2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE9-1.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則[目標(biāo)]1.會依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù).2.能夠記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則.3.會運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則，求簡潔函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．[重點(diǎn)]基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則．[難點(diǎn)]函數(shù)的求導(dǎo)法則及其應(yīng)用．學(xué)問點(diǎn)一基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式[填一填][答一答]1．函數(shù)y＝ex的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝ax的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？提示：(ex)′＝ex是(ax)′＝axlna，當(dāng)a＝e時的特別狀況．2．若f′(x)＝ex，則f(x)＝ex這種說法正確嗎？提示：不正確．由導(dǎo)數(shù)定義可知f(x)＝ex＋C(其中C為隨意實(shí)數(shù))，都有f′(x)＝ex.3．當(dāng)α∈R時，公式2成立嗎？提示：成立．由于(x－1)′＝(eq\f(1,x))′＝－eq\f(1,x2)，我們可以認(rèn)為α∈R時，公式2也是成立的，但不要求證明．4．以下兩個求導(dǎo)結(jié)果正確嗎？為什么？①(3x)′＝x·3x－1；②(x4)′＝x4ln4.提示：這兩個求導(dǎo)結(jié)果皆錯．①中函數(shù)y＝3x是指數(shù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為(3x)′＝3xln3；②中函數(shù)y＝x4是冪函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為(x4)′＝4x3.學(xué)問點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則[填一填]1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．3.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．[答一答]5．假如f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，c為常數(shù)，那么如何求函數(shù)f(x)＋c與cf(x)的導(dǎo)數(shù)？提示：由于常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即(c)′＝0，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1、2，得[f(x)＋c]′＝f′(x)，[cf(x)]′＝cf′(x)．6．兩個函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則能否推廣到多個函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)情形？提示：能推廣．簡潔證明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)．7．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)和[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′x,g′x)是否成立？提示：依據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可知，這兩個式子一般狀況下是不成立的．分類記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式第一類為冪函數(shù)，即y′＝(xα)′＝αxα－1(α≠0)(留意冪指數(shù)α可推廣到不為零的全體實(shí)數(shù))．對解析式為根式形式的函數(shù)，首先應(yīng)把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)數(shù)；其次類為三角函數(shù)，可記正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為余弦函數(shù)，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正弦函數(shù)的相反數(shù)．留意余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不要漏掉前面的負(fù)號；第三類為指數(shù)函數(shù)，即y′＝(ax)′＝axlna(a>0且a≠1)，當(dāng)a＝e時，(ex)′＝ex；第四類為對數(shù)函數(shù)，即y′＝(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1，x>0)，也可記為：(logax)′＝eq\f(1,x)logae，當(dāng)a＝e時，(lnx)′＝eq\f(1,x).類型一利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)【例1】(1)y＝10x；(2)y＝；(3)y＝eq\r(4,x3)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1.【解】(1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝()′＝eq\f(1,xln\f(1,2))＝－eq\f(1,xln2).(4)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般不再用定義，而主要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式，這就要求必需熟記常見的求導(dǎo)公式，應(yīng)用公式時一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則.在實(shí)施化簡時，首先要留意化簡的等價性，避開不必要的運(yùn)算失誤.給出下列命題：①y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③y＝2x，則y′＝2x·ln2；④y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).其中正確命題的數(shù)目為(C)A．1 B．2C．3 D．4解析：僅①不正確．類型二利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝eq\f(ex＋1,ex－1).【解】(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－eq\f(1,2)(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(4)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).對一個函數(shù)求導(dǎo)時，要緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.在不宜干脆應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時，應(yīng)先對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo).這樣可以削減運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(x,4x)＋ln2；(2)y＝(eq\r(x)＋2)(eq\f(1,\r(x))－2)；(3)y＝eq\f(xlnx,1＋x)；(4)y＝2xtanx.解：(1)y′＝(eq\f(x,4x))′＋(ln2)′＝eq\f(x′4x－x4x′,4x2)＝eq\f(1－xln4,4x).(3)y′＝(eq\f(xlnx,1＋x))′＝eq\f(xlnx′1＋x－xlnx1＋x′,1＋x2)＝eq\f(lnx＋1＋x,1＋x2).(4)y′＝(2x)′tanx＋2x(eq\f(sinx,cosx))′＝2tanx＋eq\f(2x,cos2x).類型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【例3】(1)已知P，Q為拋物線y＝f(x)＝eq\f(1,2)x2上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q橫坐標(biāo)分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________．(2)已知兩條曲線y＝f(x)＝sinx，y＝g(x)＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處兩條曲線的切線相互垂直？并說明理由．【解析】(1)y′＝x，kPA＝f′(4)＝4，kQA＝f′(－2)＝－2.∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴PA的直線方程為y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8，QA的直線方程為y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x－8，,y＝－2x－2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－4.))∴A(1，－4)．(2)解：設(shè)存在一個公共點(diǎn)(x0，y0)使兩曲線的切線垂直，則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝f′(x0)＝cosx0，k2＝g′(x0)＝－sinx0，要使兩切線垂直，必需k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，這是不行能的．∴兩條曲線不存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處的兩條切線相互垂直．【答案】(1)(1，－4)(2)見解析依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可干脆得到曲線上某一點(diǎn)處的切線的斜率.當(dāng)問題中涉及相切但未出現(xiàn)切點(diǎn)坐標(biāo)時要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后依據(jù)已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo).已知函數(shù)y＝kx是曲線y＝f(x)＝lnx的一條切線，則k＝eq\f(1,e).解析：設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)，由題意得：f′(x0)＝eq\f(1,x0)＝k，①又y0＝kx0，②而且y0＝lnx0，③由①②③可得：x0＝e，y0＝1，則k＝eq\f(1,e).導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【例4】已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx的圖象過點(diǎn)(1,5)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，求f(x)的解析式．【思路分析】【解】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因?yàn)閒′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＋c＝0,12a＋4b＋c＝0,a＋b＋c＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－9,c＝12)).故f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.【解后反思】已知一個詳細(xì)函數(shù)，我們可以用導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；對于含有參數(shù)的函數(shù)，我們可以通過已知的某一個(或多個)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值或函數(shù)值反過來確定參數(shù)或參數(shù)間的關(guān)系，此即逆向思維的體現(xiàn)．已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(a,x)(a>0)，設(shè)F(x)＝f(x)＋g(x)的導(dǎo)數(shù)為F′(x)．(1)解不等式F′(x)<0；(2)若函數(shù)y＝F(x)(x∈(0,3])在隨意一點(diǎn)P(x0，y0)處切線的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．解：(1)因?yàn)镕(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋eq\f(a,x)(x>0)，所以F′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)(x>0)．因?yàn)閍>0，由F′(x)<0?0<x<a，所以不等式F′(x)<0的解集為(0，a)．(2)F′(x)＝eq\f(x－a,x2)(0<x≤3)，k＝F′(x0)＝eq\f(x0－a,x\o\al(2,0))≤eq\f(1,2)(0<x0≤3)恒成立?a≥(－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0)max，當(dāng)x0＝1時，－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0取得最大值eq\f(1,2)，所以a≥eq\f(1,2)，所以amin＝eq\f(1,2).1．若f(x)＝coseq\f(π,4)，則f′(x)為(C)A．－sineq\f(π,4) B．sineq\f(π,4)C．0 D．－coseq\f(π,4)解析：f(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故f′(x)＝0.2．若f(x)＝xlnx，且f′(x0)＝2，則x0＝(B)A．e2 B．eC.eq\f(ln2,2) D．ln2解析：∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，由已知得lnx0＋1＝2，即lnx0＝1，解得x0＝e.3．曲線y＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為2x－y＋1＝0.解析：由y＝x3－x＋3得y′＝3x2－1，∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝3×12－1＝2，∴切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.4．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋2，且f′(－1)＝4，則a＝eq\f(10,3).解析：f′(x)＝3ax2＋6x，則3a－6＝4，故a＝eq\f(10,3).5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)；(2)f(x)＝x2＋sineq\f(x,