑龍江?開學(xué)考試）如圖所示，一光滑球體放在三角形木塊與豎直墻壁之間，整

個(gè)裝置保持靜止。己知三角形木塊N8邊與水平地面的夾角夕=53。，光滑球體的質(zhì)量為如三角形木塊的

質(zhì)量為3加，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取sin53o=0.8,則三角形木塊和水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少

【答案】C

【解析】對(duì)光滑球體受力分析如圖所示

mg

由幾何知識(shí)可得

N]=Mgtan530

把三角塊和球作為一個(gè)整體受力分析如圖

可得

%=M=*

FN=4mg

解得

1

"=飛

C正確。

故選C。

【變式4-2]（24?25高一上?全國?課后作業(yè)）春節(jié)掛燈籠的習(xí)俗起源于1800多年前的西漢時(shí)期，人們掛起

燈籠來營造一種喜慶的氛圍。如圖所示，由五根等長的輕質(zhì)細(xì)繩懸掛起四個(gè)質(zhì)量相等的燈籠，中間的細(xì)繩

是水平的，另外四根細(xì)繩與水平天花板面所成的角分別為4=60。和%（未知）。設(shè)懸掛在天花板處繩子的

拉力大小為大，水平段繩子的拉力大小為鳥，每個(gè)燈籠的質(zhì)量為如重力加速度為g,下列關(guān)系式中正確

口口

口IZZI

AL4J3D?_4

A.F=-----mgB.F=—mg

1323

拒取

c.FX=F2D.F\=

【答案】A

【解析】對(duì)左邊兩個(gè)燈籠整體受力分析，如答圖所示。

由力的平衡條件可知

Fxcos'=F2

Fxsin4=2mg

解得

口4石

￡=—mg

口1?2^/3

F2=-F\=—mg

故選Ao

【變式4-3］（24-25高三上?江蘇泰州?月考）如圖所示.質(zhì)量為M、半徑為R的半圓柱形物體A放置在水平

地面上，用一端連接在圓柱最高點(diǎn)尸處的細(xì)繩拉住一個(gè)質(zhì)量為〃八半徑為r的光滑球B,細(xì)繩恰好水平且系

統(tǒng)靜止，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.A對(duì)地面的壓力大小為（”+7〃）gB.地面對(duì)A沒有摩擦力的作用

C.B對(duì)A的壓力大小為皿士勺D.細(xì)線對(duì)小球的拉力大小為等

RR

【答案】D

【解析】AB.對(duì)AB整體受力分析，受重力和支持力，相對(duì)地面無相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)，故不受摩擦力，根據(jù)平

衡條件，支持力等于整體的重力，即

FN={M+m）g

根據(jù)牛頓第三定律，整體對(duì)地面的壓力與地面對(duì)整體的支持力是相互作用力，則有

耳=綜=（M+m）g

故對(duì)地面的壓力大小等于（M+/〃）g,故AB正確，不符題意;

CD.對(duì)光滑球B受力分析，如圖所示

根據(jù)平衡條件，則有

尸=9T—mgtand

cosO

其中

=tan*

解得

R+r

F=『g,

故C正確，不符題意；D錯(cuò)誤，符合題意。

故選D。

【變式4-4］（24-25高三上?河北唐山?開學(xué)考試）兩個(gè)完全相同的截面為四分之一光滑圓面的柱體A、B按

如圖所示疊放，A的右側(cè)有一光滑豎直的擋板，A和B的質(zhì)量均為相。現(xiàn)將擋板緩慢地向右移動(dòng)，整個(gè)過

程中B始終保持靜止，當(dāng)A將要落至水平地面時(shí)，下列說法正確的是（）

A.A對(duì)B的壓力大小為加gB.B對(duì)地面的壓力大小為加g

C.A對(duì)豎直墻面的壓力大小為2:〃gD.B受到水平地面的摩擦力大小為e

【答案】D

【解析】A.對(duì)A受力分析如圖，由幾何關(guān)系可知，B對(duì)A的支持力與豎直方向夾角為60。，則B對(duì)A

的支持力為

即A對(duì)B的壓力大小為2%g,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

B.對(duì)A、B的整體受力分析可知，地面對(duì)B的支持力為2加g,即B對(duì)地面的壓力大小為2/wg,選項(xiàng)B錯(cuò)

誤；

C.墻壁對(duì)A的支持力為

FN=mgtan60°=y/3mg

可知A對(duì)豎直墻面的壓力大小為VJmg，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

D.對(duì)整體分析可知，B受到水平地面的摩擦力大小等于墻壁對(duì)A的支持力，即為

f=FN=乖mg

選項(xiàng)D正確。

故選D。

【變式4-5]（24-25高三上?廣東東莞?月考）如圖所示，一傾角為53。質(zhì)量為M=5kg的斜面體A置于水平

面上，在斜面體和豎直墻面之間放置一質(zhì)量為加=6kg的光滑小球B,斜面體A受到水平向右的推力?，使

A、B系統(tǒng)始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知斜面體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.2。最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,

sin53°=0.8,cos53°=0.6,重力加速度g取10m/s2。求：

（1）小球B受到斜面體A彈力N/的大小和受到墻面彈力電的大小;

（2）地面對(duì)斜面體A支持力N的大小；

（3）水平向右的推力下的最小值。

【答案】（1）N|=100N,N2=80N（2）HON（3）58N

【解析】（1）對(duì)B球受力分析，受重力mg,A的彈力N/,墻面的彈力M，受力如圖所示

N、

▼mg

根據(jù)平衡條件有

N、sin0=N2,N、COS0=mg

解得

N]=100N,N2=80N

（2）系統(tǒng)始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，對(duì)系統(tǒng)根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件可知，豎直方向有

N=（M+加）g=110N

（3）水平向右的外力最?。ㄔO(shè)為心而）時(shí)，斜面體可能有向左運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，由于

ym=//(m+M)g=22N<2V2=80N

則有

Fwia+fm=N2

解得

58N

題型五動(dòng)態(tài)平衡分析（解析法）

【例5】（24-25高三上?北京東城?開學(xué)考試）使用自卸式貨車可以提高工作效率。如圖所示，在車廂由水

平位置緩慢抬起至最后達(dá)到豎直的全過程中，關(guān)于貨物所受車廂的支持力FN和摩擦力及，下列說法正確的

是（）

A.支持力FN逐漸減小