2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊綜合提升教學(xué)用書教案新人教A版選修2-1

PAGE模塊綜合提升一、常用邏輯用語(yǔ)1．命題及其關(guān)系(1)原命題：若p，則q．則逆命題：若q，則p．否命題：若p，則q．逆否命題：若q，則p．(2)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．2．充分條件與必要條件(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若p?q，則p是q的充要條件．(3)若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件．(4)若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件．(5)若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件．3．簡(jiǎn)潔的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題p∧q的真假：“全真則真”，“一假則假”．(2)命題p∨q的真假：“一真則真”，“全假則假”．(3)命題p的真假：p與p的真假性相反．4．全稱命題與特稱命題的否定(1)全稱命題的否定p：?x∈M，p(x)．p：?x0∈M，p(x0)．(2)特稱命題的否定p：?x0∈M，p(x0)．p：?x∈M，p(x)．二、圓錐曲線與方程1．橢圓(1)橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點(diǎn)在y軸上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．(3)橢圓的幾何性質(zhì)①范圍：對(duì)于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，－a≤x≤a，－b≤y≤b．②對(duì)稱性：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對(duì)稱．③頂點(diǎn)：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．④離心率：e＝eq\f(c,a)，離心率的范圍是e∈(0,1)．⑤a，b，c的關(guān)系：a2＝b2＋c2．2．雙曲線(1)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的肯定值等于常數(shù)(小于|F1F2(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦點(diǎn)在y軸上：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．(3)雙曲線的幾何性質(zhì)①范圍：對(duì)于雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R，②對(duì)稱性：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對(duì)稱．③頂點(diǎn)：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－a,0)，A2(a,0)，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1′(0，－a)，A2′(0，a)，④漸近線：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x．⑤離心率：e＝eq\f(c,a)，雙曲線離心率的取值范圍是e∈(1，＋∞)，⑥a，b，c的關(guān)系：c2＝a2＋b2．3．拋物線(1)拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：y2＝±2px(p>0)，焦點(diǎn)在y軸上：x2＝±2py(p>0)．(3)拋物線的幾何性質(zhì)①范圍：對(duì)于拋物線x2＝2py(p>0)，x∈R，y∈[0，＋∞)②對(duì)稱性：拋物線y2＝±2px(p>0)，關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線x2＝±2py(p>0)，關(guān)于y軸對(duì)稱．③頂點(diǎn)：拋物線y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)．④離心率：拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義知e＝1．三、空間向量與立體幾何1．空間向量及其運(yùn)算(1)共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)．(2)P，A，B三點(diǎn)共線?eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．(3)共面對(duì)量定理：p與a，b共面?p＝xa＋yb．(4)P，A，B，C四點(diǎn)共面?eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)．(5)空間向量基本定理假如三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．(6)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，②λa＝(λa1，λa2，λa3)，③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，⑤a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，⑥|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，⑦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))，⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．2．立體幾何中的向量方法(1)異面直線所成的角兩條異面直線所成的角為θ，兩條異面直線的方向向量分別為a，b，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)．(2)直線與平面所成的角直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為a，平面的法向量為n，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|)．(3)二面角二面角為θ，n1，n2為兩平面的法向量，則|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)．1．一個(gè)命題的逆命題和否命題有相同的真假性． (√)[提示]一個(gè)命題的逆命題和否命題互為逆否命題，因此具有相同的真假性．2．使a>b成立的充分不必要條件是a>b－1． (×)[提示]a>b－1a>b．3．“p∧q”的否定為“(p)∨(q)”，“p∨q”的否定為“(p)∧(q)”． (√)[提示]“且”的否定為“或”，“或”的否定為“且”．4．命題p：?x∈(0，＋∞)，則x2＋2x＋1>0，則p為：?x0∈(－∞，0]，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0． (×)[提示]p應(yīng)為?x0∈(0，＋∞)，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0．5．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)”． (×)[提示]命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)”．6．命題“菱形的兩條對(duì)角線相等”是全稱命題且是真命題． (×)[提示]此命題是全稱命題，但是是假命題．7．“x>6”是“x>1”的充分但不必要條件． ([提示]x>6?x>1，但x>1x>6．8．若命題p∧q為假，且p為假，則q假． (√)[提示]由p為真，p∧q為假知，q為假．9．橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－c． (√)[提示]橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離有最大值或最小值．10．已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓． (×)[提示]|F1F2|＝8，故點(diǎn)的軌跡是線段F1F11．橢圓2x2＋3y2＝12的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(2))． (×)[提示]橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1，c2＝a2－b2＝2，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(2)，0)．12．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)，焦距為6，則實(shí)數(shù)m的值為4． (×)[提示]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由25－m2＝9得m＝4，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m2－25＝9得m＝eq\r(34)．13．已知F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿意|PF1|－|PF2|＝10，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支． (×)[提示]點(diǎn)P的軌跡是一條射線．14．“0≤k<3”是方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線的充要條件． (×)[提示]當(dāng)0≤k<3時(shí)，方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線，若方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線，則有(k＋1)(k－5)<0，即－1<k<5，故原命題錯(cuò)誤．15．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)為2． (×)[提示]雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，因此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4．16．等軸雙曲線的漸近線相同． (√)[提示]等軸雙曲線的漸近線方程都是y＝±x．17．到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線． (×)[提示]當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)點(diǎn)的軌跡是一條直線．18．拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))． (×)[提示]拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,2)y，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))．19．拋物線y2＝2px(p>0)中過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2p． (√)[提示]拋物線中通徑是最短的弦長(zhǎng)．20．拋物線y＝ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程為y＝2，則實(shí)數(shù)a的值是eq\f(1,8)． (×)[提示]拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,a)y，則－eq\f(1,4a)＝2，解得a＝－eq\f(1,8)．21．若空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C滿意eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))，則點(diǎn)P與A，B，C共面． (√)[提示]eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)－1＝1，故四點(diǎn)共面．22．a(chǎn)，b為空間向量，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉． (√)[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．23．兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的法向量也垂直． (√)[提示]由平面法向量的定義可知．24．直線與平面垂直，則直線的方向向量與平面的法向量垂直． (×)[提示]直線的方向向量與平面的法向量平行．25．若向量e1，e2，e3是三個(gè)不共面的向量，且滿意k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0． (√)[提示]假設(shè)k1≠0，則e1＝－eq\f(k2,k1)e2－eq\f(k3,k1)e3，則e1，e2，e3共面．26．若直線的方向向量與平面的法向量所成的角為150°，則直線與平面所成的角為30°． (×)[提示]直線與平面所成的角為60°．27．若直線與平面所成的角為0°，則直線在平面內(nèi)． (×)[提示]直線與平面也可能平行．28．兩個(gè)平面的法向量所成的角為120°，則兩個(gè)平面所成的二面角也是120°． (×)[提示]二面角的度數(shù)是120°或60°．29．兩條異面直線所成的角為30°，則兩條直線的方向向量所成的角可能是150°． (√)[提示]依據(jù)向量所成角的定義知正確．30．若二面角是30°，則在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的直線的方向向量所成的角也是30°． (×)[提示]在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量所成的角是30°或150°．1．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面B[對(duì)于A，α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行，當(dāng)這多數(shù)條直線相互平行時(shí)，α與β可能相交，所以A不正確；對(duì)于B，依據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；對(duì)于C，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對(duì)于D，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，如長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確．綜上可知選B．]2．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4bC．a(chǎn)＝2b D．3a＝4B[因?yàn)闄E圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2．又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．]3．已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．eq\r(15)[如圖，左焦點(diǎn)F(－2,0)，右焦點(diǎn)F′(2,0)．線段PF的中點(diǎn)M在以O(shè)(0,0)為圓心，2為半徑的圓上，因此OM＝2．在△FF′P中，OM綊eq\f(1,2)PF′，所以PF′＝4．依據(jù)橢圓的定義，得PF＋PF′＝6，所以PF＝2．又因?yàn)镕F′＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠PFF′＝eq\f(MF′,MF)＝eq\f(\r(FF′2－MF2),MF)＝eq\r(15)，即直線PF的斜率是eq\r(15)．]4．已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|．[解]設(shè)直線l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由題設(shè)得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)．由題設(shè)可得x1＋x2＝eq\f(5,2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－eq\f(12t－1,9)．從而－eq\f(12t－1,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8)．所以l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8)．(2)由eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))可得y1＝－3y2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0．所以y1＋y2＝2．從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)．故|AB|＝eq\f(4\r(13),3)．5．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1(1)證明：BE⊥平面EB1C1(2)若AE＝A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值．[解](1)證明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1所以BE⊥平面EB1C1(2)由(1)知∠BEB1＝90°．由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up7(→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq\o(DA,\s\up7(→))|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則C(0，1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1，0,1)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq\o(CE,\s\up7(→))＝(1，－1,1)，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝(0,0,2)．設(shè)平面EBC的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up7(→))·n＝0，,\o(CE,\s\up7(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x1－y1＋z1＝0，))所以可取n＝(0，－1，－1)．設(shè)平面ECC1的法向量為m＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CC1,\s\up7(→))·m＝0，,\o(CE,\s\up7(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2z2＝0，,x2－y2＋z2＝0，))所以可取m＝(1,1,0)．于是cos〈n，m〉＝eq\f