2024-2025學年人教版九年級數(shù)學下冊專項復習：相似三角形的判定與性質（30題）（解析版）

專題提升相似三角形的判定與性質（30題）

1.（2023?東莞市校級一模）如圖，在平行四邊形A2CZ）中，AB=8.在的延長線上取一點8,使CE=

—BC,連接AE,AE與CD交于點F.

3

（1）求證：AADFsAECF；

（2）求。尸的長.

【分析】（1）由平行四邊形的性質可得出AO〃BE,從而得出/ZMF=/CEF,ZADF=ZECF,即證明

叢ADFs叢ECF；

（2）由平行四邊形的性質可得出AO=BC,AB=CD=S,即得出旭1=3,再根據(jù)相似三角形的性質可得

CE

出處理，即此=3，最后結合CO=DP+CF,即可求出。尸的長.

CECFCF

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。為平行四邊形，

J.AD//BC,BPAD//BE,

：.ZDAF=ZCEF,ZADF=ZECF,

：.△ADFsXECE；

（2）解：：四邊形ABCZ）為平行四邊形，

C.AD^BC,AB=CD=8,

CE^yAD'即祟=3-

oCD

AADF^AECFf

...坦理，BpDF_=3.

CECFCF

CD=DF+CF,

2

???DF?D=6-

4

2.（2022秋?細河區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABC。，DE交BC于F,交AB的延長線于E,且NEDB=N

C.

(1)求證：AADEsADBE；

(2)若DC=1cm,BE=9cm,求。E的長.

【分析】（1）由平行四邊形的對角相等，可得/A=NC,即可求得/4=/即2,又由公共角/E=NE,

可證得ADBE；

（2）根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，進而解答即可.

【解答】（1）證明：平行四邊形A8CD中，ZA=ZC,

:NEDB=NC,

：.NA=NEDB,

又/E=NE,

LADEsADBE；

(2)平行四邊形ABC。中，DC=AB,

由(1)得AADES^DBE,

?.?一DE二BE,，

AEDE

,:DC=7cnt,BE=9cm,

'.AB=lcm,AE=\6cm,

DE=12cm.

3.（2023秋?高新區(qū)校級期中）如圖，在矩形ABC。中，E是邊8C的中點，OFLAE于點E.

⑴求證:需嘿

(2)若A8=4,BC=6,求AF的長.

【分析】（1）由四邊形ABC。為矩形，DFLAE,可得NR4￡=NADF,推導出即可證

明結論;

（2）E為BC的中點，根據(jù)勾股定理可得4E=5,再根據(jù)相似三角形的性質即可列出比例式求得AF的

長即可.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD為矩形，DF±AE,

：.ZB=ZAFD=90°,

ZBAE+ZEAD=ZEAD+ZADF=90°，

：.NBAE=ZADF,

：.△ADFsdEAB,

.AF=AD

"BEAE'

（2）解：：E為BC的中點，

：.BE=^BC=3,

2

在Rt/XABE中，AE=^AB2+BE2=742+32=5-

..AF=AD

'BEAE'

.AF_6

??~~~~~9

35

4.（2023秋?豐澤區(qū)校級期中）小軍在學習相似三角形時，遇到這樣一個問題:

（2）如圖2,已知/A=81°,AC2=AB'AD,BC=BD,求/ABC的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)NACP=/B,NC4尸=NA4C即可得出結論；

（2）先由4C2=42?A￡）得A￡）：AC^AC：AB,再根據(jù)NC42=NZMC可判定△ACB和△&￡＞（7相似，進

而得NACB=/。，然后由BC=BD得/BCD=ND,據(jù)此可得出NACO=2N。，然后利用三角形的內(nèi)

角和定理可求出/。=40°,進而可求出乙4BC的度數(shù).

【解答】（1）證明：VZACP=ZB,ZCAP=ZBAC,

???AACP^AABC；

(2)解：VAC2=AB-AZ),

：.AD：AC=AC：AB,

又???NCA8=NOAC,

/.AACB^AADC,

???ZACB=ZD,

■:BC=BD,

：.ZBCD=ZDf

：.ZACD=ZACB+ZBCD=2N。，

VZACZ)+ZD+ZA=180°,ZA=81°,

/.2ZD+ZD+810=180°,

，NO=33°,

：.ZBCD=ZD=33°,

AZABC=ZBCD-^ZD=66°.

5.(2023秋?武侯區(qū)校級期中)如圖，團A5CD中，AE_LBC于點點廠在3C的延長線上，且C尸=8。

連接AC,DF.

(1)求證：四邊形AE尸。是矩形：

(2)若/ACQ=90°,AE=4,CF=3,求=~/的值.

^ADFC

【分析】(1)先證明四邊形AEFO是平行四邊形，再證明/AEF=90°即可;

(2)根據(jù)矩形的性質和相似三角形的判定和性質解答即可.

【解答】(1)證明：：

CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

在12ABe。中，AD//BCS.AD=BC,

.?.AO〃所且AO=EF.

四邊形AEFD是平行四邊形.

'：AE±BC,

：.ZAEF=90°.

...四邊形AEED是矩形；

(2)解：：四邊形AEED是矩形，

ZAEC=ZDFC=90°,AE=DF=4,

：.ZEAC+ZECA=90°,

VZACD=90°,

：.ZECA+ZDCF=90°,

：.ZEAC=ZDCF,

：.AAECs^CFD,

?AE=CF=2

"ECDFT

：.EC=2AE=^-

3

[XAEXEC[x4X孕

.QSAAEC_2_________2316

SACFD^XCFXDF4X3X49

6.（2023秋?浙江期中）如圖1,在正方形ABCD中，煦=工，F(xiàn)為BE上的一點，連結CF并延長交48

DE2

于點M,作MNLCM交邊A。于點N.

(1)當尸為BE中點時，求證：AM=2CE-,

(2)如圖2,若里=2,求迪的值.

BF3ND

圖1圖2

【分析】（1）如圖1中,證明△BEMg/iiEFC（ASA）即可解決問題.

（2）如圖2中，由4B〃C。，推出眼用1=2,設CE=2k,則BM=3G,推出CO=A8=4比證明△

BMBF3

AMNsABCM,可得期可得AN=3k，ND=—k,由此即可解決問題.

BMBC222

【解答】（1）證明：如圖1中,

?..四邊形A8CO是正方形,

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZMBF=ZCEF,

"：BF=EF,ZBFM=ZCFE,

:.△BFM名AEFC(ASA),

:.BM=CE,

..CE=1

,DE5，

2

(2)解：在正方形ABC。中，AB//CD,

ZFMB=ZFCE,ZFBM=ZFEC,

.?.△FBMsAFEC,

?.?EC—EF二2一,

BMBF3

設CE=2k,則比

..CE=1

,DE5，

:.DE=4k,

：.CD=AB=4k,

J.AM^AB-BM=3k,

,:MNLCM,

：.ZNMC=90°,

：.ZAMN+ZBMC^90°,

'：ZA+ZABC=90°,

:.NAMN+NANM=90°,

ZBMC=/ANM,

：.LAMNs^BCM,

.ANAM1

?.----=-----—,

BMBC2

;.AN=3k，

2K

J.ND^AD-AN=—k,

2

3k

.AN_2\1

"ND

7k

7.(2023秋?天寧區(qū)校級期中)如圖，在平面直角坐標系中，A(—2，0)，B(0,3),點C在x軸上，且

4

△AOBs^BOC.

（1）求C點坐標、NABC的度數(shù)；

（2）在線段AC上是否存在點M,使得以線段8/為直徑的圓與邊BC交于P點（與點8不同），且以

點P、C、。為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

【分析】（1）由△AOBS^BOC,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求出OC的長度，得出C點坐標；

根據(jù)相似三角形的對應角相等得出/O4B=NO8C,從而得出NABC=90°；

（2）如果以點尸、C、。為頂點的三角形是等腰三角形，那么分三種情況討論：①CP=C。；②PC=PO；

③OC=OP.針對每一種情況，都應首先判斷M點是否在線段AC上，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成

比例求出點M的坐標.

【解答】解：（1）由題意，A（-.0），B（0,3）,

4

：.OA=^-,08=3,

4

,/△AOBs^BOC,

：.ZOAB^ZOBC,

?OA=OB

"OROC

9

.T_3

??--------,

3OC

OC=4,

：.C(4,0)；

：.ZOAB+ZOBA=90°,

；./OBC+/OBA=90°,

：.ZABC=90°；

(2)設M(m,0),

①如圖1,當CP=C。時，點尸在為直徑的圓上,

為圓的直徑，

ZBPM=90°,

圖1

：.PM//AB,

CM：CA=CP：CB,

CM：6.25=4：5,

:.CM=5,

.*.m=4-5=-1,

.,.點w的坐標為（-1,0）；

②如圖2,當PC=P。時，點尸在為直徑的圓上，且點尸在OC垂直平分線上,

.?.PC=_1BC=2.5,

2

?.,BM為圓的直徑，

ZBPM=90°,

J.PM//AB,

：.CM=^-AC=—,

28

...點M的坐標為（［，0）；

8

③當0c=。尸時，M點不在線段AC上.

綜上所述，點M的坐標為（工，0）或（T,0）.

圖2

8.（2023秋?衛(wèi)輝市期中）如圖，在正方形ABCZ）中，在BC邊上取中點E,連接DE,過點E作

交AB于點G、交D4延長線于點E

（1）求證：AECDs^DEF；

(2)若CQ=4,求AF的長.

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得出NFEZ）=/C=90°,BC//AD,根據(jù)平行線的性質得出NCE￡>=N

FDE,再根據(jù)相似三角形的判定得出即可；

（2）根據(jù)正方形的性質得出NC=90°,AD=BC=CD=4,求出CE,根據(jù)勾股定理求出DE,根據(jù)相

似得出比例式，代入求出即可.

【解答】（1）證明：：在正方形ABC。中，EF±ED,

：.ZFED=ZC=90°,

'JBC//AD,

：.ZCED=ZFDE,

:.叢ECDs叢DEF；

(2)解：：四邊形ABCQ是正方形，

；.NC=90°,AD=BC=CD=4,

「E為BC的中點，

；.CE=0.52C=2

在RtZXDCE中，

由勾股定理得：DE1=CE2+DC2=22+42=20,

■:AECDs/\DEF,

：.CE：DE=DE：DF,

：,2：DE=DE：DF,

2DF=DE2,

解得：DF=10,

VAD=4,

：.AF^DF-AD^10-4=6.

9.（2023秋?西安期中）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點O,EBLAB,垂足為點2,交

AC于點E.

⑴求證:

(2)若AE=6,AB=5,求EC的長.

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質得到ACLBD,AB=BC,證明△EOBs^EBA,根據(jù)相似三角形的性質證

明即可；

（2）證明根據(jù)相似三角形的性質求出。4,根據(jù)菱形的性質計算即可.

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。為菱形，

：.AC±BD,AB=BC,

\'EB±AB,

：.ZEOB=ZEBA,

'：ZOEB=ZBEA,

:.AEOBs^EBA,

?OE=BE

"OBAB'

"：AB=BC,

.OE=BE.

*'0BBC'

（2）解：VZAOB=ZABE=90°,ZOAB=ZBAE,

：.AAOBsAABE,

.OA=AB

"ABAE'

VAE=6,AB=5,

?.?-0-A_-5,

56

解得：。4=至，

6

：.EC=2OA-AE=^--6=工.

33

10.（2023秋?寶山區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點E,ZBAC=ZBZ）C=90°.（1）

求證：AABEs"DE；

（2）如果坦求也迦的值.

BC4SABCE

A

D

/E

BC

【分析】(1)根據(jù)兩組角對應相等的兩三角形相似；

(2)利用相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解.

【解答】(1)證明："：ZBAC=ZBDC=90°,

又：ZAEB=ZDEC,

：.LABEsADCE；

(2)解：VAABE^ADCE,

.AEBE

??--二-，

DECE

,/ZAED=ZBEC,

：./\AED^/\BEC,

.ADV5

??---------,

BC4

?SAADE5

??-?

^ABCE16

11.(2023秋?羅湖區(qū)校級期中)在銳角三角形ABC中，點。、￡分別在邊A3、AC上，AFLBC于點尸,

AG_LZ)E于點G,ZBAF=ZEAG.

(1)求證：AABCsAAED；

(2)若AB=5,AG=2,EG=1,求AF的長.

【分析】(1)根據(jù)等角的余角相等證明即可解決問題；

(2)由△A3PSZV1EG,得生1=金殳，然后根據(jù)勾股定理求出AE,進而即可解決問題.

AGAE

【解答】(1)證明：AF±BC,

：.ZAFB=ZAGE=90°,

,:NBAF=NEAG,

：.ZAED=ZABC,

'：ZEAD=ZBAC,

：.△age；

（2）解：由（1）可知：ZAFB=ZAGE=90°,

■:NBAF=NEAG,

：.AABF^AAEG,

.AF=AB

AGAE"

\'AB=5,AG=2,EG=1,AG±DE,

AE=VAG2+EG2=722+12=煙，

.AF_5

FF

：.AF=2yf5-

12.（2023秋?丹陽市期中）如圖，在團ABC。中，E為A8邊的中點，對角線AC、BD交于點O.連接。E

交AC于點況且0尸=2.

（1）求對角線AC的長度；

（2）若△&￡）尸的面積為4,求四邊形E8CF的面積.

【分析】（1）回ABC。中，對角線AC、8。交于點O,則。4=OC,由于E為AB邊的中點，可得EO是

△A8O中位線，從而。E〃A。且AZ）=2OE,列比例式即可解決；

（2）根據(jù)同高三角形面積之比等于底的比，主要利用由（1）得OF：AF=1：2和平行四邊形兩對角線

相交分的四個三角形面積相等即可解決.

【解答】解：（1）:在忸4BCD中，對角線AC、2。交于點O,

：.OA=OC,OB=OD,

為AB邊的中點，

.?.EO是△A3。中位線，

OE//AD且AD=2OE,

.OEOF=1

"AD"AFT

OF=2.

：.AF=4,

：.AO^FO+AF^6,

：.AC=2OA=12；

(2)由(1)知OF：AF=1：2,

SAADF：S/\DOF=OF：AF=1：2,

-^-S^ADF=S/^DOF9

2

;△A。尸的面積為4,

??S/\DOF~2,

SAAOD=S/^ADF：+5/\。。/=4+2=6,

由于在重45。。中，對角線AC、BD交于點、O,

**?S/^ABC=2S^AOD=12,

由(1)知OE〃AD,

?.O.—FE——F=1一,

AFDF2

/.S/\ADF：S^AEF=DF：EF=2：1,

=2

.,.SAA￡F=-j-SAADF>

四邊形EBCF的面積=SAA5C-SMEF=12-2=10.

13.(2023秋?城關區(qū)校級期中)如圖，DE//BC,且NABE=NC

(1)求證：AE1=AD*AB；

(2)如果AE=4,BD=6,求AD

【分析】（1）易證△ABEs/XACB,以此得到AC=屈一，易證△ADEs/^ABC,得到坦將AC

AEABAC

=A歐代入整理即可得到所證結論；

AE

（2）由8。=6,可得AB=6+A。，結合（1）中的結論可得關于40的一元二次方程，求解即可.

【解答】（1）證明：/A=NA,

...△ABEs/\ACB,

???A-E二AB1，

ABAC

,:DE〃BC,

：.△ADEs△ABC,

???-A-D--A-E-,

ABAC

.AD_AE

.演至，

AE

整理得：AE1=AD-AB；

(2)解：,：BD=6,

，AB=BD+AD=6+AD,

由(1)知，AE2=AD*AB,

：.42^AD(6+AD),

解得：A￡>=2或A￡>=-8(不合題意，舍去)，

：.AD=2.

14.(2023秋?高新區(qū)校級期中)如圖，RtZxABC的兩條直角邊4B=4cm,AC=3C7W,點。沿AB從A向8

運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從8向C運動，速度為2的/秒.動點￡到達點C時運動終止.連

接。E、CD、AE.

(1)當動點運動時間1=空或色秒時，△3DE與△ABC相似.

-13-7-

(2)在運動過程中，當CCDE時，r為何值？請說明理由.

C

【分析】設。點運動時間為r秒，則秒，BD=(4-t)秒，8E=2f秒，CE=(5-2力秒(OWr

W$)；

2

(1)分類：當NBDE=NBAC,即EZ)_LAB時，RtABOE^RtABAC；當NBDE=/BCA,BPDELBC

時，RSDEsRdBCA,然后分別根據(jù)三角形相似的性質得到比例線段求出,的值；

(2)先計算出。F=A8-A。-若CD_LDE,則易證得RtZVLCOsRtZiQE,然后根據(jù)三角形相似

的性質得到比例線段求出t.

【解答】解：設。點運動時間為f秒，則AD=f秒，BD=(4-力秒，2E=2f秒，CE=(5-2力秒(0

2

(1)當NBDE=/BAC,即即_LAB時，RtABDE^RtABAC,

：.BD：BA=BE：BC,即(4-f)：4=2f：5,

?.?l--2-0-;

13

當NBDE=NBCA,即OE_LBC時，RtABDE^RtABCA,

：.BD：BC=BE：BA,即(4-r)：5=2t：4,

?L8

??l——;

7

所以當動點運動致秒或反秒時，△BOE與AABC相似;

137

故答案為：型或S；

137

(2)當CD_LOE時，t=2秒.理由如下：

13

DF=AB-AD-BF=4-t--=4-—t,

55

\'CD±DE,

：.ZCDE=90°,

：.ZZADC+ZEDF=90°,

VZBAC=90°,

：.ZADC+ZACD=90°,

/.ZACD=ZFDE,

:NCAD=NDFE,

：.RtAACD^RtAFDE,

：.AC：DF=AD：EF,即3：(4-基力=t：弛,

55

15.(2023秋?拱墅區(qū)校級期中)如圖，在四邊形A8CD中，AC平分/D48,AC2=AB'AD,ZADC=9Q°,

點E為AB的中點.

(1)求證：

(2)若A￡>=2,AB=3,求處的值.

AC

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得到/ZMC=/CA8,根據(jù)相似三角形的判定定理證明；

(2)根據(jù)相似三角形的性質得到NACB=/ADC=90°,根據(jù)直角三角形的性質得到CE=A￡,根據(jù)等

腰三角形的性質、平行線的判定定理證明CE〃A。，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題.

【解答】(1)證明：平分

:.NDAC=/CAB,

?：AC2=AB-AD,

.AC=AD

"ABAC"

AADC^AACB；

(2)解：由(1)知：AADC^AACB,

/.ZACB=ZADC=90°,

?..點E為AB的中點，

：.CE^AE^—AB=—,

22

：.ZEAC=ZECA,

：.NDAC=ZEAC,

：.ZDAC=ZECA,

：.CE//AD,

3_

.CF=CE=7=2

ADT

?AF=1

*'AC7'

16.(2023秋?梁溪區(qū)校級期中)如圖，已知AB〃CF,點。是AB上一點，OE交AC于點E,MDE=FE.

(1)求證：AADE2ACFE；

(2)若AB=7,CP=4,求3。的長.

D

BC

【分析】(1)利用角角邊定理判定即可；

(2)利用全等三角形對應邊相等可得AO的長，用A8-AO即可得出結論.

【解答】(1)證明：

：./A=NECF,NADE=/F,

在△ADE和△0?￡■中，

，ZA=ZECF

"ZADE=ZF-

DE=FE

:.△ADEgACFE(AAS)；'

(2)解：由(1)知，AADE^ACFE,

：.AD=CF=4,

'：AB=1,

J.BD^AB-AD=1-4=3.

17.(2023秋?鹿城區(qū)校級期中)如圖，點E是矩形ABC。的邊CB上的一點，AfUZJE于點R

(1)求證：△AFDsXDCE.

【分析】(1)根據(jù)四邊形ABC。是矩形可得出NAOC=NC=90°,再根據(jù)相似三角形的判定定理可得

出由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；

(2)由矩形的性質可得出DC的長及/A￡>C=/C=90°,利用勾股定理可求出。E的長，由垂直的定

義可得出NAFD=NC,利用同角的余角相等可得出NEDC=/IMF進而可得出△EDCs再利

用相似三角形的性質可求出DF的長度.

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是矩形，

AZADC=ZC=90",

/.ZADF+ZCDE=90°,

'：AF±DE,

：.ZAFD=ZDAF+ZFDA=90°,

：.ZFAD=ZCDE,

又?.?/C=/Af7)=90°,

LAFDs4DCE；

(2)解：：四邊形A2CZ)是矩形，

：.DC=AB=4fZADC=ZC=90°.

?；CE=L

==22

???DFVDC-K：E="+]2=V17.

'：AF±DE,

ZAFD=90°=ZC,ZADF+ZDAF=90°.

又,

ZEDC=ZDAF,

:.AEDCsADAF,

?AF=AD

"DCDE

.AF_2

.丁后

迎

17

即AF的長度為WH.

18.(2023秋?秦都區(qū)校級期中)如圖，在菱形ABC。中，連接AC,“為邊AB延長線上一點，連接。H,

分別交對角線AC、邊8C于M、C兩點，連接BM.

(1)求證：/CBM=NCDM；

(2)若DM=2娓,MG=2,求的長.

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質判定可得/1=/2,AD=BC,則即可得結論;

(2)結合(1)的結論證明利用相似三角形的判定和性質即可得結論.

【解答】(1)證明：在菱形ABC。中，連接AC,

.\Z1=Z2,AD^BC,

又；CM=CM,

:.ACDM咨4BCM(SAS),

J.ZCBM^ZCDM；

(2)解：在菱形ABC。中,

：.CD//AH,

：.ZH=ZCDM,

由(1)知△COMg/kBCM,

ZCBM=ZCDM,DM=BM=2a,

：.ZH=ZCBM,

又；ZBMG=HMB,

，叢BMGs叢HMB,

.BM_MG

"MH"BM'

.啦__2

MH273

解得：MH=6.

19.(2023秋?裕華區(qū)月考)如圖所示，延長平行四邊形A8CD一邊BC至點尸，連接AP交于點E,若

-D-E-二—1.

CE3

(1)求證：AADEs^FBA；

(2)若BC=3,則CB的長9.

【分析】（1）利用平行四邊形的性質可以證明△AOESZXFBA；

（2）結合（1）利用相似三角形的性質和已知條件即可求解.

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。為平行四邊形，

J.AD//BF,AB//CD,AD=BC,

：./1ADE^/\FCE,△尸ECs△物B,

AADE^AFBA；

（2）解：VAADE^^FCE,

.AD=DE

"CFCE'

..DE=1

,CE3"

：.CF^3AD^3BC,

,:BC=3,

；.CF=9,

故答案為：9.

20.（2023?石城縣模擬）如圖，AE平分。為AE上一點，/B=/C.

（1）求證：LABE-"CD；

（2）若。為4E中點，BE=4,求C。的長.

【分析】（1）根據(jù)角平分線定義可得/B4E=NCAZ）,進而可以證明結論；

（2）結合（1）,根據(jù)相似三角形的性質即可求解.

【解答】（1）證明：平分/54C,

：.ZBAE=ZCAD,

'：ZB=ZC.

：.AABEsAACD；

（2）解：:?。為AE中點，BE=4,

：.AE^2AD,

AABE^AACD,

.BE=AE

"CDAD'

.4=2AD

"CD而，

:.CD=2.

21.（2023秋?朝陽期中）如圖，在△ABC中，D、E分別在AC、AB上，AG_LBC于點G,于點R

ZEAF=ZGAC.

（1）求證：AADEsAABC.

（2）若AZ）=5,AB=I,求變的值.

GC

【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明NAEO=/ACB,即可解決問題;

(2)由△ADEs/vlBC,推出處望_,可得處=旦，再證明△￡AFsZ\c4G,可得空望＞,由此即

ACABAC5GCAC

可解決問題.

【解答】(1)證明：VAGXBC,AFLDE,

：.ZAFE^ZAGC^90°,

'：ZEAF=ZGAC,

：./AED=ZACB,

'：ZEAD=ZBAC,

：./\ADE^/\ABC.

(2)解：由(1)可知：AADE^AABC,

?.?-A-E-=AD一,

ACAB

\'AD=5,AB=7,

?.?-A-E--5-,

AC7

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,

NEAF=NGAC,

:.△EXFsXChG,

.EFAE

??—,)

GCAC

?EF

"GC7'

22.(2022秋?內(nèi)江期末)如圖，已知△ABC中，AB=AC,點。、E分別在邊BC、AC上，/ADE=NB.

(1)求證：AABDs^DCE；

(2)若AB=5,BC=6,BD=2,求點E到BC的距離.

【分析】（1）由等腰三角形的性質可得/B=/C,由外角的性質可得/血。=/?！?可得結論;

（2）由相似三角形的性質可求解.

【解答】（1）證明：

.*.ZB=ZC,

ZADC=NB+NBAD=ZADE+ZCDE,

：.ZBAD=ZCDE,

：.AABDsADCE；

(2)如圖，過點A作AHLBC于H,過點E作EMLBC于Af,

'：AB^AC,AHLBC,

:.BH=CH=3,

AH=^AB2-BH2=V25-9=4,

,:BD=2,BC=6,

：.DC=A,S^ABD=—XBD'AH=4,

2

,/4ABDs/\DCE,

.SAABD_（里）225

S/kCDECD16

/■SACD￡=—,

25

二工X4XEM=挺，

225

25

23.(2023秋?泗水縣期中)如圖，AB為(DO的直徑，射線AC交。。于點C,平分/CA8交。。于點。,

過點。作直線。ELAC于點E,交A3的延長線于點f連接并延長交AC于點

(1)求證：直線。E是。。的切線；

(2)若/歹=30°,施=愿，求。M的長.

M

E

Ar0jBF

【分析】（1）連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質得到NOZM=NOAD,根據(jù)角平分線的定義得到

=ZDAC,證明OD〃AC,根據(jù)平行線的性質得到。ELOD,根據(jù)切線的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)題意求出NKDE=30°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質計算，得到答案.

【解答】（1）證明：連接?！?gt;,

'：OD=OA,

：.ZODA=ZOAD,

,.ND平分NCAB,

：.ZOAD=ZDAC,

：.ZODA=ZDAC,

J.OD//AC,

\'DE±AC,

：.DE.LOD,

是。。的半徑，

直線QE是。。的切線；

（2）解：是。。的直徑,

ZADB=9Q°,

由（1）可知：OD〃AC,ZODF=ZAED=90°,

VZF=30°,

：.ZBAM=ZFOD=60°,

"：OB=OD,

.?.△080=60°,

ZBAM^ZABM=ZM=60°,

...NMDE=30°,

：.DM=2ME=243.

M

E

—F

24.(2023秋?祁陽縣期中)如圖，在△ABC中，/B=NC,點P從B運動到C,且

(1)求證：AB-CD=CP?BP；

(2)若AB=6,BC=10,求當8尸長為多少時，PD//AB.

【分析】(1)先根據(jù)得出NB=/AP。，證明NOPC=N54P,得出△ABPs/^pc。，根據(jù)相似三角形性

質得出坐營，即可證明結論；

CPCD

(2)根據(jù)平行線的性質得出NBAP=/APD=NC,證明△BAPS/XBCA,得出組典，根據(jù)AB=6,

BCAB

BC=10,求出BP二^,即可得出當BP3■時，PD//AB.

55

【解答】(1)證明：,??N5=NC,ZAPD=ZC,

：.NB=NAPD,

*.?ZAPC=NAPD+NDPC,ZAPC=/B+NBAP,

：.ZDPC=ZBAP,

：.ZkA8尸s△尸co,

?

??—AB二BP，,

CPCD

：.ABCD=CPBP.

(2)解：如圖，PD//AB,

:?/BAP=/APD=/C,

又?：/B=/B,

:ABAPsABCA,

?AB_BP

??—二一，

BCAB

VAB=6,BC=10,

?.?--6"-B-P-,

106

BP喈,

b

即當BP亭■時，PD//AB.

25.(2023秋?普陀區(qū)期中)如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC、2。相交于點E,過點E作A。的平行

線FG,分別交AB、0c于點八G,且空口■.

FBGC

(1)求證：EG//BC；

(2)如果EP=2,A￡)=3,求BC的長.

【分析】（1）由平行線分線段成比例可得理_=坐，可得坐=空，可得結論;

GCECECBF

（2）通過證明△EFBS/VDAB,可得甄=度，可求空」，即可求解.

ADABAB3

【解答】（1）證明：

.DG=AE

"GC而’

.?.-A-F-二-D--G，

BFGC

.AE=AF

"EC而'

:.EG〃BC；

⑵解:'：FG//AD,

:.叢EFBs叢DAB,

.EF=BF

ADAB'

\"EF=2,AD=3,

?.?-B-F_-2,

AB3

?.?AF1

AB3

U：FG//AD,

AAEF^AACB,

?.?-A-F-=EF一,

ABBC

?.?-1_--2,

3BC

：.BC=6.

26.（2023秋?商水縣期中）轉化是解決數(shù)學問題常用的思想方法之一，它可以在數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、形與形

之間靈活應用.如圖1,已知在RtZXABC中，乙48c=90°,BC=8,AB=6.請解答下面的問題：

觀察猜想：（1）如圖1,將△ABC繞點C按順時針方向旋轉60°得到連接則的形

狀是等邊三角形；

探究證明：（2）如圖2,點、D,E分別是邊BC,AC的中點，將△COE繞點C按順時針方向旋轉60°得

到△CA/N,連接MB,AN.

①求證：△ACNs/\BCM；

②求4V的長.

【分析】（1）如圖1,根據(jù)旋轉的性質得到CM=CB,ZBCM=60°,則根據(jù)等邊三角形的判定方法可

判斷△BCM為等邊三角形；

（2）①由于點。，E分別是邊BC,AC的中點，所以生=型，再根據(jù)旋轉的性質得到CN=CE,CM

CACB

=CD,ZACN=ZBCM=60°,所以型=&叢，從而可判斷△ACNs/iBCAf；

CACB

②先利用勾股定理計算出AC=10,則CN=CE=5,過N點作NHLAC于//點，如圖2,利用含30度

角的直角三角形三邊的關系得到CH=a,人發(fā)=顯巨，然后在RtAANH中利用勾股定理可計算出AN

22

的長.

【解答】（1）解：如圖1,「△ABC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△闞（7,

：.CM=CB,ZBCM=60°,

...△BCM為等邊三角形；

故答案為：等邊三角形；

（2）①證明：丁點E分別是邊BC,AC的中點，

.CE=CD

"CACB'

ACDE繞點C按順時針方向旋轉60°得到

：.CN=CE,CM=CD,/ACN=NBCM=60°,

.CN=CM

"CACB'

ZACN=ZBCM,

：.4ACNsABCM；

②；NABC=90°,2C=8,AB=6,

4C=針+§2=10,

：.CN=CE=5,

過N點作NHLAC于H點，如圖2,

在RtZXCNH中，

'：ZNCH=60°,

:.CH=LCN="

22

NH=y/3CH=,

2

：.AH=AC-CH=^-,

2

在RtZXAMZ中，所而m+AH2T（呼）2+（號）2=5相.

27.(2023秋?金堂縣期中)在菱形48。中,備為對角線,￡、E分別為8。、。(7邊上的點,且/￡慶「='/8，D，

射線AE交DF的延長線于點G,射線AF交BE的延長線于點H.

(1)求證：AF2=FC'FG；

(2)若AF=3,C尸=1,AG=10,求CH的長.

AD

【分析】(1)先根據(jù)菱形的性質得到NAa>=上/2C。，再利用/胡歹=2/2?！?得到/ACD=NEAR

22

則可判斷△MCszXFGA,然后利用相似三角形的性質得到結論；

(2)由(1)的結論可計算出尸G=9,貝!ICG=8,再利用△E4CsZ\f'GA得到NE4C=NG,空■二空,

AGAF

則可求出AC=」2,接著證明△AC8S^GC4,然后利用相似比可求出C8的長.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABCZ）為菱形,

ZACB^ZACD,

即ZACD^-^-ZBCD,

2

'：ZEAF=—ZBCD,

2

：.ZACD=ZEAF,

VZAFC=ZGFA,ZFCA=ZFAG,

:.△FXCs△FGh,

：.AF-.FG=CF-.AF,

：.AF2^FC*FG；

（2）解：-：AF1^FC-FG,

：.32=IXFG,

：.FG=9,

：.CG=8,

VAMC^AFGA,

解得AC=此，

3

?..四邊形ABC。為菱形，

ZDAC^—ZBAD,ZBAD=ZBCD,

'：ZEAF=^-ZBCD,

2

：.ZEAF=ADAC,

：.ZDAH^ZCAG,

'：AD//BC,

ZDAH=ZH,

：.ZCAG=ZH,

'：ZH=ZCAG,ZHAC=ZG,

：.AACH^AGCA,

10

,?◎=螞，即生=3：,

ACCG犯8

3

28.（2023秋?閔行區(qū)期中）如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,/。。2=90°,點E是邊AB的中點，連接

DE,延長。E交C2的延長線于點RNCBA=2NF,且AC=BC.

（1）求證：△FBEs^EFC；

【分析】（1）由條件可證明研）g/YBER可得E為DP的中點，由直角三角形的性質可知跖=EC,

可得到/尸=ZFEB=NECF,可證明△f'BEs/\EFC；

（2）根據(jù)（1）的過程及條件可求得//=/a